Teorema lui Green

Dezambiguizare - Această intrare se referă la cazul special al teoremei lui Stokes care leagă integrale duble și integrale de linie. Pentru teoremele lui Green referitoare la relația dintre integralele de volum și integralele de suprafață prin intermediul operatorului Laplace, a se vedea identitatea lui Green

În matematică , teorema lui Green , al cărei nume se datorează lui George Green , raportează o integrală de linie în jurul unei curbe închise simple și o integrală dublă peste o regiune plană mărginită de aceeași curbă. Este un caz special, limitat la 2 dimensiuni, al teoremei rotorului , care la rândul său este un caz special al teoremei lui Stokes .

Afirmație

Este ${\textstyle \partial S}$ ${\ textstyle \ partial S}$ ${\ textstyle \ partial S}$ o curbă simplă închisă în planul orientat pozitiv (Vom spune că curba $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ orientat pozitiv este o orientare pozitivă pentru frontieră dacă pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând limitei, unghiul dintre vectorul tangent și curba vectorului normal măsurat în sensul acelor de ceasornic este ${\textstyle \pi /2}$ ${\ textstyle \ pi / 2}$ ${\ textstyle \ pi / 2}$ ) regulat uneori , și așa să fie $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a cărei suprafață este frontieră . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ acestea sunt două funcții reale ale a două variabile reale care au derivate parțiale continue pe o regiune deschisă pe care o conține $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , apoi: ^[1]

\int _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )=\iint _{S}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y}) = \ iint _ {S} \ left ({\ frac { \ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y}}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y}) = \ iint _ {S} \ left ({\ frac { \ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y}}

Deoarece punctul de pornire și punctul final al curbei coincid, deoarece este închis, uneori este de preferat să folosiți notația:

\oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y})}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y})}

Interpretare

Dacă luăm în considerare un câmp vector ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ pe ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ definit de:

\mathbf {F} (x,y):=(f(x,y),g(x,y))

{\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y): = (f (x, y), g (x, y))}

{\ mathbf F} (x, y): = (f (x, y), g (x, y))

cantitatea:

\oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y})}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} (f \ mathop {\ mathrm {d} x} + g \ mathop {\ mathrm {d} y})}

reprezintă integralul $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}}$ ${\ mathbf F} \ cdot {\ mathbf n}$ , unde este $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ este tangenta externa la curba $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ în fiecare moment. Prin urmare, această integral reprezintă circuitul câmpului $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ de-a lungul curbei $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ .

Pe de altă parte, expresia:

{\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}}

{\ frac {\ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}

este modulul rotorului $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ . Într-adevăr, în cazul unui câmp plan și a unui set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ plan, rotorul este un vector paralel cu suprafața normală $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , Așadar:

\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = {\ frac {\ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}}

\ nabla \ times {\ mathbf {F}} \ cdot {\ mathbf {{\ hat n}}} = {\ frac {\ partial g} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ parțial y}}

Prin urmare, egalitatea stabilită de teoremă stabilește că circulația unui câmp vector printr-o curbă este egală cu fluxul rotorului câmpului prin suprafața mărginită de acea curbă. Aceasta este ceea ce afirmă teorema rotorului , care este o generalizare a teoremei lui Green în cazul $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ .

Rezistență simplă la suprafață

Același subiect în detaliu: Domeniu simplu .

Teorema lui Green este dovedită dacă dovedim următoarele două ecuații:

\int _{\partial S}f\mathop {} \!\mathrm {d} x=-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {} \!\mathrm {d} s\qquad \int _{\partial S}g\mathop {} \!\mathrm {d} y=\iint _{S}{\frac {\partial g}{\partial x}}\mathop {} \!\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} f \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = - \ iint _ {S} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s \ qquad \ int _ {\ partial S} g \ mathop {} \! \ mathrm {d} y = \ iint _ {S} {\ frac {\ partial g} {\ partial x }} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} f \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = - \ iint _ {S} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s \ qquad \ int _ {\ partial S} g \ mathop {} \! \ mathrm {d} y = \ iint _ {S} {\ frac {\ partial g} {\ partial x }} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s}

Dacă se exprimă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ca regiunea:

S:=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}

{\ displaystyle S: = \ {(x, y) | a \ leq x \ leq b, g_ {1} (x) \ leq y \ leq g_ {2} (x) \}}

S: = \ {(x, y) | a \ leq x \ leq b, g_ {1} (x) \ leq y \ leq g_ {2} (x) \}

unde este $g_{1}$ ${\ displaystyle g_ {1}}$ $g_1$ Și $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_2$ sunt funcții continue, putem calcula integrala dublă a primei relații:

{\begin{aligned}\iint _{S}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {} \!\mathrm {d} s&=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} x} \right)\\&=\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))-f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {S} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ mathop {} \! \ mathrm {d} s & = \ int _ {a} ^ {b} \! \! \ int _ {g_ {1} (x)} ^ {g_ {2} (x)} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y }} (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} x} \ right) \\ & = \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ { 2} (x)) - f (x, g_ {1} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {S} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ mathop {} \! \ mathrm {d} s & = \ int _ {a} ^ {b} \! \! \ int _ {g_ {1} (x)} ^ {g_ {2} (x)} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y }} (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} x} \ right) \\ & = \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ { 2} (x)) - f (x, g_ {1} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ end {align}}}

Folosind teorema fundamentală a calculului integral.

Ruperea marginii $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în uniunea celor patru curbe $\partial S_{1}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {1}}$ $\ partial S_ {1}$ , $\partial S_{2}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {2}}$ $\ partial S_ {2}$ , $\partial S_{3}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {3}}$ $\ partial S_ {3}$ Și $\partial S_{4}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {4}}$ $\ partial S_ {4}$ , se întâmplă că:

Pentru $\partial S_{1}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {1}}$ $\ partial S_ {1}$ se aplică ecuațiile parametrice $x=x$ ${\ displaystyle x = x}$ $x = x$ , $y=g_{1}(x)$ ${\ displaystyle y = g_ {1} (x)}$ $y = g_ {1} (x)$ , $a\leq x\leq b$ ${\ displaystyle a \ leq x \ leq b}$ $a \ leq x \ leq b$ și, prin urmare, obținem:

\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S_ {1}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {1} ( x)) \ mathop {\ mathrm {d} x}}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S_ {1}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {1} ( x)) \ mathop {\ mathrm {d} x}}

.

Pentru $\partial S_{3}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {3}}$ $\ partial S_ {3}$ se folosesc ecuații parametrice $x=x$ ${\ displaystyle x = x}$ $x = x$ , $y=g_{2}(x)$ ${\ displaystyle y = g_ {2} (x)}$ $y = g_ {2} (x)$ , $a\leq x\leq b$ ${\ displaystyle a \ leq x \ leq b}$ $a \ leq x \ leq b$ și obținem:

{\begin{aligned}\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} &=-\int _{-\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ partial S_ {3}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} & = - \ int _ {- \ partial S_ {3} } f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = - \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {2} (x)) \ mathop {\ mathrm { d} x} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ partial S_ {3}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} & = - \ int _ {- \ partial S_ {3} } f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = - \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {2} (x)) \ mathop {\ mathrm { d} x} \ end {align}}}

Pentru $\partial S_{2}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {2}}$ $\ partial S_ {2}$ Și $\partial S_{4}$ ${\ displaystyle \ partial S_ {4}}$ $\ partial S_ {4}$ variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este constant deoarece ne deplasăm pe o linie dreaptă perpendiculară pe axa abscisei, ceea ce implică:

\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =0

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S_ {4}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = \ int _ {\ partial S_ {2}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S_ {4}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = \ int _ {\ partial S_ {2}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = 0}

prin urmare:

{\begin{aligned}\int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} &=\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{3}}f(x,y)+\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ partial S} f \ mathop {\ mathrm {d} x} & = \ int _ {\ partial S_ {1}} f (x, y) \ mathop { \ mathrm {d} x} + \ int _ {\ partial S_ {2}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} + \ int _ {\ partial S_ {3}} f (x , y) + \ int _ {\ partial S_ {4}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = - \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {2} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x} + \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {1} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x } \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ partial S} f \ mathop {\ mathrm {d} x} & = \ int _ {\ partial S_ {1}} f (x, y) \ mathop { \ mathrm {d} x} + \ int _ {\ partial S_ {2}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} + \ int _ {\ partial S_ {3}} f (x , y) + \ int _ {\ partial S_ {4}} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = - \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {2} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x} + \ int _ {a} ^ {b} f (x, g_ {1} (x)) \ mathop {\ mathrm {d} x } \ end {align}}}

Prin adăugarea acesteia la integrala dublă a primei relații definite mai sus, obținem:

\int _{\partial S}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {\mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = - \ iint _ {S} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathop {\ mathrm {d} s}}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial S} f (x, y) \ mathop {\ mathrm {d} x} = - \ iint _ {S} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathop {\ mathrm {d} s}}

iar a doua relație este prezentată în mod similar.

Relația cu teorema lui Stokes

Același subiect în detaliu: teorema lui Stokes .

Teorema lui Green este un caz special al teoremei lui Stokes care apare având în vedere o regiune din planul xy . Să presupunem că avem un câmp vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ în trei dimensiuni a căror componentă z este întotdeauna zero, adică $\mathbf {F} =(L,M,0)$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = (L, M, 0)}$ ${\ mathbf {F}} = (L, M, 0)$ . Pentru membrul din stânga teoremei lui Green avem:

{\begin{aligned}\oint _{C}(L\mathop {\mathrm {d} x} +M\mathop {\mathrm {d} y} )&=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (\mathop {\mathrm {d} x} ,\mathop {\mathrm {d} y} ,\mathop {\mathrm {d} z} )\\&=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} (L \ mathop {\ mathrm {d} x} + M \ mathop {\ mathrm {d} y}) & = \ oint _ {C} (L , M, 0) \ cdot (\ mathop {\ mathrm {d} x}, \ mathop {\ mathrm {d} y}, \ mathop {\ mathrm {d} z}) \\ & = \ oint _ {C } \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} (L \ mathop {\ mathrm {d} x} + M \ mathop {\ mathrm {d} y}) & = \ oint _ {C} (L , M, 0) \ cdot (\ mathop {\ mathrm {d} x}, \ mathop {\ mathrm {d} y}, \ mathop {\ mathrm {d} z}) \\ & = \ oint _ {C } \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} \ end {align}}}

și prin teorema rotorului (sau Kelvin-Stokes):

\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathop {\mathrm {d} \mathbf {r} } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S}

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathop {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} S}}

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathop {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} S}}

unde suprafata $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este regiunea din planul e $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ ${\ mathbf {{\ hat n}}}$ este vectorul unitar normal în direcția z . Integrarea devine:

{\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} & = \ left [\ left ({\ frac {\ partial 0} {\ partial y} } - {\ frac {\ partial M} {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial 0 } {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right ) \ mathbf {k} \ right] \ cdot \ mathbf {k} \\ & = \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y }} \ dreapta) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} & = \ left [\ left ({\ frac {\ partial 0} {\ partial y} } - {\ frac {\ partial M} {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial 0 } {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right ) \ mathbf {k} \ right] \ cdot \ mathbf {k} \\ & = \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y }} \ dreapta) \ end {align}}}

astfel încât să obținem partea dreaptă a teoremei lui Green:

\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A}

{\ displaystyle \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} S} = \ iint _ {D} \ left ({ \ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A}}

{\ displaystyle \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} S} = \ iint _ {D} \ left ({ \ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A}}

Relația cu teorema divergenței

Același subiect în detaliu: teorema divergenței .

Având în vedere câmpurile vectoriale în două dimensiuni, teorema lui Green este echivalentă cu următoarea versiune bidimensională a teoremei divergenței:

\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} = \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} s}}

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} = \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} s}}

unde este $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ ${\ mathbf {{\ hat n}}}$ este unitatea normală de ieșire la frontieră $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Într-adevăr, din teorema lui Green $\mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}$ este un vector tangent la curbă și având în vedere că curba $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este orientat în sens invers acelor de ceasornic, vectorul normal $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ ${\ mathbf {{\ hat n}}}$ este vectorul $(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)$ ${\ displaystyle (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}$ . Lungimea sa este ${\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\mathrm {d} s$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2}}} = \ mathrm {d} s}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2}}} = \ mathrm {d} s}$ , și apoi $\mathbf {\hat {n}} \mathop {} \!\mathrm {d} s=(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {} \! \ mathrm {d} s = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}$ . Spus $\mathbf {F} =(P,Q)$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = (P, Q)}$ ${\ mathbf {F}} = (P, Q)$ , membrul din dreapta devine:

\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} =\oint _{C}P\mathop {\mathrm {d} y} -Q\mathop {\mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} s} = \ oint _ {C} P \ mathop {\ mathrm {d } y} -Q \ mathop {\ mathrm {d} x}}

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ mathop {\ mathrm {d} s} = \ oint _ {C} P \ mathop {\ mathrm {d } y} -Q \ mathop {\ mathrm {d} x}}

care cu teorema lui Green ia forma:

{\begin{aligned}\oint _{C}-Q\mathop {\mathrm {d} x} +P\mathop {\mathrm {d} y} &=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} \\&=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} -Q \ mathop {\ mathrm {d} x} + P \ mathop {\ mathrm {d} y} & = \ iint _ {D} \ left ( {\ frac {\ partial P} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} \\ & = \ iint _ { D} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} -Q \ mathop {\ mathrm {d} x} + P \ mathop {\ mathrm {d} y} & = \ iint _ {D} \ left ( {\ frac {\ partial P} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} \\ & = \ iint _ { D} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} A} \ end {align}}}

Implicația inversă este prezentată într-un mod similar.

Notă

^ Rudin , pagina 288 .

Bibliografie

Walter Rudin , Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema lui Green

linkuri externe

( EN ) Teorema lui Green , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 28929 · LCCN (EN) sh85057264 · BNF (FR) cb121229914 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , pagina 288 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy