Operator limitat

În analiza funcțională, un operator limitat este un operator $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ între două spații metrice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât, totuși, este ales un subset limitat $B\subset X$ ${\ displaystyle B \ subset X}$ ${\ displaystyle B \ subset X}$ , întregul $f(B)$ ${\ displaystyle f (B)}$ ${\ displaystyle f (B)}$ este un subset limitat de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Un operator liniar continu mărginit între spații vectoriale normate este o funcție astfel încât relația dintre norma imaginii unui vector și norma vectorului în sine este mărginită de același număr pentru fiecare vector diferit de zero al domeniului. În special, un operator liniar este delimitat dacă și numai dacă este continuu .

Definiție

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ spații reglementate e $L:X\rightarrow Y$ ${\ displaystyle L: X \ rightarrow Y}$ $L: X \ dreapta Y$ un operator liniar . Operatorul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ se spune că este limitat dacă: ^[1]

\sup _{x\neq 0}\left[{\frac {\|Lx\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}\right]<\infty \qquad \forall x\in X

{\ displaystyle \ sup _ {x \ neq 0} \ left [{\ frac {\ | Lx \ | _ {Y}} {\ | x \ | _ {X}}} \ right] <\ infty \ qquad \ forall x \ in X}

\ sup _ {{x \ neq 0}} \ left [{\ frac {\ | Lx \ | _ {Y}} {\ | x \ | _ {X}}} \ right] <\ infty \ qquad \ forall x \ în X

Ansamblul relațiilor dintre normele imaginilor vectorilor non-nul ai $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și normele vectorilor în sine sunt, prin urmare, limitate de același număr, adică există un $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ astfel încât pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ avem:

\|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}\

{\ displaystyle \ | Lx \ | _ {Y} \ leq M \ | x \ | _ {X} \}

\ | Lx \ | _ {Y} \ leq M \ | x \ | _ {X} \

Cel mai mic $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ care satisface inegalitatea se numește norma operatorului operatorului $\|L\|_{op}$ ${\ displaystyle \ | L \ | _ {op}}$ $\ | L \ | _ {{op}}$ din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . ^[2]

Se arată că un operator liniar este mărginit dacă și numai dacă este un operator continuu .

Un operator, pe de altă parte, se spune că nu este limitat dacă se poate găsi o succesiune de elemente ale spațiului normat în cauză $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ cu $\|x_{n}\|=1$ ${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | = 1}$ $\ | x_ {n} \ | = 1$ astfel încât:

\|Ax_{n}\|\rightarrow \infty

{\ displaystyle \ | Ax_ {n} \ | \ rightarrow \ infty}

\ | Ax_ {n} \ | \ rightarrow \ infty

Un operator liniar delimitat nu este neapărat o funcție delimitată , deoarece acesta din urmă necesită ca norma de imagine să fie delimitată pentru fiecare punct din domeniu, în timp ce fiecare operator delimitat este o funcție delimitată local.

Continuitate și grafic

Același subiect în detaliu: Operator liniar continuu și graficul unei funcții .

Un operator liniar este mărginit dacă și numai dacă este continuu, și în special un operator liniar este mărginit dacă și numai dacă este continuu într-un punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[3]

Cele mai deschise funcție teorema stările pe care un operator liniar mărginit între spații Banach hărți ale deschise seturi în seturi deschise, adică, este o funcție deschisă . ^[4] Ca o consecință a teoremei, fiecare hartă liniară bijectivă și continuă între spațiile Banach are un invers continuu.

Teorema funcției deschise ne permite, de asemenea, să dovedim teorema graficului închis . Asuma ca $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații Banach și asta $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ este un operator liniar . Teorema afirmă că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este limitat dacă și numai dacă graficul său este închis în spațiu $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ echipat cu topologia produsului . ^[5]

Ca corolar, teorema Hellinger-Toeplitz arată că un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este limitat. ^[6] Acest rezultat are o importanță considerabilă în fizică , unde este necesară o anumită formă de simetrie unor operatori importanți nelimitați, cum ar fi energia din mecanica cuantică , care nu poate fi definită peste tot.

Limitarea relativă

Un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este limitată în raport cu operatorul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , sau $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitat , dacă:

D(B)\subset D(A)\qquad \|Au\|\leq a_{1}\|u\|+a_{2}\|Bu\|\quad u\in D(B)

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B) }

D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B)

Echivalent:

D(B)\subset D(A)\qquad \|Au\|^{2}\leq b_{1}^{2}\|u\|^{2}+b_{2}^{2}\|Bu\|^{2}\quad u\in D(B)

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | ^ {2} \ leq b_ {1} ^ {2} \ | u \ | ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} \ | Bu \ | ^ {2} \ quad u \ în D (B)}

D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | ^ {2} \ leq b_ {1} ^ {2} \ | u \ | ^ {2} + b_ {2} ^ {2} \ | Bu \ | ^ {2} \ quad u \ în D (B)

Cea mai mare limită inferioară a setului de valori posibile pe care o poate lua $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ si a zis $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limita de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Conceptul de limitare relativă este utilizat în studiul operatorilor autoadjuncti . Dovedește că dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este autoadjunct și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetrică și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitat cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limitați mai puțin de 1, apoi operatorul $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este autoadjunct.

De asemenea, dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este esențial autoadiacent $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este în esență autoadjunct și avem:

{\overline {A+B}}={\bar {A}}+{\bar {B}}

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ bar {A}} + {\ bar {B}}}

\ overline {A + B} = {\ bar A} + {\ bar B}

unde este ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ indică închiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Topologie operațională

Același subiect în detaliu: Topologie operațională .

Atunci când avem de-a face cu operatori liniari delimitați pe spații Banach sau Hilbert , este posibil să se definească diferite topologii pornind de la convergența secvențelor operatorilor. Este $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ o succesiune de operatori lineari continui pe un spatiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (într-un mod echivalent putem considera un spațiu Banach).

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie operativă puternică dacă:

T_{n}x\to Tx\qquad \forall x\in H

{\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx \ qquad \ forall x \ in H}

T_ {n} x \ to Tx \ qquad \ forall x \ în H

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie operativă slabă dacă:

F(T_{n}x)\to F(Tx)\qquad \forall F\in H^{*}

{\ displaystyle F (T_ {n} x) \ to F (Tx) \ qquad \ forall F \ in H ^ {*}}

F (T_ {n} x) \ to F (Tx) \ qquad \ forall F \ in H ^ {*}

Se spune că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în topologie de operare uniformă dacă:

\|T_{n}-T\|\to 0\qquad \forall x\in H

{\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0 \ qquad \ forall x \ in H}

\ | T_ {n} -T \ | \ to 0 \ qquad \ forall x \ în H

Notă

^ W. Rudin , pagina 96 .
^ Reed, Simon , Pagina 182
^ W. Rudin , pagina 97 .
^ Reed, Simon , Pagina 82 .
^ Reed, Simon , Pagina 83
^ Reed, Simon , Pagina 84

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
(EN) Kreyszig, Erwin: Analiza funcțională introductivă cu aplicații, Wiley, 1989

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, Bounded operator , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 96 .

[reed-2] Reed, Simon , Pagina 182

[3] W. Rudin , pagina 97 .

[4] Reed, Simon , Pagina 82 .

[5] Reed, Simon , Pagina 83

[6] Reed, Simon , Pagina 84

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]