Funcție limitată

În matematică , o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe un set arbitrar $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ iar cu valori reale sau complexe se spune că este limitată dacă imaginea sa este un set limitat . Declarat în mod explicit, aceasta înseamnă că există un număr real pozitiv $R>0$ ${\ displaystyle R> 0}$ ${\ displaystyle R> 0}$ astfel încât $|f(x)|<R$ ${\ displaystyle | f (x) | <R}$ $| f (x) | <R$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

În cazul specific al unei funcții reale , o funcție este delimitată dacă poate lua doar valori într-un interval . Aceasta înseamnă că există valori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât, pentru fiecare valoare a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin care funcția este definită, $a<f(x)<b$ ${\ displaystyle a <f (x) <b}$ ${\ displaystyle a <f (x) <b}$ . De asemenea, pentru funcții reale, o funcție a cărei valoare nu poate fi niciodată mai mare decât o anumită valoare este indicată ca o funcție delimitată în partea de sus și o funcție a cărei valoare nu poate fi niciodată mai mică decât o valoare dată ca o funcție delimitată în partea de jos .

Noțiunea de funcție mărginită este generalizată de la cea de operator mărginit .

Exemple

Funcția sinusoidală , considerată ca o funcție a numerelor reale, este limitată: de fapt valorile sale sunt incluse în intervalul [-1, 1]. Pe de altă parte, extinsă la planul complex, funcția sinusului este nelimitată.

Functia $f(x)=1/x$ ${\ displaystyle f (x) = 1 / x}$ $f (x) = 1 / x$ , definit pentru orice număr real cu excepția 0, este nelimitat, deoarece valoarea sa absolută poate deveni arbitrar mare dacă valoarea absolută a lui x devine suficient de mică. Funcția devine limitată dacă îi restricționați domeniul, de exemplu la interval $[1,+\infty )$ ${\ displaystyle [1, + \ infty)}$ $[1, + \ infty)$ , astfel încât valorile sale să fie cuprinse între 0 și 1.

Ultimele două exemple arată că depinde și de domeniul unei funcții dacă este delimitată. O teoremă bine-cunoscută afirmă că pentru o funcție continuă cu valori într-un spațiu metric, este suficient să știm că domeniul său este compact pentru a deduce că funcția este mărginită (de exemplu, Rudin 1976, capitolul 4, pentru funcții reale).

Generalizare

Același subiect în detaliu: Operator limitat .

Aceeași definiție de mai sus poate fi generalizată imediat pentru funcțiile evaluate într-un spațiu normat arbitrar $(Y,\|\cdot \|)$ ${\ displaystyle (Y, \ | \ cdot \ |)}$ $(Y, \ | \ cdot \ |)$ , înlocuind valoarea absolută cu norma . Se poate generaliza în continuare funcțiile cu valori într-un spațiu metric arbitrar $(M,d)$ ${\ displaystyle (M, d)}$ $(M, d)$ , definind mărginit fiecare funcție $f:X\to M$ ${\ displaystyle f: X \ to M}$ $f: X \ to M$ care admite un punct a în M și un număr pozitiv R > 0 astfel încât

d(f(x),a)<R

{\ displaystyle d (f (x), a) <R}

d (f (x), a) <R

pentru fiecare x din X.

Pentru a vedea că ultima definiție coincide cu cea anterioară pentru un spațiu normat (fiecare spațiu normat este în mod natural și un spațiu metric, luând norma diferenței lor ca distanță între două puncte: $d(x,y)=\|x-y\|$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$ $d (x, y) = \ | x-y \ |$ ), este suficient să se aplice inegalitatea triunghiulară pentru a obține asta

\|f(x)\|<d(0,a)+R

{\ displaystyle \ | f (x) \ | <d (0, a) + R}

\ | f (x) \ | <d (0, a) + R

măsura în care $d(f(x),a)<R$ ${\ displaystyle d (f (x), a) <R}$ $d (f (x), a) <R$ ; invers, o funcție limitată în raport cu norma este, de asemenea, limitată în raport cu metrica, setând a = 0.

Spații cu funcții limitate

Funcțiile delimitate pe un set X formează un spațiu vectorial real sau complex, în funcție de intervalul considerat. De fapt, din cauza inegalității triunghiulare , suma a două funcții delimitate este la rândul ei delimitată, iar omogenitatea normei implică faptul că și produsul pentru un scalar al unei funcții delimitate dă o funcție delimitată.

Pe acest spațiu vectorial, notat în mod obișnuit cu B ( X ), norma poate fi definită

\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)|

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ în X} | f (x) |}

\ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {{x \ în X}} | f (x) |

,

așa-numita normă uniformă . Convergența față de această normă nu este altceva decât convergența uniformă a unei succesiuni de funcții .

Un caz important este cel al secvențelor mărginite , adică dacă X este mulțimea numerelor naturale . Acest spațiu de secvențe este notat cu $l^{\infty }$ ${\ displaystyle l ^ {\ infty}}$ $l ^ {\ infty}$ .

Bibliografie

Rudin, Walter : Principiile analizei matematice . McGraw-Hill, 1976, ISBN 0070856133

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică