Teorema rotorului

În matematică , teorema rotorului , numită și teorema Kelvin sau teorema Kelvin-Stokes , numită după Lord Kelvin și George Stokes , afirmă că fluxul rotor al anumitor câmpuri vectoriale prin suprafețe regulate cu margini este egal cu circulația câmpului de-a lungul limita suprafeței. Prin urmare, este un caz special al teoremei lui Stokes .

Teorema lui Green este un caz special al teoremei rotorului care are în vedere suprafețele care aparțin ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

Teorema

Este $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {2}$ o curbă plană netedă în bucăți, care este, de asemenea, o curbă simplă închisă ( curba Jordan ): adică dacă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ Sunt în raza de acțiune $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ asa de $\gamma (s)=\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gamma (s) = \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma (s) = \ gamma (t)}$ implica $t=s$ ${\ displaystyle t = s}$ $t = s$ (adică curba este simplă) și pentru care avem $\gamma (a)=\gamma (b)$ ${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$ $\ gamma (a) = \ gamma (b)$ (adică curba este închisă). Spus ${D}$ ${\ displaystyle {D}}$ ${D}$ domeniul $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ a cărui frontieră este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , ambele, de asemenea $\psi :{D}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ psi: {D} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ psi: {D} \ to \ mathbb {R} ^ {3}$ o funcție lină e ${\textbf {F}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {F}}}$ ${\ textbf {F}}$ un câmp vector pe $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

Denotând cu ${S}=\psi (D)$ ${\ displaystyle {S} = \ psi (D)}$ ${S} = \ psi (D)$ imaginea de ${D}$ ${\ displaystyle {D}}$ ${D}$ prin $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ si cu $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ curba definită de relație ${\textstyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\ textstyle \ Gamma (t) = \ psi (\ gamma (t))}$ ${\ textstyle \ Gamma (t) = \ psi (\ gamma (t))}$ , teorema afirmă că:

\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathop {} \!\mathrm {\cdot } \,\mathbf {\hat {n}} \,dS

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma = \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ mathop {} \! \ mathrm {\ cdot} \, \ mathbf {\ hat {n}} \, dS}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma = \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ mathop {} \! \ mathrm {\ cdot} \, \ mathbf {\ hat {n}} \, dS}

Termenul din stânga este integrala liniei a $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ lung $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ iar termenul din dreapta este integralul de suprafață al rotorului ${\textstyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\ textstyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$ ${\ textstyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$ din $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ .

Teorema este un caz particular, care se limitează la luarea în considerare a suprafețelor teoremei fundamentale a lui Stokes : fluxul printr-o suprafață (regulată în bucăți și cu o margine) a unui câmp vectorial $\mathbf {G}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G}}$ $\ mathbf G$ exprimabilă în termeni de potențial vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este egal cu circuitul de $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ de-a lungul marginii suprafeței. Prin urmare, teorema rotorului poate fi privită ca o generalizare a teoremei fundamentale a calculului integral , care afirmă că:

\int _{a}^{b}H\mathop {} \!\mathrm {d} t=L(b)-L(a)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} H \ mathop {} \! \ mathrm {d} t = L (b) -L (a)}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} H \ mathop {} \! \ mathrm {d} t = L (b) -L (a)}

Pentru integrala funcțiilor cu o variabilă reală, trebuie să găsim una $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ astfel încât $L'=H$ ${\ displaystyle L '= H}$ $= H$ , apoi evaluați-l la extreme. În cazul în cauză, primitivul lui ${\textstyle \mathbf {G} }$ ${\ textstyle \ mathbf {G}}$ ${\ textstyle \ mathbf {G}}$ Și ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ ${\ textstyle \ mathbf {F}}$ , calculat la limita suprafeței care joacă rolul extremelor intervalului integralei definite.

Observați cum teorema rotorului permite obținerea unei condiții echivalente cu conservativitatea unui câmp vector pe domenii conectate simplu. Dacă circuitul câmpului este zero, de fapt, acesta corespunde unui flux de rotor egal cu zero și, prin urmare, exact condiției de irotație a câmpului în sine:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = 0}

{\ mathbf {\ nabla}} \ times {\ mathbf F} = 0

datorită arbitrariului suprafeței.

Demonstrație

O funcție este dată $\mathbf {P} (u,v)=(P_{1}(u,v),P_{2}(u,v))$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} (u, v) = (P_ {1} (u, v), P_ {2} (u, v))}$ ${\ mathbf {P}} (u, v) = (P_ {1} (u, v), P_ {2} (u, v))$ la valori în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ astfel încât $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ ${\ mathbf P}$ este retragerea unui câmp $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ . Pentru a face acest lucru, ei se definesc singuri $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ ca:

{\begin{aligned}P_{1}(u,v)&=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v)){\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle \\P_{2}(u,v)&=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v)){\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {1} (u, v) & = \ left \ langle \ mathbf {F} (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle \\ P_ {2} (u, v) & = \ left \ langle \ mathbf {F} (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {1} (u, v) & = \ left \ langle \ mathbf {F} (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle \\ P_ {2} (u, v) & = \ left \ langle \ mathbf {F} (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\\ end {align}}}

unde este ${\textstyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\ textstyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}$ ${\ textstyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}$ este produsul intern din ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ în timp ce în cele ce urmează ${\textstyle \langle |A|\rangle }$ ${\ textstyle \ langle | A | \ rangle}$ ${\ textstyle \ langle | A | \ rangle}$ este o formă biliniară reprezentată de matrice ${\textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ .

Din definiția integralei de linie :

{\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma &=\int _{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ \psi (t)){\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \mathop {} \!\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ \psi (t)){\bigg |}{\frac {\mathrm {d} (\psi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \mathop {} \!\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ \psi (t)){\bigg |}(J\psi )_{\gamma (t)}\cdot {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \mathop {} \!\mathrm {d} t\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ langle (\ mathbf { F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d } (\ psi \ circ \ gamma)} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {a} ^ { b} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ langle (\ mathbf { F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d } (\ psi \ circ \ gamma)} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {a} ^ { b} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ psi (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \ mathop {} \! \ mathrm {d} t \ end {align}}}

unde este $J\psi$ ${\ displaystyle J \ psi}$ $J \ psi$ Este matricea iacobiană a $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , Și $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este frontiera dominației $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . Deci avem:

{\begin{aligned}\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t)){\bigg |}(J\psi )_{\gamma (t)}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle &=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t)){\bigg |}(J\psi )_{\gamma (t)}{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle ({}^{t}\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\cdot (J\psi )_{\gamma (t)}{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle \left(\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t)))){\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(\gamma (t))\right\rangle ,\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t)))){\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(\gamma (t))\right\rangle \right){\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle (P_{1}(u,v),P_{2}(u,v)){\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle \mathbf {P} (u,v)\ {\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(t)\right\rangle \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle ({} ^ {t} \ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) \ cdot (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d } \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ left (\ left \ langle (\ mathbf {F} (\ psi (\ gamma (t) ))) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (\ gamma (t)) \ right \ rangle, \ left \ langle (\ mathbf {F} (\ psi (\ gamma (t)))) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (\ gamma (t)) \ right \ rangle \ right) {\ bigg |} {\ frac { \ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle (P_ {1} (u, v), P_ {2} (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ mathbf {P} ( u, v) \ {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ ri ght \ rangle \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle (\ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) {\ bigg |} (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle ({} ^ {t} \ mathbf {F} \ circ \ Gamma (t)) \ cdot (J \ psi) _ {\ gamma (t)} {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d } \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ left (\ left \ langle (\ mathbf {F} (\ psi (\ gamma (t) ))) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (\ gamma (t)) \ right \ rangle, \ left \ langle (\ mathbf {F} (\ psi (\ gamma (t)))) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (\ gamma (t)) \ right \ rangle \ right) {\ bigg |} {\ frac { \ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle (P_ {1} (u, v), P_ {2} (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ mathbf {P} ( u, v) \ {\ bigg |} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma} {\ mathrm {d} t}} (t) \ ri ght \ rangle \\\ end {align}}}

Se obține următoarea ecuație:

\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\oint _{\gamma }\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \gamma

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma = \ oint _ {\ gamma} \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ gamma}

{\ displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ Gamma = \ oint _ {\ gamma} \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ gamma}

Folosind regula lui Leibniz pentru produsul interior, calculăm derivatele parțiale:

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}&=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi {\bigg |}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial v\partial u}}\right\rangle \\{\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi {\bigg |}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial u\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial v}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle + \ left \ langle \ mathbf {F} \ circ \ psi {\ bigg |} { \ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial v \ partial u}} \ right \ rangle \\ {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle + \ left \ langle \ mathbf {F} \ circ \ psi {\ bigg |} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial u \ partial v}} \ right \ rangle \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial ({\ mathbf {F}} \ circ \ psi)} { \ partial v}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ mathbf {F}} \ circ \ psi {\ bigg |} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial v \ partial u}} \ right \ rangle \\ {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial ({\ mathbf {F}} \ circ \ psi)} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ mathbf {F}} \ circ \ psi {\ bigg |} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial u \ partial v}} \ right \ rangle \ end {aliniat}}

prin urmare:

{\begin{aligned}{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle (J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle (J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}(J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}{}^{t}(J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}(J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}{\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}\left((J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}-{}^{t}(J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}\right)\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial v}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} {\ bigg |} { \ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle - \ left \ langle (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} { \ partial u}} {\ bigg |} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} {} ^ {t} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v) } {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ parts al u}} {\ bigg |} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} - {} ^ {t} {(J \ mathbf {F})} _ {\ psi (u , v)} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u} } {\ bigg |} \ left ((J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} - {} ^ {t} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v )} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} & = \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial v}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ \ psi)} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} {\ bigg |} { \ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} \ right \ rangle - \ left \ langle (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} { \ partial u}} {\ bigg |} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} {} ^ {t} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v) } {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ parts al u}} {\ bigg |} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} - {} ^ {t} {(J \ mathbf {F})} _ {\ psi (u , v)} {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u} } {\ bigg |} \ left ((J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} - {} ^ {t} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v )} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle \ end {align}}}

De cand:

\left((J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}-{}^{t}(J\mathbf {F} )_{\psi (u,v)}\right)\cdot \mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x}

{\ displaystyle \ left ((J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} - {} ^ {t} (J \ mathbf {F}) _ {\ psi (u, v)} \ dreapta) \ cdot \ mathbf {x} = (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ times \ mathbf {x}}

\ left ((J {\ mathbf {F}}) _ {{\ psi (u, v)}} - {} ^ {{t}} (J {\ mathbf {F}}) _ {{\ psi ( u, v)}} \ right) \ cdot {\ mathbf {x}} = (\ nabla \ times {\ mathbf {F}}) \ times {\ mathbf {x}}

ultimul termen din relația anterioară este egal cu:

\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\bigg |}(\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle =\det \left[(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))\quad {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\quad {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right]

{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ times {\ frac {\ partial \ psi} { \ partial v}} \ right \ rangle = \ det \ left [(\ nabla \ times \ mathbf {F}) (\ psi (u, v)) \ quad {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u }} (u, v) \ quad {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right]}

\ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} {\ bigg |} (\ nabla \ times {\ mathbf {F}}) \ times {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} \ right \ rangle = \ det \ left [(\ nabla \ times {\ mathbf {F}}) (\ psi (u, v)) \ quad {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (u, v) \ quad {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right]

Pe de altă parte, din definiția integralei de suprafață :

{\begin{aligned}\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }&=\iint _{D}\left\langle (\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)){\bigg |}{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle \mathop {\mathrm {d} u} \mathop {\mathrm {d} v} \\&=\iint _{D}\det \left[(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)){\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v){\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right]\mathop {\mathrm {d} u} \mathop {\mathrm {d} v} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ cdot \; \ mathrm {d} {\ mathbf {S}} & = \ iint _ { D} \ left \ langle (\ nabla \ times \ mathbf {F}) (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (u, v ) \ times {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right \ rangle \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v} \\ & = \ iint _ {D} \ det \ left [(\ nabla \ times \ mathbf {F}) (\ psi (u, v)) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (u, v) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right] \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v} \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ cdot \; \ mathrm {d} {\ mathbf {S}} & = \ iint _ { D} \ left \ langle (\ nabla \ times \ mathbf {F}) (\ psi (u, v)) {\ bigg |} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (u, v ) \ times {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right \ rangle \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v} \\ & = \ iint _ {D} \ det \ left [(\ nabla \ times \ mathbf {F}) (\ psi (u, v)) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial u}} (u, v) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial v}} (u, v) \ right] \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v} \ end {align} }}

astfel încât să obținem:

\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{1}}{\partial v}}\right)\mathop {\mathrm {d} u} \mathop {\mathrm {d} v}

{\ displaystyle \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ cdot \; \ mathrm {d} {\ mathbf {S}} = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v}}

{\ displaystyle \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ cdot \; \ mathrm {d} {\ mathbf {S}} = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} u} \ mathop {\ mathrm {d} v}}

Având în vedere teorema lui Green , teza rezultă din rezultatele arătate.

Bibliografie

( EN ) Michael Spivak , Calcul pe manifolduri: o abordare modernă a teoremelor clasice ale calculului avansat , Westview Press, 1971 [1]
( EN ) M. Hazewinkel, "O introducere tutorială asupra varietăților diferențiabile și a calculelor pe varietăți" W. Schiehlen (ed.) W. Wedig (ed.), Analiza și estimarea sistemelor mecanice stocastice , Springer (Wien) (1988) pp . 316-340

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, formula Stokes , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Encyclopedia of Mathematics, Integration on multipolds , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică