Relația de echivalență

O relație de echivalență este un concept matematic care exprimă în termeni formali cel intuitiv al „obiectelor care împărtășesc o anumită proprietate”.

Definiție

Având două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , produsul lor cartezian este setul de perechi ordonate definit astfel: ^[1]

A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}

{\ displaystyle A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A, b \ in B \}}

{\ displaystyle A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A, b \ in B \}}

Se numește relație binară $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ pe un platou $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un subset de $A\times A$ ${\ displaystyle A \ times A}$ $A \ ori A$ . Două elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt legate de $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ de sine:

(x,y)\in R

{\ displaystyle (x, y) \ în R}

{\ displaystyle (x, y) \ în R}

iar în acest caz este scris $X R. y$ ${\ displaystyle xRy}$ $xRy$ .

O relație de echivalență $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ (care citește „echivalent cu”, procedând de la stânga la dreapta) este o relație binară între elementele unui set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ reflexiv , simetric și tranzitiv . ^[2] În mod explicit, această relație îndeplinește următoarele proprietăți:

x\sim x\quad \forall x\in A

{\ displaystyle x \ sim x \ quad \ forall x \ în A}

x \ sim x \ quad \ forall x \ în A

x\sim y

{\ displaystyle x \ sim y}

{\ displaystyle x \ sim y}

implica

y\sim x\quad \forall x,y\in A

{\ displaystyle y \ sim x \ quad \ forall x, y \ în A}

y \ sim x \ quad \ forall x, y \ în A

x\sim y

{\ displaystyle x \ sim y}

x \ sim y

Și

y\sim z

{\ displaystyle y \ sim z}

y \ sim z

implică

x\sim z\quad \forall x,y,z\in A

{\ displaystyle x \ sim z \ quad \ forall x, y, z \ in A}

x \ sim z \ quad \ forall x, y, z \ in A

Se spune că două elemente între care există o relație de echivalență sunt echivalente pentru relație $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ : proprietatea de simetrie face posibilă ignorarea ordinii în care aceste elemente apar în cadrul relației.

Un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care conține toate și numai elementele echivalente cu un anumit element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește clasa de echivalență a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru relație $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ . Adesea o clasă de echivalență este indicată cu $[x]_{\sim }$ ${\ displaystyle [x] _ {\ sim}}$ ${\ displaystyle [x] _ {\ sim}}$ sau cu $\{x\}_{\sim }$ ${\ displaystyle \ {x \} _ {\ sim}}$ ${\ displaystyle \ {x \} _ {\ sim}}$ . Într-o clasă de echivalență, toate elementele pe care le conține sunt echivalente unele cu altele.

Setul de clase de echivalență pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ împreună se numește coeficientul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru relație $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ , și este uneori menționată prin expresie $A/\sim$ ${\ displaystyle A / \ sim}$ ${\ displaystyle A / \ sim}$ . Se arată că reprezintă o partiție a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemple

Rezultatul unei operații de partiție pe un set: de aici și numele „coeficient” și scrierea, ambele seamănă cu divizarea

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este ansamblul tuturor mașinilor și $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ este relația de echivalență „are aceeași culoare ca”, atunci o clasă de echivalență va fi cea a mașinilor verzi. $X/\sim$ ${\ displaystyle X / \ sim}$ ${\ displaystyle X / \ sim}$ ar putea fi identificat intuitiv cu setul de culori pentru automobile
Luați în considerare relația de echivalență " modulo 2" în setul de numere întregi : $x\sim y$ ${\ displaystyle x \ sim y}$ ${\ displaystyle x \ sim y}$ dacă și numai dacă $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ ${\ displaystyle x-y}$ este un coleg . Această relație dă naștere la exact două clase de echivalență: [0] conține toate numerele pare, în timp ce [1] conține toate numerele impare
Este $X=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ${\ displaystyle X = \ {1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}}$ ${\ displaystyle X = \ {1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}}$ . Luați în considerare relația de echivalență definită după cum urmează: $x\sim y$ ${\ displaystyle x \ sim y}$ ${\ displaystyle x \ sim y}$ dacă și numai dacă $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ ${\ displaystyle x-y}$ este divizibil cu 3. Aceasta generează trei clase de echivalență: $[1]=\{1,4,7\}$ ${\ displaystyle [1] = \ {1,4,7 \}}$ ${\ displaystyle [1] = \ {1,4,7 \}}$ , $[2]=\{2,5,8\}$ ${\ displaystyle [2] = \ {2,5,8 \}}$ ${\ displaystyle [2] = \ {2,5,8 \}}$ , $[3]=\{3,6,9\}$ ${\ displaystyle [3] = \ {3,6,9 \}}$ ${\ displaystyle [3] = \ {3,6,9 \}}$ . Setul de coeficient de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în ceea ce privește relația de echivalență $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ , notat $X/{\sim }$ ${\ displaystyle X / {\ sim}}$ ${\ displaystyle X / {\ sim}}$ , este pur și simplu ansamblul tuturor claselor de echivalență, adică: $X/{\sim }\,=\{[1],[2],[3]\}$ ${\ displaystyle X / {\ sim} \, = \ {[1], [2], [3] \}}$ ${\ displaystyle X / {\ sim} \, = \ {[1], [2], [3] \}}$ . Scris chiar mai explicit, $X/{\sim }\,=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6,9\}\}$ ${\ displaystyle X / {\ sim} \, = \ {\ {1,4,7 \}, \ {2,5,8 \}, \ {3,6,9 \} \}}$ ${\ displaystyle X / {\ sim} \, = \ {\ {1,4,7 \}, \ {2,5,8 \}, \ {3,6,9 \} \}}$
Numerele raționale pot fi construite ca ansamblul claselor de echivalență a perechilor pare de numere întregi $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ diferit de zero, unde relația de echivalență este definită ca:
$(a,b)\sim (c,d)$ ${\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d)}$ ${\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d)}$ dacă și numai dacă $ad=bc$ ${\ displaystyle ad = bc}$ $ad = bc$ .

clasa de echivalență căreia îi aparține

(a,b)

{\ displaystyle (a, b)}

(a, b)

poate fi identificat cu fracția

a/b

{\ displaystyle a / b}

a / b

.

Orice funcție $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ definește o relație de echivalență pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ potrivit căreia $a\sim b$ ${\ displaystyle a \ sim b}$ $a \ sim b$ (cu $a,b\in X$ ${\ displaystyle a, b \ în X}$ ${\ displaystyle a, b \ în X}$ ) dacă și numai dacă $f(a)=f(b)$ ${\ displaystyle f (a) = f (b)}$ $f (a) = f (b)$ . Clasa de echivalență a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este deci imaginea contra a $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ $face)$ .
Având în vedere un grup $G.$ {\ displaystyle G} $G.$ și un subgrup $H.$ {\ displaystyle H} $H.$ , este posibil să se definească o relație de echivalență pe $G.$ {\ displaystyle G} $G.$ ca $X$ $\sim$ $y$ {\ displaystyle x \ sim y} ${\ displaystyle x \ sim y}$ dacă și numai dacă $X$ $y$ $-$ $1$ $\in$ $H.$ {\ displaystyle xy ^ {- 1} \ în H} ${\ displaystyle xy ^ {- 1} \ în H}$ . Clasele de echivalență sunt numite partea dreaptă a $H.$ {\ displaystyle H} $H.$ în $G.$ {\ displaystyle G} $G.$ . De sine $H.$ {\ displaystyle H} $H.$ este un subgrup normal , atunci setul tuturor laturilor este el însuși un grup, numit grup de coeficient
- Fiecare grup poate fi partiționat în clase de echivalență numite clase de conjugare
Clasa de homotopie a unei funcții continue $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este clasa de echivalență a tuturor funcțiilor homotop a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$
În elaborarea limbajelor naturale , o clasă de echivalență este un set de toate referințele la o singură persoană, loc, lucru sau eveniment, atât reale cât și conceptuale. De exemplu, în propoziția „acționarii GE vor vota un succesor pentru CEO-ul companiei ieșite Jack Welch”, GE și compania sunt sinonime și constituie astfel o clasă de echivalență. Există clase separate de echivalență pentru acționarii GE și Jack Welch

Relații de echivalență și partiții

Fiecare element $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ aparține în mod necesar cel puțin unei clase de echivalență ( $[a]$ ${\ displaystyle [a]}$ ${\ displaystyle [a]}$ , datorită reflexivității). De asemenea, nu poate aparține nici unui alt set, deoarece toate elementele unei anumite clase de echivalență $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conținând $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ar fi, prin definiție, echivalente cu un element $b\in X$ ${\ displaystyle b \ în X}$ ${\ displaystyle b \ în X}$ : am avea deci $a\sim b$ ${\ displaystyle a \ sim b}$ $a \ sim b$ . Dar întotdeauna prin definiție:

pentru fiecare element $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , $x\sim b\rightarrow x\sim a$ ${\ displaystyle x \ sim b \ rightarrow x \ sim a}$ ${\ displaystyle x \ sim b \ rightarrow x \ sim a}$ (pentru simetrie și tranzitivitate)
pentru fiecare element $y\in [a]$ ${\ displaystyle y \ in [a]}$ ${\ displaystyle y \ in [a]}$ , $y\sim a\rightarrow y\sim b$ ${\ displaystyle y \ sim a \ rightarrow y \ sim b}$ ${\ displaystyle y \ sim a \ rightarrow y \ sim b}$ (pentru tranzitivitate)

adică fiecare element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ar aparține $[a]$ ${\ displaystyle [a]}$ ${\ displaystyle [a]}$ și invers fiecare element al $[a]$ ${\ displaystyle [a]}$ ${\ displaystyle [a]}$ ar aparține $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : asa de $X=[a]$ ${\ displaystyle X = [a]}$ ${\ displaystyle X = [a]}$ .

În cele din urmă, fiecare element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu siguranță aparține unei clase de echivalență (prin urmare, setul de coeficienți definește modul în care o acoperire a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ), și numai unuia dintre ele, ceea ce va duce, prin urmare, la două câte două disjuncte: coeficientul setat pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ apoi definește o partiție a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

În schimb, se arată că la fiecare partiție a setului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este asociată o singură relație de echivalență, cea definită în așa fel încât două elemente sunt în această relație dacă și numai dacă aparțin aceluiași set al partiției. Cu alte cuvinte, dat o partiție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , există și este unică relația de echivalență ~ astfel încât mulțimea coeficientului $A/\sim$ ${\ displaystyle A / \ sim}$ ${\ displaystyle A / \ sim}$ este egal cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . ^[3] ^[4] : este definit în simboluri de

a\sim b\Leftrightarrow \exists P\in S\,{\mbox{t.c.}}\,a,b\in P

{\ displaystyle a \ sim b \ Leftrightarrow \ există P \ în S \, {\ mbox {tc}} \, a, b \ în P}

{\ displaystyle a \ sim b \ Leftrightarrow \ există P \ în S \, {\ mbox {t.c.}} \, a, b \ în P}

Astfel, a fost identificat un fel de corespondență unu-la-unu între clasa relațiilor de echivalență și cea a posibilelor partiții în seturi. Se spune că între relațiile de echivalență și partițiile unui set există un criptomorfism ; cu alte cuvinte, cele două clase, cea a claselor de echivalență și cea a partițiilor, se află într-o relație specială în care fiecare element din prima clasă corespunde unuia și unui singur element din a doua. Prin urmare, este posibil să se ia în considerare posibilitatea de a trata aceeași problemă din punctul de vedere al relațiilor de echivalență sau din cel al partițiilor, așa cum este firesc pentru toate criptomorfismele.

Demonstrație

Este destul de evident că relația este atât reflexivă, cât și simetrică; în ceea ce privește tranzitivitatea, este suficient să rețineți că elementele partiției sunt disjuncte două câte două. Prin urmare, este o relație de echivalență; evident induce partiția S.

Acum considerați o relație de echivalență ρ care induce partiția S : dacă ar fi absurd de diferită de ~, ar exista cel puțin o pereche de elemente în relație în sensul de ~, adică aparținând aceluiași set al partiției, dar nu în sensul lui ρ, deci nu este echivalent și, prin urmare, aparține în cele din urmă la două seturi diferite de S.

Invarianți de clasă

Fiecare teorie matematică include anumite proprietăți și relații. Având în vedere o anumită relație de echivalență, proprietățile și relațiile care nu disting între ele obiectele aparținând aceleiași clase de echivalență sunt numite invarianți de clasă . Motivul acestei denumiri este evident: este de fapt structuri invariante în raport cu echivalența sau relația de partiție adoptată. În simboluri, o proprietate $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se numește invariant de clasă atunci când $a\sim b$ ${\ displaystyle a \ sim b}$ $a \ sim b$ implică neapărat că $P(a)$ ${\ displaystyle P (a)}$ ${\ displaystyle P (a)}$ Și $P(b)$ ${\ displaystyle P (b)}$ ${\ displaystyle P (b)}$ au aceeași valoare de adevăr; o definiție similară este valabilă pentru relații (și, prin urmare, de exemplu și pentru funcții ; în special, dacă este o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este invariant în raport cu relația luată în considerare, atunci funcția va fi, fără îndoială, bine definită pe setul de coeficient $g(P)=f(x)$ ${\ displaystyle g (P) = f (x)}$ ${\ displaystyle g (P) = f (x)}$ unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este orice reprezentant al clasei $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , la fel de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ își asumă aceeași valoare pentru fiecare reprezentant al acelei clase. În acest caz, se mai spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ mergeți la coeficientul ^[5] ).

Într-un aparat formal format exclusiv din invarianți de clasă, obiectele echivalente pot fi de fapt identificate între ele și într-un anumit sens confundate cu clasa relativă de echivalență. Acest lucru face posibilă tratarea elementelor echivalente ca și cum ar fi unul, lăsând deoparte detalii care nu prezintă interes, având în vedere că, din punct de vedere logic, ele nu pot fi distinse.

În cazul în care o mulțime are o structură suplimentară păstrată de relație (de exemplu, algebrică : vezi intrarea „ relația de congruență ”), coeficientul relativ devine un obiect de același tip într-un mod natural; funcția pe care o trimite $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $[a]$ ${\ displaystyle [a]}$ ${\ displaystyle [a]}$ este atunci un epimorfism .

Expresia „mai puțin decât” inserată într-un context matematic presupune existența unei echivalențe și indică faptul că membrii aceleiași clase sunt considerați o singură entitate în discuție, cu excepția cazului în care există diferențe în contextul respectiv care nu interesează; sunt relevante doar cele dintre clasele de obiecte (care sunt tratate ca elemente unice). De exemplu, în geometria proiectivă pentru a spune că un punct determină în mod unic un set de coordonate omogene „până la proporționalitate”, înseamnă că acest punct identifică o întreagă clasă de coordonate care diferă doar printr-un coeficient proporțional și că fiecare membru al acelei clase este valabil la fel pentru descrierea punctului. Mai ales în aritmetica modulară , dar și în alte sectoare, termenul „modulo” este adesea folosit ca sinonim pentru precedentul: un exemplu ar putea fi sintagma „3 modulo 2”, care indică toate naturile care diferă de 3 printr-un multiplu din 2 (în esență toate numerele impare), sau «clasa căilor cu valori în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ formular de homotopie ".

Exemplu de aplicație

Un exemplu de aplicare este construirea sistemului de numere raționale (pozitive) începând de la cel al naturilor . Deja la momentul " Grecia antică era cunoscut faptul că se divid un obiect în părți egale și să ia aceste b echivalent în vigoare pentru a rupe în mai multe părți, iar acestea na ia notă: relația de echivalență în acest caz , i se atribuie în ansamblu dintre toate perechile posibile de naturale, după cum urmează

(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow \exists \,n\in \mathbb {N} \;{\mbox{tc}}\;c=na\ {\mbox{e}}\ d=nb\ {\mbox{oppure}}\ a=nc\ {\mbox{e}}\ b=nd

{\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ Leftrightarrow \ există \, n \ in \ mathbb {N} \; {\ mbox {tc}} \; c = na \ {\ mbox {e} } \ d = nb \ {\ mbox {sau}} \ a = nc \ {\ mbox {e}} \ b = nd}

{\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ Leftrightarrow \ există \, n \ in \ mathbb {N} \; {\ mbox {tc}} \; c = na \ {\ mbox {e} } \ d = nb \ {\ mbox {sau}} \ a = nc \ {\ mbox {e}} \ b = nd}

setul de coeficient în ceea ce privește ~ este tocmai acela al raționalelor, care este precis definit ca spațiul tuturor numerelor care pot fi exprimate prin raportul a două numere întregi, unde prin raport înțelegem o operație binară care nu variază prin multiplicarea ambelor termeni pentru același număr natural. Toate proprietățile obișnuite ale liniei raționale sunt într-adevăr invarianți de clasă în spațiul perechilor de naturale, deoarece

{\frac {a}{b}}\;{\mbox{e}}\;{\frac {c}{d}}={\frac {na}{nb}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \; {\ mbox {e}} \; {\ frac {c} {d}} = {\ frac {na} {nb}}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \; {\ mbox {e}} \; {\ frac {c} {d}} = {\ frac {na} {nb}}}

reprezintă același număr pentru fiecare n natural. Pe baza acestei proprietăți, setul raționalilor moștenește în mod natural structura monoidului de la cea a naturilor, plus existența elementului invers care, astfel, îl ridică la statutul de grup .

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 1 .
^ Reed, Simon , Pagina 2 .
^ Wallace, DAR, 1998. Grupuri, inele și câmpuri . p. 31, Th. 8. Springer-Verlag
^ Dummit, DS și Foote, RM, 2004. Abstract Algebra , ed. A 3-a. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons
^ Garrett Birkhoff și Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Algebra , ed. A III-a. p. 35, Th. 19. Chelsea

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre relația de echivalență

linkuri externe

( EN ) Relația de echivalență / Relația de echivalență (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85044563 · GND (DE) 4141500-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 1 .

[2] Reed, Simon , Pagina 2 .

[3] Wallace, DAR, 1998. Grupuri, inele și câmpuri . p. 31, Th. 8. Springer-Verlag

[4] Dummit, DS și Foote, RM, 2004. Abstract Algebra , ed. A 3-a. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons

[5] Garrett Birkhoff și Saunders Mac Lane , 1999 (1967). Algebra , ed. A III-a. p. 35, Th. 19. Chelsea

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]