Teorema integrală a lui Cauchy

Teorema integrală a lui Cauchy este o teoremă de analiză complexă .

Afirmație

Teorema integrală a lui Cauchy afirmă că dată unei funcții holomorfe ${\textstyle f:A\to \mathbb {C} }$ ${\ textstyle f: A \ to \ mathbb {C}}$ ${\ textstyle f: A \ to \ mathbb {C}}$ , definit pe un domeniu ${\textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ conectat simplu , pentru fiecare curbă închisă și regulată în bucăți

\gamma :[0,1]\to A,

{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ to A,}

{\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ to A,}

ecuația se menține

\oint _{\gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =0.

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0.}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0.}

Demonstrație

Din teoria integrării complexe știm că integralul ${\textstyle f(z)}$ ${\ textstyle f (z)}$ ${\ textstyle f (z)}$ este dat de:

\oint _{\gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =\oint _{\gamma }[u(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} -v(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} ]+i\oint _{\gamma }[v(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +u(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} ],

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ oint _ {\ gamma} [u (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} - v (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y}] + i \ oint _ {\ gamma} [v (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} + u (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y}],}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ oint _ {\ gamma} [u (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} - v (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y}] + i \ oint _ {\ gamma} [v (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} + u (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y}],}

și folosind formula Gauss - Green obținem:

\oint _{\gamma }f(z)\ dz=\iint _{E}\left[-{\frac {\partial v(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}}\right]\mathop {} \!\mathrm {d} x\mathop {} \!\mathrm {d} y+i\iint _{E}\left[{\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial v(x,y)}{\partial y}}\right]\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} =0;

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ dz = \ iint _ {E} \ left [- {\ frac {\ partial v (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial y}} \ right] \ mathop {} \! \ mathrm {d} x \ mathop {} \! \ mathrm {d} y + i \ iint _ {E } \ left [{\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v (x, y)} {\ partial y}} \ right] \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} = 0;}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ dz = \ iint _ {E} \ left [- {\ frac {\ partial v (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial y}} \ right] \ mathop {} \! \ mathrm {d} x \ mathop {} \! \ mathrm {d} y + i \ iint _ {E } \ left [{\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v (x, y)} {\ partial y}} \ right] \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} = 0;}

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este regiunea internă a $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . De fapt de atunci $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este holomorf, ecuațiile Cauchy-Riemann susțin:

u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x},

{\ displaystyle u_ {x} = v_ {y} \ qquad u_ {y} = - v_ {x},}

{\ displaystyle u_ {x} = v_ {y} \ qquad u_ {y} = - v_ {x},}

care anulează integrandi, de unde și teza.

În ceea ce privește formele diferențiale, se poate spune, de asemenea, că forma diferențială :

f(z)\ dz=\left[u(x,y)\ dx-v(x,y)\ dy\right]+i\cdot \left[v(x,y)\ dx+u(x,y)\ dy\right].

{\ displaystyle f (z) \ dz = \ left [u (x, y) \ dx-v (x, y) \ dy \ right] + i \ cdot \ left [v (x, y) \ dx + u (x, y) \ dy \ right].}

{\ displaystyle f (z) \ dz = \ left [u (x, y) \ dx-v (x, y) \ dy \ right] + i \ cdot \ left [v (x, y) \ dx + u (x, y) \ dy \ right].}

este o formă diferențială închisă dacă condițiile Cauchy-Riemann sunt valabile și exacte dacă domeniul este pur și simplu conectat .

Teorema continuă să se mențină pentru domeniile în care curba $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este granița domeniului pur și simplu conectat. Mai mult, dacă domeniul nu este conectat pur și simplu (a se vedea generalizarea de mai jos), dar constă uneori din curbe regulate, teorema continuă să se mențină, dar este necesar să se dea o orientare direcției de deplasare, prin convenție, domeniul trebuie să rămână întotdeauna la a plecat în timp ce călătorea pe curbe.

Această dovadă, care folosește formula Gauss-Green , necesită continuitatea derivatelor parțiale prime. Mai jos vedem dovada lui Edouard Goursat , care nu necesită ipoteza continuității primelor derivate. Din acest motiv, teorema lui Cauchy este numită și teorema Cauchy-Goursat.

Demonstrație Goursat

Calea către dovada lui Goursat a teoremei lui Cauchy

Dovada este împărțită în două părți: prima dovedește teorema în ipoteza că curba $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o poligonală, în cea de-a doua rezultatul primului este folosit pentru a demonstra teorema pentru o curbă generică regulată în bucăți.

Partea 1: curbă poligonală

Mai întâi observăm că un poligon poate fi întotdeauna descompus în triunghiuri și, deoarece căile sunt întotdeauna în sens invers acelor de ceasornic, integralele de pe laturile comune între două triunghiuri (adică cele din interiorul poligonului) sunt anulate, apoi teza primei părți este echivalentă cu faptul decât pentru fiecare triunghi $\Delta \subset A$ ${\ displaystyle \ Delta \ subset A}$ ${\ displaystyle \ Delta \ subset A}$ da ai

\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=0

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Delta} f (z) \, dz = 0}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Delta} f (z) \, dz = 0}

Să luăm apoi în considerare un triunghi generic $\Delta _{0}\subset A$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ subset A}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ subset A}$ și fie

M=\left|\oint _{\partial \Delta _{0}}f(z)dz\right|

{\ displaystyle M = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz \ right |}

{\ displaystyle M = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz \ right |}

.

Să construim patru sub-triunghiuri ${\textstyle \Delta _{0}^{(i)},\ \ \ i\in \{1,2,3,4\}}$ ${\ textstyle \ Delta _ {0} ^ {(i)}, \ \ \ i \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ textstyle \ Delta _ {0} ^ {(i)}, \ \ \ i \ in \ {1,2,3,4 \}}$ unirea punctelor medii ale $\Delta _{0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0}}$ . Pentru construcție, lungimile perimetrelor sunt valabile ${\textstyle {\frac {l_{0}}{2}}}$ ${\ textstyle {\ frac {l_ {0}} {2}}}$ ${\ textstyle {\ frac {l_ {0}} {2}}}$ unde este $l_{0}$ ${\ displaystyle l_ {0}}$ ${\ displaystyle l_ {0}}$ este lungimea perimetrului triunghiului inițial. Mai mult, având în vedere că (așa cum am spus mai înainte) integralele de pe părțile comune se anulează reciproc:

{\begin{aligned}M&=\left|\oint _{\partial \Delta _{0}}f(z)dz\right|\\&=\left|\sum _{i=1}^{4}\oint _{\partial \Delta _{0}^{(i)}}f(z)dz\right|\\&\leq \sum _{i=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{0}^{(i)}}f(z)dz\right|\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} M & = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ sum _ {i = 1 } ^ {4} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \\ & \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} M & = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ sum _ {i = 1 } ^ {4} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \\ & \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \ end {align}}}

Prin urmare

\exists i\in {1,2,3,4}\ \ \ t.c.\left|\oint _{\partial \Delta _{0}^{(i)}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{4}}

{\ displaystyle \ există i \ în {1,2,3,4} \ \ \ tc \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4}}}

{\ displaystyle \ există i \ în {1,2,3,4} \ \ \ tc \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0} ^ {(i)}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4}}}

,

și să spunem atunci $\Delta _{1}=\Delta _{0}^{(i)}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1} = \ Delta _ {0} ^ {(i)}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1} = \ Delta _ {0} ^ {(i)}}$ . Procedăm în mod similar mai departe $\Delta _{1}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}}$ construind un triunghi $\Delta _{2}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {2}}$ astfel încât ${\textstyle l_{2}={\frac {l_{0}}{2^{2}}}}$ ${\ textstyle l_ {2} = {\ frac {l_ {0}} {2 ^ {2}}}}$ ${\ textstyle l_ {2} = {\ frac {l_ {0}} {2 ^ {2}}}}$ Și

\left|\oint _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{4^{2}}}

{\ displaystyle \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {2}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4 ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {2}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4 ^ {2}}}}

Prin iterație construim o succesiune de triunghiuri $\Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \cdots \supset \Delta _{n}\supset \Delta _{n+1}\supset \cdots$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ supset \ Delta _ {1} \ supset \ cdots \ supset \ Delta _ {n} \ supset \ Delta _ {n + 1} \ supset \ cdots}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ supset \ Delta _ {1} \ supset \ cdots \ supset \ Delta _ {n} \ supset \ Delta _ {n + 1} \ supset \ cdots}$ astfel încât $l_{n}={\frac {l_{0}}{2^{n}}}$ ${\ displaystyle l_ {n} = {\ frac {l_ {0}} {2 ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle l_ {n} = {\ frac {l_ {0}} {2 ^ {n}}}}$ și apoi

\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{4^{n}}}

{\ displaystyle \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4 ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz \ right | \ geq {\ frac {M} {4 ^ {n}}}}

.

Deoarece închiderile triunghiurilor sunt seturi compacte, intersecția lor nu este goală. ^[1]

Adică există un punct $z_{0}\in {\bar {\Delta }}_{n}\quad \forall n=0,1,2,\dots$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in {\ bar {\ Delta}} _ {n} \ quad \ forall n = 0,1,2, \ dots}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in {\ bar {\ Delta}} _ {n} \ quad \ forall n = 0,1,2, \ dots}$ . Acum diferențierea în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ presupune că

\exists \eta (z){\text{ t.c. }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} \quad \exists \delta {\text{ t.c. }}{\begin{cases}&|z-z_{0}|<\delta \rightarrow |\eta (z)|<\epsilon \\&{\dfrac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})=\eta (z)\end{cases}}

{\ displaystyle \ exists \ eta (z) {\ text {tc}} \ forall \ epsilon \ in \ mathbb {R} \ quad \ exists \ delta {\ text {tc}} {\ begin {cases} & | z -z_ {0} | <\ delta \ rightarrow | \ eta (z) | <\ epsilon \\ & {\ dfrac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} -f '(z_ {0}) = \ eta (z) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ există \ eta (z) {\ text {t.c. }} \ forall \ epsilon \ in \ mathbb {R} \ quad \ exists \ delta {\ text {t.c. }} {\ begin {cases} & | z-z_ {0} | <\ delta \ rightarrow | \ eta (z) | <\ epsilon \\ & {\ dfrac {f (z) -f (z_ {0} )} {z-z_ {0}}} - f '(z_ {0}) = \ eta (z) \ end {cases}}}

si asta e

f(z)=\eta (z)(z-z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+f(z_{0})

{\ displaystyle f (z) = \ eta (z) (z-z_ {0}) + f '(z_ {0}) (z-z_ {0}) + f (z_ {0})}

{\ displaystyle f (z) = \ eta (z) (z-z_ {0}) + f '(z_ {0}) (z-z_ {0}) + f (z_ {0})}

.

Acum este clar că puteți alege $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ suficient de mare astfel încât $\Delta _{n}\subset B(z_{0},\delta )$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \ subset B (z_ {0}, \ delta)}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \ subset B (z_ {0}, \ delta)}$ . De fapt, este suficient să alegi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât $l_{n}<\delta$ ${\ displaystyle l_ {n} <\ delta}$ ${\ displaystyle l_ {n} <\ delta}$ . Apoi, deoarece este ușor să arătăm că integralul oricărei constante sau a oricărei funcții liniare pe o linie închisă este zero pe care îl deține

{\begin{aligned}\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz&=\oint _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})+\eta (z)(z-z_{0})+f(z_{0})dz\\&=\oint _{\partial \Delta _{n}}\eta (z)(z-z_{0})dz\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz & = \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f '(z_ {0}) (z-z_ {0}) + \ eta (z) (z-z_ {0}) + f (z_ {0}) dz \\ & = \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} \ eta (z) (z-z_ {0}) dz \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz & = \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f '(z_ {0}) (z-z_ {0}) + \ eta (z) (z-z_ {0}) + f (z_ {0}) dz \\ & = \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} \ eta (z) (z-z_ {0}) dz \ end {align}}}

De aici rezultă că

{\begin{aligned}{\frac {M}{4^{n}}}&\leq \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\\&=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\eta (z)(z-z_{0})dz\right|\\&\leq \epsilon \max _{z\in \partial \Delta _{n}}|z-z_{0}|l_{n}\\&\leq \epsilon l_{n}^{2}\\&=\epsilon {\frac {l_{0}^{2}}{4^{n}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {M} {4 ^ {n}}} & \ leq \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} \ eta (z) (z-z_ {0}) dz \ right | \\ & \ leq \ epsilon \ max _ {z \ în \ partial \ Delta _ {n}} | z-z_ {0} | l_ {n} \\ & \ leq \ epsilon l_ {n} ^ {2} \\ & = \ epsilon {\ frac {l_ {0 } ^ {2}} {4 ^ {n}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {M} {4 ^ {n}}} & \ leq \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ oint _ {\ partial \ Delta _ {n}} \ eta (z) (z-z_ {0}) dz \ right | \\ & \ leq \ epsilon \ max _ {z \ în \ partial \ Delta _ {n}} | z-z_ {0} | l_ {n} \\ & \ leq \ epsilon l_ {n} ^ {2} \\ & = \ epsilon {\ frac {l_ {0 } ^ {2}} {4 ^ {n}}} \ end {align}}}

dar apoi $M\leq \epsilon l_{0}^{2}$ ${\ displaystyle M \ leq \ epsilon l_ {0} ^ {2}}$ ${\ displaystyle M \ leq \ epsilon l_ {0} ^ {2}}$ și prin arbitrariul $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ urmează $M=0$ ${\ displaystyle M = 0}$ ${\ displaystyle M = 0}$ , acesta este ${\textstyle \oint _{\partial \Delta _{0}}f(z)dz=0}$ ${\ textstyle \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz = 0}$ ${\ textstyle \ oint _ {\ partial \ Delta _ {0}} f (z) dz = 0}$ care este teza primei părți.

Partea 2: curba generică

Acum ia în considerare o curbă generică $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ . Dat $\rho >0$ ${\ displaystyle \ rho> 0}$ ${\ displaystyle \ rho> 0}$ ia în considerare întregul $E=\{z\in A:d(z,C)=\inf _{\zeta \in C}d(\zeta ,z)\leq \rho \}$ ${\ displaystyle E = \ {z \ în A: d (z, C) = \ inf _ {\ zeta \ în C} d (\ zeta, z) \ leq \ rho \}}$ ${\ displaystyle E = \ {z \ în A: d (z, C) = \ inf _ {\ zeta \ în C} d (\ zeta, z) \ leq \ rho \}}$ , care fiind compact oferă capacitatea de a se micșora $f$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ la $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ fiind pe el uniform continuu. Acesta este

\forall \epsilon >0\quad \exists \delta >0:|z_{1}-z_{2}|<\delta \rightarrow |f(z_{1})-f(z_{2})|<\epsilon

{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ exists \ delta> 0: | z_ {1} -z_ {2} | <\ delta \ rightarrow | f (z_ {1}) - f (z_ {2}) | <\ epsilon}

{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ exists \ delta> 0: | z_ {1} -z_ {2} | <\ delta \ rightarrow | f (z_ {1}) - f (z_ {2}) | <\ epsilon}

de sine $z_{1},z_{2}\in E$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ în E}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ în E}$ .

Lasă-i să fie atunci

z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\in C\ {\text{ t.c. }}\ L_{k}<\min\{\delta ,\rho \}

{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n} \ în C \ {\ text {tc}} \ L_ {k} <\ min \ {\ delta, \ rho \}}

{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n} \ în C \ {\ text {t.c. }} \ L_ {k} <\ min \ {\ delta, \ rho \}}

unde este $L_{k}$ ${\ displaystyle L_ {k}}$ $L_ {k}$ este lungimea arcului de îmbinare $z_{k}$ ${\ displaystyle z_ {k}}$ ${\ displaystyle z_ {k}}$ Și $z_{k-1}$ ${\ displaystyle z_ {k-1}}$ ${\ displaystyle z_ {k-1}}$ , și așa să fie $P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {k}}$ segmentul de alăturare $z_{k}$ ${\ displaystyle z_ {k}}$ ${\ displaystyle z_ {k}}$ Și $z_{k-1}$ ${\ displaystyle z_ {k-1}}$ ${\ displaystyle z_ {k-1}}$ .

Atunci ${\textstyle P=\bigcup _{k=1}^{n}P_{k}}$ ${\ textstyle P = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} P_ {k}}$ ${\ textstyle P = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} P_ {k}}$ este un poligon conținut în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ . Intr-adevar

z\in P\rightarrow \exists k\in \{1,\ldots ,n\}:z\in P_{k}\rightarrow d(z,C)=\inf _{\zeta \in C}d(z,\zeta )\leq d(z,z_{k})\leq d(z_{k},z_{k-1})\leq \rho \rightarrow z\in E

{\ displaystyle z \ in P \ rightarrow \ există k \ in \ {1, \ ldots, n \}: z \ in P_ {k} \ rightarrow d (z, C) = \ inf _ {\ zeta \ in C } d (z, \ zeta) \ leq d (z, z_ {k}) \ leq d (z_ {k}, z_ {k-1}) \ leq \ rho \ rightarrow z \ in E}

{\ displaystyle z \ in P \ rightarrow \ există k \ in \ {1, \ ldots, n \}: z \ in P_ {k} \ rightarrow d (z, C) = \ inf _ {\ zeta \ in C } d (z, \ zeta) \ leq d (z, z_ {k}) \ leq d (z_ {k}, z_ {k-1}) \ leq \ rho \ rightarrow z \ in E}

dar atunci dacă $\zeta _{1},\zeta _{2}\in P_{k}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2} \ în P_ {k}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2} \ în P_ {k}}$ merita $|f(\zeta _{1})-f(\zeta _{2})|<\epsilon$ ${\ displaystyle | f (\ zeta _ {1}) - f (\ zeta _ {2}) | <\ epsilon}$ ${\ displaystyle | f (\ zeta _ {1}) - f (\ zeta _ {2}) | <\ epsilon}$ pentru continuitate uniformă.

Notăm acum cu $C_{k}\subset C$ ${\ displaystyle C_ {k} \ subset C}$ ${\ displaystyle C_ {k} \ subset C}$ arcul de $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ subtended de $P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {k}}$ . Acum observând acea ființă $f(z_{k})$ ${\ displaystyle f (z_ {k})}$ ${\ displaystyle f (z_ {k})}$ o constantă se menține

\oint _{C_{k}}f(z_{k})dz=\oint _{P_{k}}f(z_{k})dz

{\ displaystyle \ oint _ {C_ {k}} f (z_ {k}) dz = \ oint _ {P_ {k}} f (z_ {k}) dz}

{\ displaystyle \ oint _ {C_ {k}} f (z_ {k}) dz = \ oint _ {P_ {k}} f (z_ {k}) dz}

și din faptul că integralul poligonului este zero pentru punctul anterior, se menține următorul lanț de inegalități:

{\begin{aligned}\left|\oint _{C}f(z)dz\right|&=\left|\oint _{C}f(z)dz-\oint _{P}f(z)dz\right|\\&=\left|\sum _{k=1}^{n}\left(\oint _{C_{k}}f(z)dz-\oint _{P_{k}}f(z)dz\right)\right|\\&\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\oint _{C_{k}}f(z)dz-\oint _{P_{k}}f(z)dz\right|\\&=\sum _{k=1}^{n}\left|\oint _{C_{k}}f(z)-f(z_{k})dz-\oint _{P_{k}}f(z)-f(z_{k})dz\right|\\&\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left|\oint _{C_{k}}f(z)-f(z_{k})dz\right|+\left|\oint _{P_{k}}f(z)-f(z_{k})dz\right|\right)\\&\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\epsilon \oint _{C_{k}}|dz|+\epsilon \oint _{P_{k}}|dz|\right)\\&\leq 2\epsilon \oint _{P}|dz|\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | \ oint _ {C} f (z) dz \ right | & = \ left | \ oint _ {C} f (z) dz- \ oint _ {P} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ oint _ {C_ {k}} f (z) dz- \ oint _ {P_ { k}} f (z) dz \ right) \ right | \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) dz- \ oint _ {P_ {k}} f (z) dz \ right | \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz- \ oint _ {P_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | + \ left | \ oint _ {P_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | \ right) \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ epsilon \ oint _ {C_ {k}} | dz | + \ epsilon \ oint _ {P_ {k}} | dz | \ right) \\ & \ leq 2 \ epsilon \ oint _ {P} | dz | \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | \ oint _ {C} f (z) dz \ right | & = \ left | \ oint _ {C} f (z) dz- \ oint _ {P} f (z) dz \ right | \\ & = \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ oint _ {C_ {k}} f (z) dz- \ oint _ {P_ { k}} f (z) dz \ right) \ right | \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) dz- \ oint _ {P_ {k}} f (z) dz \ right | \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz- \ oint _ {P_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left | \ oint _ {C_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | + \ left | \ oint _ {P_ {k}} f (z) -f (z_ {k}) dz \ right | \ right) \\ & \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ epsilon \ oint _ {C_ {k}} | dz | + \ epsilon \ oint _ {P_ {k}} | dz | \ right) \\ & \ leq 2 \ epsilon \ oint _ {P} | dz | \ end {align}}}

Prin urmare, teza rezultă din arbitrariul lui $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ .

Corolari

Curbe cu aceleași extreme

Este ${\textstyle f\colon A\to \mathbb {C} }$ ${\ textstyle f \ colon A \ to \ mathbb {C}}$ ${\ textstyle f \ colon A \ to \ mathbb {C}}$ o funcție holomorfă definită pe un domeniu ${\textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ pur și simplu conectat . De sine ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\ textstyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$ ${\ textstyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$ sunt două curbe regulate uneori în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care leagă două puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și ${\textstyle Q}$ ${\ textstyle Q}$ ${\ textstyle Q}$ , asa de:

\int _{\gamma _{1}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =\int _{\gamma _{2}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z} .

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathop {\ mathrm { d} z}.}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathop {\ mathrm { d} z}.}

Cu alte cuvinte, integralul pe o curbă depinde doar de extreme.

Demonstrație

Este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ curba închisă obținută prin concatenare $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ Și $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ , acesta din urmă a călătorit în direcția opusă. Prin teorema lui Cauchy:

\oint _{\gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =\left(\int _{\gamma _{1}}-\int _{\gamma _{2}}\right)f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =0,

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ left (\ int _ {\ gamma _ {1}} - \ int _ {\ gamma _ {2} } \ right) f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0,}

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ left (\ int _ {\ gamma _ {1}} - \ int _ {\ gamma _ {2} } \ right) f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0,}

adică

\int _{\gamma _{1}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =\int _{\gamma _{2}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z} .

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathop {\ mathrm { d} z}.}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathop {\ mathrm { d} z}.}

Existența unui primitiv

Fiecare funcție holomorfă

f\colon A\to \mathbb {C} ,

{\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {C},}

{\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {C},}

definit pe o deschidere conectată simplu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ admite o primitivă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Adică există o funcție holomorfă

F\colon A\to \mathbb {C} ,

{\ displaystyle F \ colon A \ to \ mathbb {C},}

{\ displaystyle F \ colon A \ to \ mathbb {C},}

astfel încât $F'(z)=f(z)$ ${\ displaystyle F '(z) = f (z)}$ ${\ displaystyle F '(z) = f (z)}$ pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Demonstrație

Functia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit după cum urmează. Un punct este fix $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și apare

F(z):=\int _{\delta _{z}}f(\zeta )\mathop {\mathrm {d} \zeta } ,

{\ displaystyle F (z): = \ int _ {\ delta _ {z}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta},}

{\ displaystyle F (z): = \ int _ {\ delta _ {z}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta},}

pentru orice curbă lină $\delta _{z}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care leagă $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ la $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Pentru rezultatul anterior $F(z)$ ${\ displaystyle F (z)}$ $F (z)$ nu depinde de arc $\delta _{z}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ și, prin urmare, este bine definit.

Functia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este de fapt holomorf și derivatul său este propriu-zis $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Acest lucru poate fi verificat după cum urmează:

\lim _{h\to 0}{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\int _{\delta _{z+h}}f(\zeta )\mathop {\mathrm {d} \zeta } -\int _{\delta _{z}}f(\zeta )\mathop {\mathrm {d} \zeta } \right).

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (z + h) -F (z)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h }} \ left (\ int _ {\ delta _ {z + h}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} - \ int _ {\ delta _ {z}} f (\ zeta ) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} \ right).}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (z + h) -F (z)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h }} \ left (\ int _ {\ delta _ {z + h}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} - \ int _ {\ delta _ {z}} f (\ zeta ) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} \ right).}

Luând ca $\delta _{z+h}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z + h}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z + h}}$ concatenarea a $\delta _{z}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {z}}$ oricare și o mică curbă $\gamma _{h}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {h}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {h}}$ care se alătură $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $z+h$ ${\ displaystyle z + h}$ ${\ displaystyle z + h}$ , acest lucru este echivalent cu

\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{\gamma _{h}}f(\zeta )\mathop {\mathrm {d} \zeta } =f(z).

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ int _ {\ gamma _ {h}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} = f (z).}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ int _ {\ gamma _ {h}} f (\ zeta) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} = f (z).}

Generalizarea teoremei lui Cauchy

Multiplicarea domeniului conectat pentru generalizarea teoremei integrale a lui Cauchy

Teorema integrală Cauchy poate fi, de asemenea, generalizată la mai multe domenii de conexiune: date $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ analize într-un domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (în albastru) orice cu interior (în roșu în figură) zone care nu aparțin domeniului respectiv. Desenăm o curbă orientată $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ reclama interna $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dar care conține toate zonele deconectate ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ (în violet) și trasați curbe în jurul acestora $l_{1},l_{2},l_{3}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}}$ alătură-te curbei $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ din $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}, d_ {4}}$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}, d_ {4}}$ . Toate curbele sunt acoperite în așa fel încât să lase domeniul în stânga (în mov). Atunci:

{\begin{aligned}\oint _{\Gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} \zeta } &+\sum _{i=1}^{4}\int _{d_{i}}f(z)\mathop {\mathrm {d} \zeta } +\\\sum _{j=1}^{3}\int _{-l_{i}}f(z)\mathop {\mathrm {d} \zeta } &-\sum _{i=1}^{4}\int _{d_{i}}f(z)\mathop {\mathrm {d} \zeta } =0.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} & + \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {d_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} + \\\ sum _ {j = 1} ^ {3} \ int _ {- l_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} & - \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {d_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} & + \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {d_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} + \\\ sum _ {j = 1} ^ {3} \ int _ {- l_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} & - \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {d_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} \ zeta} = 0. \ end {align}}}

Din moment ce curbele $d_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ $din}$ sunt parcurse în ambele direcții, în timp ce curbele sunt anulate $l_{i}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ sunt călătoriți în sens invers a $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ . Prin urmare:

\oint _{\Gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} z} +\sum _{j=1}^{3}\int _{-l_{i}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =0,

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ int _ {- l_ {i}} f (z ) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0,}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ int _ {- l_ {i}} f (z ) \ mathop {\ mathrm {d} z} = 0,}

acesta este:

\oint _{\Gamma }f(z)\mathop {\mathrm {d} z} =\sum _{i=0}^{3}\oint _{l_{i}}f(z)\mathop {\mathrm {d} z}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ sum _ {i = 0} ^ {3} \ oint _ {l_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z} = \ sum _ {i = 0} ^ {3} \ oint _ {l_ {i}} f (z) \ mathop {\ mathrm {d} z}}

În acest fel poate fi generalizată teorema integrală a lui Cauchy pe domenii conectate multiple.

Notă

^ (EN) Walter Rudin, Principiile analizei matematice, 1976.

Bibliografie

( EN ) Arfken, G. „Teorema integrală a lui Cauchy”. §6.3 în Metode matematice pentru fizicieni , ed. A III-a. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
( EN ) Kaplan, W. "Integrale ale funcțiilor analitice. Teorema integrală a lui Cauchy." §9.8 în Calcul avansat , ediția a IV-a. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
(EN) Knopp, K. „Teorema integrală a lui Cauchy”. Cap. 4 în Teoria funcțiilor părțile I și II, două volume legate ca una, partea I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
( EN ) Krantz, SG „Teorema și formula integrale a lui Cauchy”. §2.3 în Manualul variabilelor complexe . Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
( EN ) Woods, FS "Integral of a Complex Function." §145 în Calcul avansat: un curs organizat cu referire specială la nevoile elevilor de matematică aplicată . Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.
Bernardini, Ragnisco, Santini "Metode matematice de fizică, Carocci editore" pp 84-88, 2002.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema integrală a lui Cauchy , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) ED Solomentsev, Teorema integrală a lui Cauchy , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Walter Rudin, Principiile analizei matematice, 1976.

[1]