Subgrup
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Un subset H al unui grup G este un subgrup dacă este un grup cu operația definită în G.
Fiecare grup G conține cel puțin două subgrupuri: grupul G în sine și subgrupul trivial format doar de elementul neutru al lui G (în mod natural acestea coincid dacă are un singur element).
Un subgrup se spune exact dacă H este un subset corespunzător al lui G.
Proprietățile subgrupurilor
În cele ce urmează, fie un grup cu privire la operație , și așa să fie inversul .
Definiții alternative
H este un subgrup de G dacă și numai dacă nu este gol și este închis în raport cu produsul și invers. Cu alte cuvinte:
- pentru fiecare a și b din H , produsul lor este încă în H ;
- pentru fiecare a în H invers este încă în H.
Alternativ, putem cere:
- pentru fiecare a și b din H produsul este încă în H.
Dacă H este finit, este un subgrup dacă și numai dacă este gol, și închis în raport cu produsul.
Intersecție și generatoare
Intersecția a două subgrupuri H și H ' este încă un subgrup al lui G. Pe de altă parte, uniunea setată a două subgrupuri este un subgrup dacă și numai dacă unul dintre cele două subgrupuri îl conține pe celălalt.
Dacă S este un subgrup al lui G , există un subgrup mai mic dintre cei care conțin S , care este notat cu < S > și numit subgrup generat de S. Un element al lui G este în < S > dacă și numai dacă este produsul unui număr finit de elemente ale lui S sau inversele acestora.
Fiecare element generează apoi un subgrup <a> ciclic . Dacă <to> este izomorf la Z / n Z pentru un număr întreg pozitiv n, atunci n este mai mic natural deci a n = e, iar n este „ordinea lui a. Dacă <to> este izomorf pentru Z, atunci a are o ordine infinită.
Subgrupurile formează o rețea completă cu includere.
Proprietăți conservate
- Un subgrup al unui grup finit este finit.
- Un subgrup al unui grup abelian este abelian.
- Un subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
Exemple
Fie G grupul abelian ale cărui elemente sunt
- G = {0,2,4,6,1,3,5,7}
și a cărui operație este add modulo 8 , rezumată în următorul tabel de compoziție .
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Acest grup are două subgrupuri non-banale: J = {0,4} și H = {0,2,4,6} , unde J este, de asemenea, un subgrup al lui H.
Clasele laterale și teorema lui Lagrange
Fie H un subgrup al lui G. Raportul despre G
este o relație de echivalență și astfel induce o partiție a lui G.
Având în vedere un element a , clasa din dreapta a lui H asociată cu a este mulțimea
Se arată cu ușurință că subseturile care formează partiția lui G sunt clasele din partea dreaptă a lui H. Două elemente a și a ' dau aceeași clasă corectă dacă și numai dacă sunt în relație de echivalență. Numărul acestor clase se numește indicele lui H în G și este indicat de simbolul [ G : H ].
Deoarece a este inversabil, harta
este o bijecție , pentru fiecare a . Din acest fapt urmează teorema lui Lagrange , care spune că dacă G este finit
![{\ displaystyle [G: H] = {o (G) \ over o (H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
unde o ( G ) și o ( H ) sunt ordinele (adică numărul de elemente) ale lui G și H.
Prin urmare, dacă H este un subgrup al unui grup finit G , ordinea lui H trebuie să împartă ordinea lui G.
Clasele din partea stângă sunt definite în mod similar, obținând același rezultat. Dacă aH = Ha pentru fiecare a (adică clasele din stânga și din dreapta coincid), atunci H este un subgrup normal .
