Inegalitatea Darboux

Inegalitatea Darboux este o inegalitate relativă la integrarea pe planul complex : afirmă că modulul integralei unei funcții , de-a lungul unei curbe a planului complex, este întotdeauna mai mic sau egal cu valoarea maximă în modulul funcției , înmulțit cu lungimea curbei. Mai formal, pentru integralul curbiliniar al unei funcții $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ de-a lungul curbei $\gamma \subset \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ gamma \ subset \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ subset \ mathbb {C}}$ Inegalitatea lui Darboux este după cum urmează:

\left|{\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}}\right|\leq \int _{\gamma }{\left|{f\left(z\right)}\right|dz}\leq M\cdot l

{\ displaystyle \ left | {\ int _ {\ gamma} {f \ left (z \ right) dz}} \ right | \ leq \ int _ {\ gamma} {\ left | {f \ left (z \ right )} \ right | dz} \ leq M \ cdot l}

{\ displaystyle \ left | {\ int _ {\ gamma} {f \ left (z \ right) dz}} \ right | \ leq \ int _ {\ gamma} {\ left | {f \ left (z \ right )} \ right | dz} \ leq M \ cdot l}

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este valoarea maximă în modul asumată de funcția de-a lungul curbei și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este lungimea curbei.

Dovadă: împărțim curba $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ și între puncte $(z_{0},z_{1});(z_{1},z_{2});\ldots ;(z_{n-1},z_{n})$ ${\ displaystyle (z_ {0}, z_ {1}); (z_ {1}, z_ {2}); \ ldots; (z_ {n-1}, z_ {n})}$ ${\ displaystyle (z_ {0}, z_ {1}); (z_ {1}, z_ {2}); \ ldots; (z_ {n-1}, z_ {n})}$ luăm punctele $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {n}}$ . Să definim acum

S_{n}=f(\xi _{1})(z_{1}-z_{0})+f(\xi _{2})(z_{2}-z_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(z_{n}-z_{n-1})

{\ displaystyle S_ {n} = f (\ xi _ {1}) (z_ {1} -z_ {0}) + f (\ xi _ {2}) (z_ {2} -z_ {1}) + \ ldots + f (\ xi _ {n}) (z_ {n} -z_ {n-1})}

{\ displaystyle S_ {n} = f (\ xi _ {1}) (z_ {1} -z_ {0}) + f (\ xi _ {2}) (z_ {2} -z_ {1}) + \ ldots + f (\ xi _ {n}) (z_ {n} -z_ {n-1})}

din care se obține

\lim \limits _{n\to +\infty }S_{n}=\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} S_ {n} = \ int _ {\ gamma} {f \ left (z \ right) dz}}

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} S_ {n} = \ int _ {\ gamma} {f \ left (z \ right) dz}}

iar relația următoare este valabilă și

\left|{S_{n}}\right|\leq \sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{f\left({\xi _{k}}\right)}\right|\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}\leq M\sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}

{\ displaystyle \ left | {S_ {n}} \ right | \ leq \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left | {f \ left ({\ xi _ {k}} \ right )} \ right | \ left | {z_ {k} -z_ {k-1}} \ right |} \ leq M \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left | {z_ {k } -z_ {k-1}} \ dreapta |}}

{\ displaystyle \ left | {S_ {n}} \ right | \ leq \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left | {f \ left ({\ xi _ {k}} \ right )} \ right | \ left | {z_ {k} -z_ {k-1}} \ right |} \ leq M \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left | {z_ {k } -z_ {k-1}} \ dreapta |}}

din care trecerea la limita pentru $n\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow + \ infty}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow + \ infty}$ obținem inegalitatea Darboux.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică