Întreaga funcție

În analiza complexă , prin funcție analitică întreagă sau, pe scurt, prin funcție întreagă se înțelege o funcție a unei variabile complexe care este holomorfă în toate punctele planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .

În mod echivalent, o funcție întreagă este definită ca o funcție a unei variabile complexe f ( z ) care pentru unii $c\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ $c \ in {\ mathbb {C}}$ poate fi exprimat cu o expansiune Taylor în serie

f(z)=a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+a_{3}(z-c)^{3}+\cdots

{\ displaystyle f (z) = a_ {0} + a_ {1} (zc) + a_ {2} (zc) ^ {2} + a_ {3} (zc) ^ {3} + \ cdots}

{\ displaystyle f (z) = a_ {0} + a_ {1} (z-c) + a_ {2} (z-c) ^ {2} + a_ {3} (z-c) ^ {3} + \ cdots}

convergent pentru orice valoare complexă a variabilei z . Într-adevăr, dacă există o dezvoltare a formei precedente pentru un punct c , atunci există pentru fiecare punct al planului complex.

Exemple

Cele mai simple exemple de funcții întregi sunt funcțiile polinomiale și funcția exponențială ; altele sunt funcțiile trigonometrice sinus și cosinus, funcțiile sinus hiperbolice și cosinus hiperbolic și funcția de distribuție gaussiană sunt întregi, deoarece pot fi obținute cu compozițiile de mai sus pornind de la funcția exponențială.

Suma, diferența, produsul, derivatele și compoziția funcțiilor întregi sunt funcții întregi; la fel sunt și coeficienții f / g , dar numai dacă fiecare zero al lui g este, de asemenea, un zero al f cu zero cu multiplicitate egală sau mai mare (în caz contrar, coeficientul este o funcție meromorfă ).

Multe funcții inverse ale funcțiilor întregi nu sunt întregi: funcția logaritmică , funcția rădăcină pătrată , arcsine , arccosine nu sunt .

Alte funcții întregi sunt:

funcțiile Airy ;
funcția de eroare erf ( z ) și variantele sale; funcția complementară a funcției de eroare erfc ( z ) și funcția de eroare imaginară erfi ( z );
reciprocitatea funcției Gamma ;
integralele Fresnel ;
funcția de sinus integral ;
funcțiile En ;
funcția Barnes G.

Creştere

Un prim instrument în studiul creșterii funcțiilor întregi sau cât de mare devine modulul său sunt estimările (valabile pentru orice funcție holomorfă ) care derivă din formula integrală Cauchy , conform căreia

\left|f^{(n)}(z)\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}},

{\ displaystyle \ left | f ^ {(n)} (z) \ right | \ leq {\ frac {n! M} {R ^ {n}}},}

{\ displaystyle \ left | f ^ {(n)} (z) \ right | \ leq {\ frac {n! M} {R ^ {n}}},}

unde M este maximul de | f | în cercul razei R și al centrului z . Pentru funcțiile întregi, R poate lua orice valoare și, prin urmare, poate fi făcut să tindă spre infinit. Prin aplicarea acestei estimări pentru n = 1 obținem teorema lui Liouville : o funcție întreagă mărginită trebuie redusă la o constantă; acesta este un comportament semnificativ diferit de cazul real, în care există funcții analitice (de exemplu sinusul) care rămân limitate. Generalizând, obținem că o funcție care crește cel mult ca polinom de grad m (adică astfel încât $|f(z)|<C|z|^{m}$ ${\ displaystyle | f (z) | <C | z | ^ {m}}$ ${\ displaystyle | f (z) | <C | z | ^ {m}}$ pentru o constantă C și pentru un număr întreg m ) este de fapt un polinom de grad cel mult m .

Aceste două rezultate pot fi reformulate în termeni de comportament al funcției la punctul la infinit al planului complex: dacă o funcție întreagă are o singularitate eliminabilă atunci este constantă, în timp ce dacă are un pol atunci este un polinom; în consecință, orice altă funcție întreagă are o singularitate esențială la infinit. Legată de aceasta este mica teoremă a lui Picard : o funcție întreagă neconstantă ia ca valoare orice număr complex cu cel mult o excepție. Prezența excepției este necesară, de exemplu, pentru funcția exponențială, care nu este niciodată nulă.

O modalitate de a cuantifica rata la care crește o funcție este dată de ordinea sa: aceasta este definită ca

\lambda =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}},

{\ displaystyle \ lambda = \ limsup _ {r \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ ln M_ {f} (r)} {\ ln r}},}

{\ displaystyle \ lambda = \ limsup _ {r \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ ln M_ {f} (r)} {\ ln r}},}

unde M _f ( r ) indică maximul modulului lui f la punctele de modul mai mici decât r . De exemplu, polinoamele au ordinea 0, ordinea exponențială a funcției 1 și funcția $e^{e^{z}}$ ${\ displaystyle e ^ {e ^ {z}}}$ ${\ displaystyle e ^ {e ^ {z}}}$ are o ordine infinită. Un exemplu de ordine fracțională (1/2) este dat de funcția (întreg) $\cos {\sqrt {z}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ sqrt {z}}}$ .

Zero

În ceea ce privește orice funcție holomorfă, setul de zerouri ale unei funcții întregi nu poate avea niciun punct de acumulare în interiorul domeniului și, prin urmare, în acest caz, în întregul plan complex; în afară de această condiție, însă, zerourile unei funcții întregi pot fi distribuite în orice mod. În cazul unui număr finit de zerouri, este ușor să construim o funcție întreagă care dispare în acele zerouri (și numai în acele). De exemplu, o funcție cu zero în 0 a multiplicității m (poate fi și m = 0) și într- un ₁ , ..., a _n , diferit de 0 (unde fiecare zero se repetă de câte ori este egal cu multiplicitatea sa ), este dat de polinom

z^{m}\prod _{n=1}^{r}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right).

{\ displaystyle z ^ {m} \ prod _ {n = 1} ^ {r} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right).}

{\ displaystyle z ^ {m} \ prod _ {n = 1} ^ {r} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right).}

În consecință, orice funcție întreagă cu exact acele zerouri (cu multiplicitatea corectă) poate fi obținută prin înmulțirea acestui produs cu $e^{g(z)}$ ${\ displaystyle e ^ {g (z)}}$ ${\ displaystyle e ^ {g (z)}}$ , unde g ( z ) este o funcție întreagă.

Această construcție nu poate fi extinsă fără modificări la zerouri infinite, deoarece produsul infinit poate să nu convergă (sau să convergă , dar nu în mod uniform și, prin urmare, nu neapărat la o funcție holomorfă). Prin urmare, este necesar să se introducă factori corectori;Teorema de factorizare a lui Weierstrass afirmă că fiecare funcție întreagă f ( z ), cu un zero de ordinul m în 0 și celelalte zerouri într- un ₁ , un ₂ , ..., un _n , ... (fiecare repetată în funcție de multiplicitatea sa ), poate fi scris în formă

f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)e^{g_{n}(z)},

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n} }} \ dreapta) și ^ {g_ {n} (z)},}

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n} }} \ dreapta) și ^ {g_ {n} (z)},}

unde g ( z ) este o funcție întreagă și

g_{n}(z)={\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{h_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{h_{n}}

{\ displaystyle g_ {n} (z) = {\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}} } \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {h_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {h_ {n} }}

{\ displaystyle g_ {n} (z) = {\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}} } \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {h_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {h_ {n} }}

unde h _n sunt numere întregi astfel încât

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{h_{n}+1}}}<+\infty .

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| a_ {n} | ^ {h_ {n} +1}}} <+ \ infty.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| a_ {n} | ^ {h_ {n} +1}}} <+ \ infty.}

Dacă această serie este convergentă a lua h _n toate egal cu un număr real pozitiv a, τ minimă între o satisface această ipoteză este numită exponentul de convergență a secvenței {| a _n |} _n . Teorema lui Hadamard leagă ordinea λ a unei funcții întregi de exponentul de convergență τ și de gradul polinomului d : mai exact avem

\lambda =\max(d,\tau ).

{\ displaystyle \ lambda = \ max (d, \ tau).}

{\ displaystyle \ lambda = \ max (d, \ tau).}

Datorită teoremei lui Hadamard este posibil să se demonstreze că fiecare funcție întreagă de ordine fracționară își asumă toate valorile din planul complex de un număr infinit de ori.

Bibliografie

( EN ) Lars Ahlfors , Analiza complexă , ediția a III-a, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-000657-1 .

Elemente conexe

Funcția meromorfă

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, întreaga funcție , în MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 27478 · LCCN (RO) sh85052337 · BNF (FR) cb11983040g (data) · NDL (RO, JA) 00570321

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică