Funcție netedă

În matematică , o netezime într-un punct al domeniului său este o funcție care este diferențiată de un număr infinit de ori în punct, sau echivalent, care este derivabilă de un număr infinit de ori în punct în raport cu fiecare dintre variabilele sale (pentru teorema lui diferențialul , de fapt, o funcție este diferențiată într-un punct dacă derivatele sale parțiale sunt continue acolo). Dacă o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este netedă în toate punctele unui întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , se spune că este elegant $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , iar tu scrii $f\in C^{\infty }(A)$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (A)}$ $f \ în C ^ {\ infty} (A)$ .

Funcții netede și funcții analitice în cazul real

Același subiect în detaliu: Funcția analitică .

Este $f:D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}$ $f: D \ to \ mathbb {R}$ o funcție reală a unei variabile reale definite pe un domeniu $D\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {R}}$ $D \ subseteq \ mathbb {R}$ , și presupuneți că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ să fie netedă pe raza deschisă $I\subseteq D$ ${\ displaystyle I \ subseteq D}$ $I \ subseteq D$ . Apoi a luat un punct $x_{0}\in I$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în I}$ $x_ {0} \ în I$ , este posibil să se aproximeze funcția în jurul acelui punct datorită teoremei lui Taylor :

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {(n) } (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}

f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ ldots + {\ frac {f ^ {{(n)}} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})

unde cantitatea $o((x-x_{0})^{n})$ ${\ displaystyle o ((x-x_ {0}) ^ {n})}$ $sau ((x-x_ {0}) ^ {n})$ este un rest astfel încât:

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {o ((x-x_ {0}) ^ {n})} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0}

\ lim _ {{x \ to x_ {0}}} {\ frac {o ((x-x_ {0}) ^ {n})} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0

Deoarece funcția este netedă, această aproximare este valabilă pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În special, este posibil să se evalueze seria Taylor a funcției luând limita pentru $n\to +\infty$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ $n \ to + \ infty$ :

T_{f}(x):=f(x_{0})+\sum _{k=1}^{+\infty }{{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}

{\ displaystyle T_ {f} (x): = f (x_ {0}) + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0 })} {k!}} (x-x_ {0}) ^ {k}}}

T_ {f} (x): = f (x_ {0}) + \ sum _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} {{\ frac {f ^ {{(k)}} ( x_ {0})} {k!}} (x-x_ {0}) ^ {k}}

Contrar a ceea ce s-ar putea aștepta, această serie nu converge în general $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ : dacă se verifică convergența (punctuală), se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este analitic în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , si daca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ansamblul de puncte în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este analitic, este scris $f\in C^{\omega }(A)$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {\ omega} (A)}$ $f \ în C ^ {{\ omega}} (A)$ . Deoarece fiecare funcție analitică este mai uniformă, în special, relația de set are:

C^{\omega }(A)\subset C^{\infty }(A)

{\ displaystyle C ^ {\ omega} (A) \ subset C ^ {\ infty} (A)}

C ^ {{\ omega}} (A) \ subset C ^ {{\ infty}} (A)

Se poate face un argument analog pentru funcții cu mai multe variabile reale.

Exemple

Funcția exponențială este o funcție lină pe întreaga axă reală, având derivate de orice ordin, fiecare multiplu de la sine:

f(x)=e^{\alpha x}\Rightarrow f^{(n)}(x)=\alpha ^{n}e^{\alpha x}\ \ \forall x\in \mathbb {R}

{\ displaystyle f (x) = e ^ {\ alpha x} \ Rightarrow f ^ {(n)} (x) = \ alpha ^ {n} e ^ {\ alpha x} \ \ \ forall x \ in \ mathbb {R}}

f (x) = e ^ {{\ alpha x}} \ Rightarrow f ^ {{(n)}} (x) = \ alpha ^ {n} e ^ {{\ alpha x}} \ \ \ forall x \ în \ mathbb {R}

Se arată că această funcție este, de asemenea, analitică pe întreaga axă reală, adică seria sa Taylor converge la

e^{\alpha x}

{\ displaystyle e ^ {\ alpha x}}

și ^ {{\ alpha x}}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

real.

Următoarea funcție definită în bucăți:

O funcție lină nu este neapărat analitică.

f(x)={\begin{cases}e^{\frac {1}{x^{2}-1}}&{\mbox{ se }}|x|<1,\\0&{\mbox{ altrove }}\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} e ^ {\ frac {1} {x ^ {2} -1}} & {\ mbox {se}} | x | <1, \\ 0 & {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} e ^ {{{\ frac {1} {x ^ {2} -1}}}} & {\ mbox {se}} | x | <1, \\ 0 & {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}

este un exemplu de funcție lină, dar non-analitică pe întreaga axă reală. De fapt, ia în considerare punctul de exemplu

x=1

{\ displaystyle x = 1}

x = 1

: toate derivatele din dreapta ale funcției în acel punct sunt trivial nule, în timp ce derivatele din stânga dețin:

f^{(n)}{(1)}=\lim _{x\to 1^{-}}{e^{\frac {1}{x^{2}-1}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{(1-x^{2})^{-1}}}=0

{\ displaystyle f ^ {(n)} {(1)} = \ lim _ {x \ to 1 ^ {-}} {e ^ {\ frac {1} {x ^ {2} -1}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} {(1-x ^ {2}) ^ {- 1}}} = 0}

f ^ {{(n)}} {(1)} = \ lim _ {{x \ to 1 ^ {-}}} {e ^ {{{\ frac {1} {x ^ {2} -1} }}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} {(1-x ^ {2}) ^ {{- 1}}}} = 0

întrucât exponențialul scade mai repede decât orice funcție algebrică. Deoarece toate derivatele din stânga și din dreapta se potrivesc, funcția este infinit diferențiată (se spune, de asemenea, că „rămâne bine”) în

x=1

{\ displaystyle x = 1}

x = 1

. Cu toate acestea, se vede, de asemenea, că seria Taylor a funcției scrise în jurul acestui punct este identică zero, în timp ce

f

{\ displaystyle f}

f

nu este nimic în niciun cartier stâng al

x=1

{\ displaystyle x = 1}

x = 1

; funcția nu este deci analitică în acest moment.

Funcții netede complexe

În cazul funcțiilor complexe ale unei variabile complexe , netezimea într-un punct (sau pe un set) derivă direct din holomorfia funcției din acel punct (sau pe acel set). Din acest motiv vorbim indiferent de „netezime” sau „diferențialitate” a unei funcții complexe. Într-adevăr, este posibil să se demonstreze că o funcție complexă holomorfă pe un domeniu este chiar analitică acolo (vezi ecuațiile Cauchy-Riemann ).

Definiție pentru varietăți diferențiabile

Lasa-i sa fie $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ soiuri diferențiate e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . O functie $F:M\rightarrow N$ ${\ displaystyle F: M \ rightarrow N}$ $F: M \ rightarrow N$ se spune că este diferențiat în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (sau netedă sau elegantă $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ) dacă există o carte $(U,\phi )$ ${\ displaystyle (U, \ phi)}$ $(U, \ phi)$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și un card $(V,\psi )$ ${\ displaystyle (V, \ psi)}$ $(V, \ psi)$ în $F(p)$ ${\ displaystyle F (p)}$ $F (p)$ astfel încât $F(U)\subset V$ ${\ displaystyle F (U) \ subset V}$ $F (U) \ subset V$ și compoziția:

\psi \circ \ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\rightarrow \psi (V)

{\ displaystyle \ psi \ circ \ F \ circ \ phi ^ {- 1}: \ phi (U) \ rightarrow \ psi (V)}

\ psi \ circ \ F \ circ \ phi ^ {{- 1}}: \ phi (U) \ rightarrow \ psi (V)

este neted în jur $\phi (p)$ ${\ displaystyle \ phi (p)}$ $\ phi (p)$ . Această definiție nu depinde de cărțile alese: de fapt, luarea altor cărți $(U',\phi ')$ ${\ displaystyle (U ', \ phi')}$ $(U ', \ phi')$ Și $(V',\phi ')$ ${\ displaystyle (V ', \ phi')}$ $(V ', \ phi')$ compozitia $\psi '\circ \ F\circ \phi '^{-1}$ ${\ displaystyle \ psi '\ circ \ F \ circ \ phi' ^ {- 1}}$ $\ psi '\ circ \ F \ circ \ phi' ^ {{- 1}}$ rămâne netedă în jur $\phi (p)$ ${\ displaystyle \ phi (p)}$ $\ phi (p)$ .

$F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este diferențiat (neted, elegant $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ ) dacă este pentru fiecare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Dacă și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este inversabil cu inversul neted atunci $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se va numi difeomorfism . Studiul proprietăților invariante pentru difeomorfisme este subiectul topologiei diferențiale .

Construirea de funcții uniforme prin restricții

Este adesea util să construim funcții netede care sunt nule în afara unui anumit interval , dar nu în interiorul acestuia ( funcții de suport compacte ). Această proprietate nu poate fi obținută niciodată pentru o serie de puteri ^[1] , care oferă o demonstrație suplimentară a decalajului dintre funcțiile netede și funcțiile analitice .

Notă

^ O serie de puteri este holomorfă pe setul său de convergență și, prin urmare, nu poate admite decât zerouri izolate acolo.

Bibliografie

Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
S. Salsa, Ecuații diferențiale parțiale , Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Weisstein, Eric W. Smooth Function . De la MathWorld
(EN) Rowland, Todd. Funcția C ^ infinit . De la MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O serie de puteri este holomorfă pe setul său de convergență și, prin urmare, nu poate admite decât zerouri izolate acolo.

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy