Diffeomorfismul lui Anosov

În matematică , mai ales în domeniul sistemelor dinamice și al topologiei , o hartă Anosov pe o varietate M este un tip de hartă, de la M însăși, având direcții locale evidente de „expansiune” și „contracție”. Sistemele Anosov sunt cazuri speciale ale sistemelor Axiom A.

Difeomorfismele lui Anosov au fost introduse de Dmitri Anosov , care a arătat că comportamentul lor a fost, într-un anumit sens, generic (atunci când există) ^[1] .

Prezentare generală

Trebuie distinse trei definiții strâns legate:

Dacă o hartă diferențiată f pe M are o structură hiperbolică pe pachetul tangent , atunci se numește hartă Anosov . Exemple de acest tip sunt hărțile Bernoulli și harta pisicii lui Arnold .

Dacă harta este un difeomorfism , atunci se numește Diffeomorfismul lui Anosov.

Dacă un flux pe un distribuitor împarte fasciculul tangent în trei sub- fibre invariante, dintre care una se contractă exponențial, una se dilată exponențial și a treia este o sub-fibră unidimensională nedilatantă (traversată de direcția fluxului ), atunci fluxul se numește al lui Anosov .

Un exemplu clasic al difeomorfismului lui Anosov este harta pisicii lui Arnold .

Anosov a arătat că Difeomorfism Anosov este stabilă structural și formează un set deschis de hărți (flux) cu topologia C ^1.

Nu orice varietate admite un difeomorfism Anosov; de exemplu, nu există diferențieri de acest tip pe sferă . Cele mai simple exemple de manifolduri compacte care le admit sunt tauri: admit așa-numitele difeomorfisme liniare Anosov care sunt izomorfisme care nu au valori proprii ale modulului 1. S-a arătat că orice alt diferenomorfism Anosov pe un tor este echivalent topologic la acestea din urmă.

O altă întrebare deschisă este dacă vreun difeomorfism Anosov este tranzitiv. Toate difereomorfismele Anosov cunoscute sunt. O condiție suficientă pentru tranzitivitate este nerecurența: $\Omega (f)=M$ ${\ displaystyle \ Omega (f) = M}$ ${\ displaystyle \ Omega (f) = M}$ .

De asemenea, se știe că orice Anosov $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ {1}$ care păstrează volumul este ergodic. Anosov a dovedit acest lucru în ipoteză $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ . Este valabil și pentru difereomorfismele Anosov $C^{1+\alpha }$ ${\ displaystyle C ^ {1+ \ alpha}}$ ${\ displaystyle C ^ {1+ \ alpha}}$ care păstrează volumul.

Prin difeomorfisme Anosov $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ tranzitiv $f:M\to M$ ${\ displaystyle f: M \ to M}$ ${\ displaystyle f: M \ to M}$ există o singură dimensiune SRB (Sinai, Ruelle și Bowen) $\mu _{f}$ ${\ displaystyle \ mu _ {f}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {f}}$ sprijinit pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât pelvisul său $B(\mu _{f})$ ${\ displaystyle B (\ mu _ {f})}$ ${\ displaystyle B (\ mu _ {f})}$ atât volum complet unde $B(\mu _{f})=\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\}.$ ${\ displaystyle B (\ mu _ {f}) = \ {x \ în M: {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ delta _ {f ^ {k} x} \ to \ mu _ {f} \}.}$ ${\ displaystyle B (\ mu _ {f}) = \ {x \ în M: {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ delta _ {f ^ {k} x} \ to \ mu _ {f} \}.}$

Fluxul Anosov pe (fascicule tangente de) suprafețe Riemann

De exemplu, această secțiune dezvoltă cazul fluxului Anosov pe fasciculul tangent al unei suprafețe Riemann curbate negativ. Acest flux poate fi gândit în termeni de flux pe fasciculul de tangente într-un semiespațiu Poincaré de geometrie hiperbolică. Suprafețele Riemann curbate negativ pot fi definite ca modele Fuchs , adică ca coeficient al jumătății superioare a planului (subsetul de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât $Im(z)>0$ ${\ displaystyle Im (z)> 0}$ ${\ displaystyle Im (z)> 0}$ ) și Grupul Fuchs .

Notă

^ DV Anosov, Fluxuri geodezice pe varietăți Riemanniene închise cu curbură negativă , (1967) Proc. Steklov Inst. Matematică. 90.

[1] DV Anosov, Fluxuri geodezice pe varietăți Riemanniene închise cu curbură negativă , (1967) Proc. Steklov Inst. Matematică. 90.

[1]