Funcția de testare

O funcție bump în mai multe variabile

În matematică, o funcție de testare sau o funcție bump este o funcție variabilă reală netedă , compatibilă , definită pe spațiul euclidian . Este o clasă de funcții de o importanță deosebită, deoarece permite definirea spațiului distribuțiilor , dualitatea spațiului funcțiilor de testare.

O funcție de testare deosebit de importantă este funcția de întrerupere , care este identic 1 într-un set dat și se descompune ușor la 0 de îndată ce iese din set.

Definiție

O funcție de testare este o funcție variabilă reală $f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}}$ netedă cu suport compact definit pe spațiul euclidian ${\mathbb {R} }^{n}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ .

Spațiul funcțional se lovește ${\mathbb {R} }^{n}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ se notează cu $C_{0}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n})$ ${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ sau $C_{c}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n})$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ . Spațiul dual al acestui spațiu prevăzut cu topologia relativă este spațiul distribuțiilor .

Funcția cutoff

În scopuri practice, este dată definiția menționată în jurul originii [-1,1]; este clar modul în care construcția poate fi generalizată pentru orice interval , compunând cu difeomorfisme adecvate între cele două seturi.

O funcție cutoff este definită ca o funcție $\xi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ xi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ xi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât:

\xi \in C^{\infty }(\mathbb {R} )\qquad \xi (x)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}|x|\leq 1\\0\leq \xi (x)\leq 1&{\mbox{ altrove}}\\0&{\mbox{ se }}|x|>2\end{cases}}

{\ displaystyle \ xi \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ qquad \ xi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} | x | \ leq 1 \ \ 0 \ leq \ xi (x) \ leq 1 & {\ mbox {în altă parte}} \\ 0 & {\ mbox {se}} | x |> 2 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ xi \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ qquad \ xi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} | x | \ leq 1 \ \ 0 \ leq \ xi (x) \ leq 1 & {\ mbox {în altă parte}} \\ 0 & {\ mbox {se}} | x |> 2 \ end {cases}}}

Este o funcție specială netedă, cu suport compact , adică o funcție de testare.

Construirea unei funcții de întrerupere

Funcțiile cutoff pot fi construite folosind metoda convoluției . Mai precis, este posibil să se determine o funcție care este identică 1 pe un set compact dat și 0 în afara vecinătății sale (adică cu suportul conținut în acesta).

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este compactul dorit e $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un deschis care conține $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , metoda este următoarea: o vecinătate compactă a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ interior $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât este $K\subset {\mbox{Int}}(V)\subset V\subset U$ ${\ displaystyle K \ subset {\ mbox {Int}} (V) \ subset V \ subset U}$ ${\ displaystyle K \ subset {\ mbox {Int}} (V) \ subset V \ subset U}$ și preluați funcția indicator $\chi _{V}$ ${\ displaystyle \ chi _ {V}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {V}}$ a compactului $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Se presupune că această funcție este complicată cu un dedurizator adecvat cu un suport suficient de mic, adică care nici nu se intersectează $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nici complementarul de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ : veți obține o funcție netedă decât în interior $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a rămas identic 1 și al cărui sprijin este încă conținut în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Aproximarea unei funcții

Definire:

\xi _{n}(x)=\xi \left({\frac {x}{n}}\right)

{\ displaystyle \ xi _ {n} (x) = \ xi \ left ({\ frac {x} {n}} \ right)}

{\ displaystyle \ xi _ {n} (x) = \ xi \ left ({\ frac {x} {n}} \ right)}

dată oricărei funcții $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ puteți construi o secvență de funcții :

u_{n}=u\cdot \xi _{n}

{\ displaystyle u_ {n} = u \ cdot \ xi _ {n}}

{\ displaystyle u_ {n} = u \ cdot \ xi _ {n}}

la suport compact decât la divergența de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ converge spre funcția originală. Cu regularitate adecvată, această convergență poate fi uniformă , în norma L ^p și așa mai departe.

Funcția de despărțire

Strâns legat de funcția cutoff este un alt tip de funcție, pe al cărui nume comunitatea științifică nu a ajuns încă la consens (uneori se numește cutoff ^[1] ): este o aplicație care ia valoarea 0 la numerele negative, 1 la numere mai mare de 1 și care variază ușor în intervalul [0,1]. Se folosește, de exemplu, la construcția partiției diferențiate a unității .

Este o funcție $\beta :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ beta: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ beta: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât:

\beta \in C^{\infty }(\mathbb {R} )\qquad \beta (x)={\begin{cases}0&{\mbox{ se }}x\leq 0\\0\leq \beta (x)\leq 1&{\mbox{ altrove}}\\1&{\mbox{ se }}x\geq 1\end{cases}}

{\ displaystyle \ beta \ în C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ qquad \ beta (x) = {\ begin {cases} 0 și {\ mbox {se}} x \ leq 0 \\ 0 \ leq \ beta (x) \ leq 1 & {\ mbox {în altă parte}} \\ 1 & {\ mbox {se}} x \ geq 1 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ beta \ în C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ qquad \ beta (x) = {\ begin {cases} 0 și {\ mbox {se}} x \ leq 0 \\ 0 \ leq \ beta (x) \ leq 1 & {\ mbox {în altă parte}} \\ 1 & {\ mbox {se}} x \ geq 1 \ end {cases}}}

Notă

^ Vezi de ex. Amiya Mukherjee, Topics in Differential Topology , Hindustan Book Agency, 2005, ISBN 8185931569

Bibliografie

( EN ) KO Mead și LM Delves, „Despre rata de convergență a expansiunilor Fourier generalizate”, IMA J. Appl. Matematica. , vol. 12, pp. 247-259 (1973)

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) SG Johnson, Integrarea în punct de șa a funcțiilor C _∞ "bump" , note online MIT (2007).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Vezi de ex. Amiya Mukherjee, Topics in Differential Topology , Hindustan Book Agency, 2005, ISBN 8185931569

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy