Topologie operațională

În matematică , în special în analiza funcțională , o topologie operator este o topologie care caracterizează algebra $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ de operatori liniari limitați pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Introducere

Este $\{T_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {T_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {T_ {n} \}}$ o succesiune de operatori liniari pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (sau pe un spațiu Banach ). Afirmând că $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ converge la un anumit operator $T\in H$ ${\ displaystyle T \ în H}$ ${\ displaystyle T \ în H}$ pot fi înțelese mai multe lucruri:

De sine $\|T_{n}-T\|\to 0$ ${\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0}$ ${\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0}$ , care este limita superioară a $\Vert T_{n}x-Tx\Vert _{H}$ ${\ displaystyle \ Vert T_ {n} x-Tx \ Vert _ {H}}$ ${\ displaystyle \ Vert T_ {n} x-Tx \ Vert _ {H}}$ converge la 0, cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sfera unitară în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , asa de $T_{n}\to T$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ în topologie de operare uniformă .
De sine $T_{n}x\to Tx$ ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ pentru toți $x\in H$ ${\ displaystyle x \ în H}$ $x \ în H$ asa de $T_{n}\to T$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ în topologie operativă puternică .
De sine $T_{n}x\to Tx$ ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ în slaba topologie a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , adică $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ ${\ displaystyle F (T_ {n} x) \ to F (Tx)}$ ${\ displaystyle F (T_ {n} x) \ to F (Tx)}$ pentru fiecare funcțional liniar $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , asa de $T_{n}\to T$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ în topologie operativă slabă .

Topologia operatorului obișnuit este topologia cea mai fină locală convexă din spațiul operatorilor mărginite definite pe un spațiu Hilbert (sau Banach) astfel încât harta care își asociază norma unui operator este continuă pentru fiecare element al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Topologia operatorului slab este topologia cea mai slabă din spațiul operatorilor mărginite definită pe un spațiu Hilbert astfel încât harta care asociază numărul unui operator $(Tx,y)$ ${\ displaystyle (Tx, y)}$ $(Tx, y)$ este continuu pentru orice pereche de elemente ale $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , în timp ce topologia operatorului uniform este mai fină decât cele anterioare.

Convergența în topologia operatorului uniformă o implică pe cea obișnuită, care la rândul său o implică pe cea slabă. În plus, fiecare limită, dacă există, este unică.

Topologii

Diferite topologii pot fi definite pornind de la posibilele tipuri de convergență a unei succesiuni de funcții. O topologie se numește puternică sau fină dacă are „multe” deschise, în timp ce se numește slabă sau dură dacă are „puține”. În special, dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este spațiul vectorial format din hărțile liniare definite pe spațiul vectorial $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , atunci se poate defini o topologie $\sigma (A,B)$ ${\ displaystyle \ sigma (A, B)}$ ${\ displaystyle \ sigma (A, B)}$ ca cea mai slabă topologie de pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât toate elementele din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt funcții continue ( topologie inițială ). Topologia finală este definită în același mod.

Spațiul Banach $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ are un singur predual $B(H)_{*}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ , format din operatorii de clasă trace , al căror dual este $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ . În preduale seminorm $p_{w}(x)$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ pentru $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ pozitiv este definit ca $(w,x^{*}x)^{1/2}$ ${\ displaystyle (w, x ^ {*} x) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle (w, x ^ {*} x) ^ {1/2}}$ .

Topologiile prezentate mai jos sunt convexe la nivel local , adică sunt definite printr-o familie de seminorme .

Topologia normei sau topologia uniformă este definită cu su norma obișnuită $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ . Aceasta este cea mai puternică topologie enumerată mai jos.
Topologia slabă pentru spațiile Banach este dată de $\sigma (B(H),B(H)^{*})$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H), B (H) ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H), B (H) ^ {*})}$ și este cea mai slabă topologie astfel încât toate elementele dualului $B(H)^{*}$ ${\ displaystyle B (H) ^ {*}}$ ${\ displaystyle B (H) ^ {*}}$ sunt continue. Aceasta este topologia slabă a spațiului Banach $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ , și este mai puternic decât topologiile operatorilor ultra-slabi și slabi.
Topologia Mackey sau Arens - Topologia Mackey este cea mai puternică topologie convexă locală $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ astfel încât dualul este cel precedent $B(H)_{*}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ , și este mai puternic decât toți cei care urmează. Aceasta este topologia asociată cu convergența uniformă pe subseturi convexe de $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ compact în ceea ce privește topologia $\sigma (B(H)_{*},B(H)$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H) _ {*}, B (H)}$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H) _ {*}, B (H)}$ .
Topologia ultra -puternică sau topologia σ-puternică este definită de familia seminormelor $p_{w}(x)$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ pentru $w\in B(H)^{*}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) ^ {*}}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) ^ {*}}$ pozitiv.
Topologia ultraforte ^* sau σ-strong ^* este topologia mai slabă, care este mai puternică decât topologia ultraforte și este astfel încât adăugarea este continuă. Este definit de familia seminormelor $p_{w}(x)$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ ${\ displaystyle p_ {w} (x)}$ Și $p_{w}(x^{*})$ ${\ displaystyle p_ {w} (x ^ {*})}$ ${\ displaystyle p_ {w} (x ^ {*})}$ pentru $w\in B(H)^{*}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) ^ {*}}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) ^ {*}}$ pozitiv și este mai puternic decât următoarele topologii.
Topologia ultra -slabă, σ- topologia slabă sau topologia slabă ^* , de asemenea notată cu $\sigma (B(H),B(H)_{*})$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H), B (H) _ {*})}$ ${\ displaystyle \ sigma (B (H), B (H) _ {*})}$ , este topologia definită de familia seminormelor $|(w,x)|$ ${\ displaystyle | (w, x) |}$ ${\ displaystyle | (w, x) |}$ pentru $w\in B(H)_{*}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) _ {*}}$ ${\ displaystyle w \ în B (H) _ {*}}$ pozitiv. Este mai puternică decât topologia slabă.
Topologia operatorului puternic sau puternic topologia este definită de familia seminorme $\|x(h)\|$ ${\ displaystyle \ | x (h) \ |}$ ${\ displaystyle \ | x (h) \ |}$ pentru $h\in H$ ${\ displaystyle h \ în H}$ $h \ în H$ . Este mai puternică decât topologia slabă.
Topologia puternică ^* este definită de familia seminormelor $\|x(h)\|$ ${\ displaystyle \ | x (h) \ |}$ ${\ displaystyle \ | x (h) \ |}$ Și $\|x^{*}(h)\|$ ${\ displaystyle \ | x ^ {*} (h) \ |}$ ${\ displaystyle \ | x ^ {*} (h) \ |}$ pentru $h\in H$ ${\ displaystyle h \ în H}$ $h \ în H$ . Este mai puternică decât topologiile slabe și puternice.
Topologia slab operatorului sau slab topologia ( în general diferită de topologia slabă menționată mai sus pentru spații Banach) este definit de familia seminorme $\|(x(h_{1}),h_{2})\|$ ${\ displaystyle \ | (x (h_ {1}), h_ {2}) \ |}$ ${\ displaystyle \ | (x (h_ {1}), h_ {2}) \ |}$ pentru $h_{1},h_{2}\in H$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ în H}$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ în H}$ .
Topologia polară este o topologie convexă locală definită pornind de la o pereche (duală) de spații vectoriale duale .

Funcționalități liniare continue activate $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ pentru topologiile operatorului slab, puternic și puternic ^* sunt combinațiile liniare finite de funcționale $(xh_{1},h_{2})$ ${\ displaystyle (xh_ {1}, h_ {2})}$ ${\ displaystyle (xh_ {1}, h_ {2})}$ pentru $h_{1},h_{2}\in H$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ în H}$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ în H}$ , în timp ce funcționalitățile liniare continuă $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ pentru topologiile de operare ultra-slabe, ultra-puternice, ultra-puternice ^* și Arens-Mackey sunt elementele predualei $B(H)_{*}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ .

Funcționalitățile liniare continue din topologia normei sunt aceleași ca și în topologia slabă a unui spațiu Banach, prin definiție.

Cu teorema Banach-Alaoglu-Bourbaki se poate arăta că pe subseturi mărginite în norma de $B(H)$ ${\ displaystyle B (H)}$ $B (H)$ topologiile operatorilor slabi și ultra-slabi coincid. Din esențial același motiv, pe aceste subseturi coincid și topologiile puternice și ultra-puternice, precum și topologiile Arens-Mackey, puternice ^* și ultra-puternice ^* .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Nicolas Bourbaki , Spații vectoriale topologice , Elemente de matematică, Addison - Wesley, 1977.
( EN ) AP Robertson, WJ Robertson, Spații vectoriale topologice , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 53, Cambridge University Press , 1964, p. 62.
( EN ) Helmuth H. Schaefer, Spații vectoriale topologice , GTM , vol. 3, New York, Springer-Verlag, 1971, p. 131, ISBN 0-387-98726-6 .
( EN ) M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , ISBN 3-540-42248-X
(EN) Walter Rudin,Analiza funcțională , McGraw-Hill Science / Engineering / Math, ianuarie 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
( EN ) Gert Pedersen, Analysis Now , Springer, 1989, ISBN 0-387-96788-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AI Shtern, topologie Operator , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică