Funcții aerisite

În matematică, funcțiile Airy sunt două funcții speciale indicate respectiv cu $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ care își iau numele de la cel al astronomului englez George Biddell Airy (1801-1892). Ele constituie soluțiile ecuației diferențiale obișnuite , numite "Aerisit",

f''-xf=0

{\ displaystyle f '' - xf = 0}

{\ displaystyle f '' - xf = 0}

.

Aceasta este cea mai simplă ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu un punct în care caracterul soluțiilor se schimbă de la oscilator la exponențial. Adesea denumirea de „ Funcție aerisită ” înseamnă singura $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ . Această funcție poate apărea, de exemplu, din ecuația Helmholtz într-o singură dimensiune (obișnuită):

f''+k(x)^{2}f=0

{\ displaystyle f '' + k (x) ^ {2} f = 0}

{\ displaystyle f '' + k (x) ^ {2} f = 0}

,

dacă componenta vectorului de undă depinde de rădăcina direcției:

k(x)^{2}=x

{\ displaystyle k (x) ^ {2} = x}

{\ displaystyle k (x) ^ {2} = x}

.

fundal

Funcția Airy poartă numele astronomului englez George Biddell Airy , care a cunoscut-o în studiile sale de optică (Airy 1838). Notatia $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ a fost introdus de Harold Jeffreys . Airy a devenit astronomul regal englez în 1835 și a ocupat postul până la retragerea sa în 1881.

Definiții

Graficul

Ai(x)

{\ displaystyle Ai (x)}

{\ displaystyle Ai (x)}

în roșu și di

Bi(x)

{\ displaystyle Bi (x)}

{\ displaystyle Bi (x)}

in albastru

Pentru valori reale ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , funcția Airy $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ este definit de următoarea integrală necorespunzătoare:

\mathrm {Ai} (x):={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (x): = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) dt \ equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (x): = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) dt \ equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt}

.

Integrala când $b\to \infty$ ${\ displaystyle b \ to \ infty}$ ${\ displaystyle b \ to \ infty}$ converge chiar dacă integrandul nu se anulează din cauza oscilațiilor rapide, de lema Riemann-Lebesgue (prezența lor poate fi verificată prin efectuarea unei integrări pe părți ).

Derivând sub simbolul integral, obținem că $f=Ai(x)$ ${\ displaystyle f = Ai (x)}$ ${\ displaystyle f = Ai (x)}$ satisface ecuația diferențială Airy:

f''-xf=0

{\ displaystyle f '' - xf = 0}

{\ displaystyle f '' - xf = 0}

.

Această ecuație are două soluții liniar independente . Dacă nu este o constantă multiplicativă, $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ este soluția supusă condiției $y\to 0$ ${\ displaystyle y \ to 0}$ ${\ displaystyle y \ to 0}$ de sine $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ $x \ to + \ infty$ . Alegerea standard pentru cealaltă soluție este funcția Airy de al doilea tip, notată cu $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ . Această soluție are aceeași amplitudine de oscilație ca $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ pentru $x\to -\infty$ ${\ displaystyle x \ to - \ infty}$ $x \ to - \ infty$ , dar defazat de $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ .

\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}

Proprietate

Valorile $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ și derivatele lor pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ sunt date de

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {Ai} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {3}} \ Gamma ({\ tfrac {2} { 3}})}}, & \ quad \ mathrm {Ai} '(0) & {} = - {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {3}} \ Gamma ({\ tfrac { 1} {3}})}}, \\\ mathrm {Bi} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {6}} \ Gamma ({\ tfrac { 2} {3}})}}, & \ quad \ mathrm {Bi} '(0) & {} = {\ frac {3 ^ {\ frac {1} {6}}} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {3}})}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {Ai} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {3}} \ Gamma ({\ tfrac {2} { 3}})}}, & \ quad \ mathrm {Ai} '(0) & {} = - {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {3}} \ Gamma ({\ tfrac { 1} {3}})}}, \\\ mathrm {Bi} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {6}} \ Gamma ({\ tfrac { 2} {3}})}}, & \ quad \ mathrm {Bi} '(0) & {} = {\ frac {3 ^ {\ frac {1} {6}}} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {3}})}}. \ End {align}}}

Aici $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ denotă funcția Gamma . Rezultă că Wronskianul din $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ merita $1/\pi$ ${\ displaystyle 1 / \ pi}$ $1 / \ pi$ .

Cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este pozitiv, $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ este pozitiv, concav și descrește exponențial la zero, în timp ce $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ este pozitiv, convex și în creștere exponențială. Cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este negativ, $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ oscilează în jurul valorii de zero cu o frecvență crescătoare și o amplitudine descrescătoare. Acest lucru se poate obține din formulele asimptotice de mai jos ale funcțiilor Airy.

Funcțiile Airy sunt ortogonale, ^[1] în sensul că

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (t+x)\mathrm {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (t + x) \ mathrm {Ai} (t + y) dt = \ delta (xy)}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (t + x) \ mathrm {Ai} (t + y) dt = \ delta (x-y)}

.

Subiecte complexe

Putem extinde definiția funcției Airy la planul complex prin definirea

\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ exp \ left ({\ frac {t ^ {3}} {3}} - zt \ right ) \, dt,}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ exp \ left ({\ frac {t ^ {3}} {3}} - zt \ right ) \, dt,}

unde integralul este definit pe o cale care începe într-un punct la infinit cu argumentul -π / 3 și se termină într-un punct la infinit cu argumentul π / 3. Alternativ, putem folosi ecuația diferențială $f''-xf=0$ ${\ displaystyle f '' - xf = 0}$ ${\ displaystyle f '' - xf = 0}$ pentru a extinde $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ la funcții întregi pe planul complex.

Grafice

$\Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right]}$	$\Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right]}$	$\|\mathrm {Ai} (x+iy)\|\,$ ${\ displaystyle \| \ mathrm {Ai} (x + iy) \| \,}$ ${\ displaystyle \| \ mathrm {Ai} (x + iy) \| \,}$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right] \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left [\ mathrm {Ai} (x + iy) \ right] \,}$

$\Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right]}$	$\Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right]}$	$\|\mathrm {Bi} (x+iy)\|\,$ ${\ displaystyle \| \ mathrm {Bi} (x + iy) \| \,}$ ${\ displaystyle \| \ mathrm {Bi} (x + iy) \| \,}$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right] \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left [\ mathrm {Bi} (x + iy) \ right] \,}$

Formule asimptotice

LA the

{\ displaystyle Ai}

Pentru

(în albastru) și forma asimptotică sinusoidală / exponențială a

LA the

{\ displaystyle Ai}

Pentru

(în violet)

B. the

{\ displaystyle Bi}

{\ displaystyle Bi}

(în albastru) și forma asimptotică sinusoidală / exponențială a

B. the

{\ displaystyle Bi}

{\ displaystyle Bi}

(în violet)

Comportamentul asimptotic al Airy funcționează cu $|z|$ ${\ displaystyle | z |}$ ${\ displaystyle | z |}$ tindând spre infinit păstrând valoarea constantă $arg(z)$ ${\ displaystyle arg (z)}$ ${\ displaystyle arg (z)}$ depinde de acesta din urmă: acesta se numește fenomenul Stokes. Pentru $|arg(z)|<\pi$ ${\ displaystyle | arg (z) | <\ pi}$ ${\ displaystyle | arg (z) | <\ pi}$ avem următoarea estimare asimptotică pentru $Ai(z)$ ${\ displaystyle Ai (z)}$ ${\ displaystyle Ai (z)}$ : ^[2]

\mathrm {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (z) \ sim {\ dfrac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n }} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (z) \ sim {\ dfrac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n }} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}

și avem un egal pentru $Bi(z)$ ${\ displaystyle Bi (z)}$ ${\ displaystyle Bi (z)}$ , dar aplicabil numai atunci când $|arg(z)|<\pi /3$ ${\ displaystyle | arg (z) | <\ pi / 3}$ ${\ displaystyle | arg (z) | <\ pi / 3}$ :

\mathrm {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (z) \ sim {\ frac {e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ dreapta].}

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (z) \ sim {\ frac {e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ dreapta].}

Formule mai precise pentru $Ai(z)$ ${\ displaystyle Ai (z)}$ ${\ displaystyle Ai (z)}$ si pentru $Bi(z)$ ${\ displaystyle Bi (z)}$ ${\ displaystyle Bi (z)}$ cand $\pi /3<|arg(z)|<\pi$ ${\ displaystyle \ pi / 3 <| arg (z) | <\ pi}$ ${\ displaystyle \ pi / 3 <| arg (z) | <\ pi}$ sau, echivalent, pentru $Ai(-z)$ ${\ displaystyle Ai (-z)}$ ${\ displaystyle Ai (-z)}$ Și $Bi(-z)$ ${\ displaystyle Bi (-z)}$ ${\ displaystyle Bi (-z)}$ cand $|arg(z)|<2\pi /3$ ${\ displaystyle | arg (z) | <2 \ pi / 3}$ ${\ displaystyle | arg (z) | <2 \ pi / 3}$ dar nu zero, acestea sunt: ^[3]

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-z)&{}\sim {\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\\[6pt]\mathrm {Bi} (-z)&{}\sim {\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {Ai} (-z) & {} \ sim {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \\ [6pt] \ mathrm {Bi} (-z) și {} \ sim {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac { \ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {Ai} (-z) & {} \ sim {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \\ [6pt] \ mathrm {Bi} (-z) și {} \ sim {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac { \ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}}. \ end {align}}}

Din comportamentul lor asimptotic rezultă că este $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ Și $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ au o infinitate de zerouri pe axa reală negativă. Functia $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ nu are alte zerouri în planul complex, în timp ce funcția $Bi(x)$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ ${\ displaystyle Bi (x)}$ are, de asemenea, o infinitate de zerouri în sector $\{z\in \mathbb {C} :\pi /3<|arg(z)|<\pi /2\}$ ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: \ pi / 3 <| arg (z) | <\ pi / 2 \}}$ ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: \ pi / 3 <| arg (z) | <\ pi / 2 \}}$ .

Cand $arg(z)=0$ ${\ displaystyle arg (z) = 0}$ ${\ displaystyle arg (z) = 0}$ , adică pentru numerele reale, acestea sunt aproximări bune, dar nu sunt asimptotice, deoarece relația dintre $Ai(-z)$ ${\ displaystyle Ai (-z)}$ ${\ displaystyle Ai (-z)}$ sau $Bi(-z)$ ${\ displaystyle Bi (-z)}$ ${\ displaystyle Bi (-z)}$ iar aproximarea suprapusă tinde spre infinit de fiecare dată când sinusul sau cosinusul se anulează. Estimările asimptotice pentru aceste limite sunt totuși disponibile și sunt listate în ( Abramowitz și Stegun , 1954) și ( Olver , 1974).

Relații cu alte funcții speciale

Pentru argumente pozitive, funcțiile Airy sunt legate de funcțiile Bessel modificate :

\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} x}} \, K_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ dreapta),}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} x}} \, K_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ dreapta),}

\mathrm {Bi} (x)={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left[I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (x) = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} x}} \ left [I_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3} } x ^ {3/2} \ right) + I _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right].}

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (x) = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} x}} \ left [I_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3} } x ^ {3/2} \ right) + I _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right].}

Unde este, $I_{\pm 1/3}$ ${\ displaystyle I _ {\ pm 1/3}}$ ${\ displaystyle I _ {\ pm 1/3}}$ Și $K_{1/3}$ ${\ displaystyle K_ {1/3}}$ ${\ displaystyle K_ {1/3}}$ sunt soluții de

x^{2}f''+xf'-(x^{2}+1/9)f=0

{\ displaystyle x ^ {2} f '' + xf '- (x ^ {2} +1/9) f = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} f '' + xf '- (x ^ {2} +1/9) f = 0}

.

Primul derivat al funcției Airy este

\mathrm {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).

{\ displaystyle \ mathrm {Ai '} (x) = - {\ frac {x} {\ pi {\ sqrt {3}}}} \, K _ {\ frac {2} {3}} \ left ({ \ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right).}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai '} (x) = - {\ frac {x} {\ pi {\ sqrt {3}}}} \, K _ {\ frac {2} {3}} \ left ({ \ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right).}

Pentru argumente negative, funcțiile Airy sunt legate de funcțiile Bessel :

\mathrm {Ai} (-x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (-x) = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {x}} \ left [J_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3 }} x ^ {3/2} \ right) + J _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right],}

{\ displaystyle \ mathrm {Ai} (-x) = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {x}} \ left [J_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3 }} x ^ {3/2} \ right) + J _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right],}

\mathrm {Bi} (-x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (-x) = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left [J _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3} } x ^ {3/2} \ right) -J_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right].}

{\ displaystyle \ mathrm {Bi} (-x) = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left [J _ {- 1/3} \ left ({\ frac {2} {3} } x ^ {3/2} \ right) -J_ {1/3} \ left ({\ frac {2} {3}} x ^ {3/2} \ right) \ right].}

Unde este, $J_{\pm 1/3}$ ${\ displaystyle J _ {\ pm 1/3}}$ ${\ displaystyle J _ {\ pm 1/3}}$ sunt soluții de

x^{2}f''+xf'+(x^{2}-1/9)f=0

{\ displaystyle x ^ {2} f '' + xf '+ (x ^ {2} -1/9) f = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} f '' + xf '+ (x ^ {2} -1/9) f = 0}

.

Funcții de scor , care rezolvă ecuația $f''-xf=1/\pi$ ${\ displaystyle f '' - xf = 1 / \ pi}$ ${\ displaystyle f '' - xf = 1 / \ pi}$ , poate fi exprimat și în funcție de funcțiile Airy:

\mathrm {Gi} (x)=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt

{\ displaystyle \ mathrm {Gi} (x) = \ mathrm {Bi} (x) \ int _ {x} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (t) \, dt + \ mathrm {Ai} (x ) \ int _ {0} ^ {x} \ mathrm {Bi} (t) \, dt}

{\ displaystyle \ mathrm {Gi} (x) = \ mathrm {Bi} (x) \ int _ {x} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (t) \, dt + \ mathrm {Ai} (x ) \ int _ {0} ^ {x} \ mathrm {Bi} (t) \, dt}

,

\mathrm {Hi} (x)=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.

{\ displaystyle \ mathrm {Hi} (x) = \ mathrm {Bi} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ mathrm {Ai} (t) \, dt- \ mathrm {Ai} ( x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ mathrm {Bi} (t) \, dt.}

{\ displaystyle \ mathrm {Hi} (x) = \ mathrm {Bi} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ mathrm {Ai} (t) \, dt- \ mathrm {Ai} ( x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ mathrm {Bi} (t) \, dt.}

Transformată Fourier

Folosind definiția funcției Airy Ai ( x ), este simplu să arătăm că transformata sa Fourier este dată de

{\mathcal {F}}(\mathrm {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ mathrm {Ai}) (k): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (x) \ e ^ {- 2 \ pi ikx} \, dx = e ^ {{\ frac {i} {3}} (2 \ pi k) ^ {3}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ mathrm {Ai}) (k): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {Ai} (x) \ e ^ {- 2 \ pi ikx} \, dx = e ^ {{\ frac {i} {3}} (2 \ pi k) ^ {3}}.}

Aplicații

Funcția Airy este soluția ecuației Schrödinger pentru o particulă limitată într-un puț triunghiular potențial și pentru o particulă într-un câmp uniform de forțe unidimensional. Din același motiv, această funcție servește pentru a oferi o aproximare uniformă în apropierea unui punct de cotitură în aproximarea WKB , unde potențialul poate fi aproximat local printr-o funcție liniară a poziției. Soluția de sondă cu potențial triunghiular este direct relevantă pentru înțelegerea multor dispozitive semiconductoare.

Funcția Airy subliniază, de asemenea, forma intensității apropiată de o caustică optică direcțională, cum ar fi cea a curcubeului . Din punct de vedere istoric, această problemă matematică a condus-o pe Airy să dezvolte această funcție specială.

Funcția Zeta a lui Airy

Funcția Zeta a lui Airy , studiată de Crandall (1996), este o funcție analogă funcției zeta Riemann și relativă la zerourile funcției $Ai(x)$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ ${\ displaystyle Ai (x)}$ .

Spus $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ , $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ , ... succesiunea lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ in care $Ai(x)=0$ ${\ displaystyle Ai (x) = 0}$ ${\ displaystyle Ai (x) = 0}$ , ordonată după valoarea lor absolută, funcția Zeta a lui Airy este definită de serie

\zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (s) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| a_ {i} | ^ {s}}}. }

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (s) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| a_ {i} | ^ {s}}}. }

Această serie converge atunci când partea reală a $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este mai mare decât $3/2$ ${\ displaystyle 3/2}$ $3/2$ și poate fi extins prin extindere analitică la alte valori ale $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Ca și funcția Riemann Zeta, a cărei valoare $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ ${\ displaystyle \ zeta (2) = \ pi ^ {2} / 6}$ ${\ displaystyle \ zeta (2) = \ pi ^ {2} / 6}$ este soluția la problema Basel , funcția Zeta poate fi evaluată exact în $s=2$ ${\ displaystyle s = 2}$ ${\ displaystyle s = 2}$ :

\zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}},

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (2) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {a_ {i} ^ {2}}} = {\ frac {3 ^ {5/3} \ Gamma ^ {4} ({\ frac {2} {3}})} {4 \ pi ^ {2}}},}

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (2) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {a_ {i} ^ {2}}} = {\ frac {3 ^ {5/3} \ Gamma ^ {4} ({\ frac {2} {3}})} {4 \ pi ^ {2}}},}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este funcția Gamma , o variantă continuă a factorială . Evaluări similare sunt posibile și pentru valorile de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ mai mare. S-a presupus că extensia analitică a funcției Airy Zeta evaluată în $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ merită

\zeta _{\mathrm {Ai} }(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}})}}

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (1) = {\ frac {-3 ^ {- 2/3} \ Gamma ({\ frac {2} {3}})} {\ Gamma ({ \ frac {4} {3}})}}}

{\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (1) = {\ frac {-3 ^ {- 2/3} \ Gamma ({\ frac {2} {3}})} {\ Gamma ({ \ frac {4} {3}})}}}

Notă

^ David E. Aspnes, Physical Review, 147 , 554 (1966)
^ Abramowitz & Stegun (1970, p. 448 ), Equaz 10.4.59 și 10.4.63
^ Abramowitz & Stegun (1970, p. 448 ), Equaz 10.4.60 și 10.4.64

Bibliografie

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1954): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , (Vezi §10.4) . Biroul Național de Standarde .
Airy (1838): Despre intensitatea luminii în vecinătatea unui caustic , Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6 , pp. 379-402
Frank Olver (1974). Asimptotice și funcții speciale , presa academică (capitolul 11)
Frank Olver (2008): Capitolul AI: Funcții aerisite și conexe , Capitolul 9 al Bibliotecii digitale a funcțiilor matematice .
Richard E. Crandall, Despre funcția zeta cuantică , în Journal of Physics A: Mathematical and General , vol. 29, nr. 21, 1996, pp. 6795–6816, DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/21/014 , ISSN 0305-4470 ( WC ACNP ) , MR 1421901 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcțiile Airy

linkuri externe

Funcții aerisite în MathWorld
Funcția Airy Ai (x) din functions.wolfram.com
Funcția Airy Bi (x) din functions.wolfram.com
derivat al funcției Airy Ai (x) din functions.wolfram.com
derivat al funcției Airy Bi (x) din functions.wolfram.com
Funcția Zeta a lui Airy în MathWorld

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33538 · LCCN (EN) sh85003008 · GND (DE) 4225959-9 · BNF (FR) cb12404112c (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] David E. Aspnes, Physical Review, 147 , 554 (1966)

[2] Abramowitz & Stegun (1970, p. 448 ), Equaz 10.4.59 și 10.4.63

[3] Abramowitz & Stegun (1970, p. 448 ), Equaz 10.4.60 și 10.4.64

[1]

[2]

[3]