Grup Fuchsian

Un grup Fuchsian este un anumit tip de grup definit în geometrie hiperbolică .

Numele derivă de la matematicianul Lazarus Fuchs , care a introdus conceptul în 1880. Doi ani mai târziu, Poincaré l-a studiat mai detaliat, numindu-l „grupul Fuchsian”.

Definiție și proprietăți

Un grup Fuchsian este orice subgrup discret de izometrie H constând numai din transformări care păstrează orientarea .

Fiecare grup fuchsian este un subgrup discret al grupului liniar special PSL (2, R ). ^[1]

Grupul PSL (2, R ) poate fi considerat ca un grup de izometrii ale planului hiperbolic sau ca transformări conformale ale discului unitar sau, de asemenea, ca un grup de transformări conformale ale semiplanului H hiperbolic superior . Prin urmare, grupurile fuchsiene pot aparține oricăruia dintre aceste spații.

Proprietățile grupului fuchsian pot fi definite în diferite moduri: poate fi considerat ca fiind generat finit sau ca un subgrup al PSL (2, R ) .2 (astfel încât transformările de orientare să fie reversibile) sau ca un grup Kleinian ( adică un subgrup discret de PSL (2, C )) conjugat la un subgrup de PSL (2, R ).

Grupurile Fuchsian pot fi utilizate pentru a crea „modele Fuchsian” ale suprafețelor Riemann . Modelul Fuchsian constă în construirea suprafeței hiperbolice Riemann ca coeficient al semiplanului H hiperbolic superior . În acest caz, grupul este numit „grupul fuchsian al suprafeței”. Într-un sens, se poate spune că grupurile Fuchs fac pentru geometria non-euclidiană ceea ce fac grupurile cristalografice pentru geometria euclidiană .

Conceptul grupului Fuchsian a stat la baza dezvoltării teoriei funcțiilor automorfe de către Henri Poincaré și Felix Klein .

Notă

linkuri externe

• Stefano Isola: Dinamica și geometria hiperbolică pe site-ul web al Universității din Camerino
• ( EN ) EB Vinberg, grup Fuchsian , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică