Suprafața Riemann

În matematică și în special în analiza complexă, o suprafață Riemann , de la matematicianul Bernhard Riemann , este o varietate complexă unidimensională. Cu alte cuvinte, este o suprafață , dar modelată local cu deschideri ale planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ .

Suprafața Riemann pentru logaritmul complex

\operatorname {Ln} z

{\ displaystyle \ operatorname {Ln} z}

{\ displaystyle \ operatorname {Ln} z}

. Această funcție nu este algebrică și, prin urmare, nu se închide în sine, nepermițând, ca în cazul funcțiilor algebrice, să treacă continuu între diferite planuri, rotind întotdeauna în aceeași direcție (de exemplu în sensul acelor de ceasornic).

Deși suprafața este făcută local ca o deschidere a unui plan, topologia sa globală poate fi destul de diferită. De exemplu, poate avea aspectul unei sfere , a unui tor sau a unei suprafețe de un fel superior.

Definiție

O suprafață Riemann $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate topologică conectată , a lui Hausdorff , bidimensională, cu o bază numărabilă, cu o structură complexă . Structura complexă este dată de prezența unui atlas complex : este o acoperire a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ prin deschis $\{U_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$ și homeomorfisme

\phi _{i}:U_{i}\rightarrow V_{i}

{\ displaystyle \ phi _ {i}: U_ {i} \ rightarrow V_ {i}}

{\ displaystyle \ phi _ {i}: U_ {i} \ rightarrow V_ {i}}

la valori deschise $V_{i}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ aparținând planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , ale căror „lipiri” sunt holomorfe . Adică cere asta, pentru fiecare cuplu $U_{i}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ Și $U_{j}$ ${\ displaystyle U_ {j}}$ $U_ {j}$ de seturi deschise cu intersecție ne-goală, funcția

t_{i,j}:\phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})

{\ displaystyle t_ {i, j}: \ phi _ {j} (U_ {i} \ cap U_ {j}) \ to \ phi _ {i} (U_ {i} \ cap U_ {j})}

{\ displaystyle t_ {i, j}: \ phi _ {j} (U_ {i} \ cap U_ {j}) \ to \ phi _ {i} (U_ {i} \ cap U_ {j})}

t_{i,j}(x)=\phi _{i}(\phi _{j}^{-1}(x))

{\ displaystyle t_ {i, j} (x) = \ phi _ {i} (\ phi _ {j} ^ {- 1} (x))}

{\ displaystyle t_ {i, j} (x) = \ phi _ {i} (\ phi _ {j} ^ {- 1} (x))}

este holomorf .

Exemple

Exemple de bază

Suprafata Riemann pt

W(z)^{d}+W(z)+z^{d-1}

{\ displaystyle W (z) ^ {d} + W (z) + z ^ {d-1}}

{\ displaystyle W (z) ^ {d} + W (z) + z ^ {d-1}}

cu d = 5, unde

W(z)

{\ displaystyle W (z)}

{\ displaystyle W (z)}

este funcția Lambert W.

Fiecare subset deschis al planului complex este o suprafață Riemann.

Cea mai simplă suprafață Riemann care nu este un subset al planului complex este sfera Riemann .

Curbele algebrice

Studiul suprafețelor Riemann, care a început în secolul al XIX-lea , a fost inițial motivat de faptul că o curbă algebrică complexă care nu prezintă singularități este o suprafață Riemann.

O curbă algebrică poate fi definită, de exemplu, ca locusul zerourilor unui polinom cu două variabile (o curbă în $\mathbb {C} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ), de tipul

3x^{2}-xy+y^{3}=0

{\ displaystyle 3x ^ {2} -xy + y ^ {3} = 0}

{\ displaystyle 3x ^ {2} -xy + y ^ {3} = 0}

sau a unui polinom omogen în 3 variabile (curbă în planul proiectiv complex), de tipul

x^{3}-2x^{2}y+iz^{3}.

{\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} y + iz ^ {3}.}

{\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} y + iz ^ {3}.}

Faptul că nu prezintă singularități se traduce în acest caz în condiția ca derivatele parțiale să nu fie niciodată simultan zero.

Coeficient

De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup de biolomorfisme ale unei suprafețe Riemann $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , care acționează într-un mod liber și corect discontinuu, spațiul coeficient $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o suprafață și proiecție Riemann $X\to Y$ ${\ displaystyle X \ to Y}$ ${\ displaystyle X \ to Y}$ este o acoperire .

De exemplu, $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ poate fi un grup de traduceri ale planului complex . De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este grupul generat de o singură traducere, spațiul coeficient este homeomorf pentru o coroană circulară deschisă, dacă este generat de două traduceri independente, de exemplu

T:z\to z+1,\quad U:z\to z+a

{\ displaystyle T: z \ to z + 1, \ quad U: z \ to z + a}

{\ displaystyle T: z \ to z + 1, \ quad U: z \ to z + a}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr complex care nu este real (de exemplu $a=i$ ${\ displaystyle a = i}$ ${\ displaystyle a = i}$ ), spațiul coeficient este homeomorf pentru un tor . Deși topologia nu depinde de alegerea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ (este întotdeauna un tor), însă structura complexă se modifică considerabil odată cu variația lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Proprietate

Reglabilitate

O suprafață Riemann este orientabilă . Deci nu poate fi de exemplu o sticlă Klein sau o bandă Möbius . Acest lucru se datorează faptului că funcțiile de tranziție $t_{i,j}$ ${\ displaystyle t_ {i, j}}$ ${\ displaystyle t_ {i, j}}$ acestea sunt holomorfe și, prin urmare, toate au un pozitiv iacobian și păstrează orientarea.

Structură conformă

O suprafață Riemann are o structură conformă : adică este prezentă noțiunea de unghi (între două curbe reale din suprafață care se intersectează într-un punct), deși noțiunea de distanță între puncte nu este prezentă.

Hărți

Funcții holomorfe

Ca și în alte domenii ale geometriei, categoria suprafețelor Riemann are propriile sale morfisme . O functie

f:X\to Y

{\ displaystyle f: X \ to Y}

f: X \ to Y

între două suprafețe Riemann este holomorf dacă este citit pe fiecare hartă. Mai exact, dacă $\phi _{i}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$ $\ phi _ {i}$ este un card pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\psi _{j}$ ${\ displaystyle \ psi _ {j}}$ $\ psi_j$ este un card pentru $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , functia $\psi _{j}\circ \ f\circ \phi _{i}^{-1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {j} \ circ \ f \ circ \ phi _ {i} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {j} \ circ \ f \ circ \ phi _ {i} ^ {- 1}}$ este holomorfă în aer liber în care este definită.

Biolomorfisme

Un biolomorfism între suprafețele Riemann este o funcție holomorfă bijectivă . Teoremele generale de analiză complexă garantează că și în acest caz funcția inversă este holomorfă.

Prin urmare, biolomorfismul joacă rolul izomorfismului în categoria suprafețelor Riemann. Două suprafețe Riemann sunt „inerent diferite”, deoarece nu există biolomorfism între ele. Două suprafețe Riolman biolomorfe sunt neapărat homeomorfe , dar inversul nu este adevărat: taurii descriși mai sus sunt dependenți de un parametru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ deoarece parametrul variază, ele oferă multe exemple de suprafețe homeomorfe, dar nu biolomorfe.

Uniformizare și geometrie

Teorema uniformizării Riemann , demonstrată de Riemann în secolul al XIX-lea , este un rezultat important care oferă o descriere completă a topologiei suprafețelor Riemann și o descriere echivalentă în ceea ce privește metrica și curbura .

Teorema afirmă că fiecare suprafață Riemann conectată admite o metrică Riemanniană completă cu curbură constantă 1, 0 sau -1, care induce la suprafață aceeași structură conformală (adică aceleași unghiuri) ca și structura complexă originală. O suprafață cu curbură de 1, 0 și -1 se numește eliptică , plană și respectiv hiperbolică . Subdivizarea în suprafețe a acestor trei tipuri este foarte clară și este determinată de topologia suprafeței: de exemplu, o suprafață compactă este eliptică, plană sau hiperbolică dacă caracteristica sa Euler este respectiv pozitivă, zero sau negativă.

Suprafețele pur și simplu conectate

Există doar trei suprafețe Riemann conectate simplu, cu excepția cazului în care biolomorfismul. Acestea sunt planul complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ , sfera Riemann ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ iar discul este deschis

\Delta =\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|<1\}.

{\ displaystyle \ Delta = \ {z \ in \ mathbb {C} \ | \ | z | <1 \}.}

{\ displaystyle \ Delta = \ {z \ in \ mathbb {C} \ | \ | z | <1 \}.}

Aceste trei suprafețe nu sunt afectiv biolomorfe: sfera Riemann nu este nici măcar homeomorfă pentru celelalte două suprafețe, în timp ce planul și discul sunt homeomorfe, dar nu biolomorfe. De fapt, un biolomorfism din planul de pe disc ar fi o funcție holomorfă neconstantă cu modul limitat și, prin urmare, ar contrazice teorema lui Liouville .

Sfera și planul cu valorile lor obișnuite complete au curbura 1 și 0. Discul, cu metrica plană obișnuită, nu este totuși complet: admite însă o metrică completă cu curbura -1; discul cu această metrică se numește disc Poincaré .

Existența unor structuri complexe

Fiecare suprafață orientabilă abstractă, adică fiecare varietate topologică Hausdorff de dimensiunea 2, admite cel puțin o structură complexă.

Acoperire universală

Acoperirea universală a unei suprafețe Riemann $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o suprafață Riemann $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ pur și simplu conectat și, prin urmare, este sfera, planul sau discul. Suprafata $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se obține deci ca spațiu coeficient al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ printr-un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ a biolomorfismelor asupra cărora acționează $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ într-un mod liber (adică fiecare biolomorfism nu are puncte fixe ) și în mod corespunzător discontinuu.

Minge

Biolomorfismele sferei sunt exact transformările Möbius . O transformare Möbius are întotdeauna cel puțin un punct fix și, prin urmare, sfera nu are coeficienți ^[1] .

Podea

Biolomorfismele planului complex sunt traducerile. Grupurile de traduceri care acționează într-un mod corespunzător discontinuu au unul sau doi generatori , la care sunt izomorfe $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb Z}$ sau $\mathbb {Z} +\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb Z} + {\ mathbb Z}$ , și, respectiv, dau naștere unei suprafețe Riemann care este topologic o coroană circulară sau un tor . Structura complexă depinde de tipul traducerilor (torul admite o infinitate de structuri diferite, dependente continuu de traducerile alese).

Traducerile sunt, de asemenea, izometrii în raport cu metrica plană a planului. Prin urmare, suprafața coeficientului are, de asemenea, o metrică plană, în concordanță cu structura complexă inițială.

Disc

Un grup de biolomorfisme de disc care acționează într-un mod liber și corect discontinuu se numește grup Fuchsian . Există multe grupuri fuchsiene, iar studiul lor este o ramură importantă a geometriei moderne. Prin coeficienții lor, obținem toate suprafețele compacte având o caracteristică Euler negativă, adică având un gen mai mare decât unul.

În ceea ce privește planul, fiecare biolomorfism al discului se dovedește a fi o izometrie pentru metrica hiperbolică, metrica Poincaré . Din acest motiv, de asemenea, suprafața coeficientului are o metrică hiperbolică completă, conformă cu structura complexă inițială.

Suprafețe finisate

O suprafață de tip finit este o suprafață obținută topologic prin eliminarea unui număr finit $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ de puncte de pe o suprafață compactă. Topologic, o astfel de suprafață este determinată de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și genul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a suprafeței compacte.

Pentru suprafețele de tip finit, este definită caracteristica Euler . Aceasta este

\chi =2-2g-r.

{\ displaystyle \ chi = 2-2g-r.}

{\ displaystyle \ chi = 2-2g-r.}

Excluzând cazul $(g,r)=(0,1)$ ${\ displaystyle (g, r) = (0,1)}$ $(g, r) = (0,1)$ , așa cum am scris mai sus, o astfel de suprafață este eliptică dacă $\chi >0$ ${\ displaystyle \ chi> 0}$ $\ chi> 0$ , plat dacă $\chi =0$ ${\ displaystyle \ chi = 0}$ $\ chi = 0$ și hiperbolic dacă $\chi <0$ ${\ displaystyle \ chi <0}$ $\ cine <0$ . De exemplu, suprafața compactă a genului 2 și sfera cu 3 puncte îndepărtate sunt hiperbolice (au respectiv $\chi =-2$ ${\ displaystyle \ chi = -2}$ $\ chi = -2$ Și $\chi =-1$ ${\ displaystyle \ chi = -1}$ $\ chi = -1$ .

Notă

^ Există un coeficient topologic și este planul proiectiv , care provine din harta antipodală , care totuși nu este un automorfism Mobius, deoarece inversează orientarea sferei. De fapt, planul proiectiv nu este orientabil și, prin urmare, nu poate fi o suprafață Riemann.

linkuri externe

( EN ) Suprafața Riemann , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Riemann for Anti-Dummies 68 Part Pedagogical Series de Bruce Director

Controlul autorității	Tesauro BNCF 41524 · LCCN (EN) sh85114044 · GND (DE) 4049991-1 · BNF (FR) cb12122992g (dată) · BNE (ES) XX555857 (dată) · NDL (EN, JA) 00.569.451

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Există un coeficient topologic și este planul proiectiv , care provine din harta antipodală , care totuși nu este un automorfism Mobius, deoarece inversează orientarea sferei. De fapt, planul proiectiv nu este orientabil și, prin urmare, nu poate fi o suprafață Riemann.

[1]