Teorema Liouville (analiză complexă)

În matematică , în special în analiza complexă , teorema Liouville este o teoremă referitoare la o proprietate caracteristică a funcțiilor întregi . Stabilește asta, dictează $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}$ o funcție întreagă, dacă există $M\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ R$ astfel încât $|f(z)|\leq M$ ${\ displaystyle | f (z) | \ leq M}$ $| f (z) | \ leq M$ pentru fiecare $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $z \ in \ mathbb {C}$ , adică dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este limitat atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă.

Teorema lui Liouville poate fi întărită de mica teoremă a lui Picard care afirmă că imaginea lui $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ printr-o funcție întreagă neconstantă este fie întregul plan complex, fie planul complex privat de un punct. De asemenea, permite obținerea unei dovezi simple a teoremei fundamentale a algebrei .

Demonstrație

De cand $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este întreg, dezvoltarea sa poate fi scrisă în jurul originii:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}

f (z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_nz ^ n

Pentru coeficienți, sunt valabile următoarele relații, care pot fi obținute prin teorema integrală Cauchy și formula Cauchy :

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {R}} {\ frac {f (\ xi)} {\ xi ^ {n + 1}} } d \ xi}

a_n = \ frac {1} {2 \ pi i} \ oint_ {C_R} \ frac {f (\ xi)} {\ xi ^ {n + 1}} d \ xi

unde este $C_{R}$ ${\ displaystyle C_ {R}}$ $C_R$ este circumferința centrată la origine și rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , suficient de mare pentru a ține $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Aplicând lema lui Darboux obținem următoarea inegalitate:

|a_{n}|={\bigg |}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{\xi ^{n+1}}}d\xi {\bigg |}\leq {\frac {1}{2\pi R^{n+1}}}\max _{C_{R}}|f|(2\pi R)={\frac {1}{R^{n}}}\max _{C_{R}}|f|

{\ displaystyle | a_ {n} | = {\ bigg |} {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {R}} {\ frac {f (\ xi)} {\ xi ^ {n + 1}}} d \ xi {\ bigg |} \ leq {\ frac {1} {2 \ pi R ^ {n + 1}}} \ max _ {C_ {R}} | f | ( 2 \ pi R) = {\ frac {1} {R ^ {n}}} \ max _ {C_ {R}} | f |}

{\ displaystyle | a_ {n} | = {\ bigg |} {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {R}} {\ frac {f (\ xi)} {\ xi ^ {n + 1}}} d \ xi {\ bigg |} \ leq {\ frac {1} {2 \ pi R ^ {n + 1}}} \ max _ {C_ {R}} | f | ( 2 \ pi R) = {\ frac {1} {R ^ {n}}} \ max _ {C_ {R}} | f |}

Dacă acum forțați $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este limitat de numărul pozitiv $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , vedem asta pentru toți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ natural, altul decât 0, cantitatea $M/{R^{n}}$ ${\ displaystyle M / {R ^ {n}}}$ $M / {R ^ n}$ si in consecinta $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ tinde la 0 dacă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ tinde spre infinit. În consecință $a_{n}=0$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ $a_n = 0$ pentru fiecare $n\neq 0$ ${\ displaystyle n \ neq 0}$ $n \ neq 0$ , care este teza.

Extensie

O extensie a teoremei poate fi operată prin slăbirea ipotezelor, adică prin necesitatea nu ca funcția să fie mărginită, ci să aibă valori într-un semiplan.

Este $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}$ o funcție întreagă . De sine $f(\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbb {C})}$ $f (\ mathbb {C})$ atunci este cuprins într-un demiplan $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă.

De fapt, fără a afecta generalitatea, se poate presupune că semiplanul este semiplanul identificat prin numere complexe având o parte reală pozitivă. Spus $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ partea reală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , se pare deci că $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este armonic (deoarece este o parte reală a unei funcții holomorfe ) și, prin urmare, pozitiv $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este constantă. Din relațiile Cauchy-Riemann avem și asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă.

Bibliografie

( EN ) VS Vladimirov, Metode ale teoriei funcțiilor mai multor variabile complexe , MIT (1966)
( FR ) G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609-616
( RU ) AV Bitsadze, Fundamentele teoriei funcțiilor analitice ale unei variabile complexe , Moscova (1972)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, SA Stepanov, IA Kvasnikov, Teoreme Liouville , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică