Cuplu (matematică)

În matematică, termenul pereche sau cel mai explicit termen echivalent pereche ordonată înseamnă o colecție de două obiecte între care se poate distinge o primă componentă (sau un membru) de o a doua componentă și acesta este cel mai simplu caz al celui mai comun concept. de tupl comandat . Perechea care are ca primă componentă un obiect identificat printr- un al doilea și ca obiect identificat prin b este notată cu scriere $\langle a,b\rangle$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ sau, de asemenea, cu ( a , b ).

A doua notație este utilizată mai frecvent, în principal pentru că poate fi obținută mai ușor: toate tastaturile fac paranteze rotunde disponibile direct, în timp ce parantezele unghiulare pot fi afișate bine numai cu un sistem precum TeX . Scrierea ( a , b ), totuși, ar putea fi confundată cu un interval deschis al liniei reale sau cu indicarea celor două argumente ale unei funcții a două variabile; dacă contextul nu permite eliminarea unei astfel de ambiguități, ar trebui folosită prima notație.

Mulțimea tuturor perechilor ordonate a căror primă componentă aparține unei mulțimi X și al cărei al doilea membru se află într-o mulțime Y se numește produsul cartezian al lui X și Y și este scris X × Y. Fiecare subset al lui X × Y se numește relația binară dintre X și Y.

Definiție

O pereche ordonată se distinge de un set de două elemente din aceasta $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ este diferit de $(b,a)$ ${\ displaystyle (b, a)}$ $(b, a)$ . În consecință, două perechi ordonate $(a_{1},b_{1})$ ${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1})}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1})}$ Și $(a_{2},b_{2})$ ${\ displaystyle (a_ {2}, b_ {2})}$ ${\ displaystyle (a_ {2}, b_ {2})}$ sunt aceleași dacă și numai dacă $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ Este egal cu $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ Și $b_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ $b_1$ Este egal cu $b_{2}$ ${\ displaystyle b_ {2}}$ $b_ {2}$ . Aceasta este proprietatea principală a perechilor ordonate și, prin urmare, orice definiție a unei perechi ordonate, este necesar ca pornind de la aceasta să fie posibil să se demonstreze următoarea teoremă:

(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2}) \ Leftrightarrow a_ {1} = a_ {2} \ land b_ {1} = b_ {2}}

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2}) \ Leftrightarrow a_ {1} = a_ {2} \ land b_ {1} = b_ {2}}

În prezent, cel propus de Kuratowski este adoptat ca definiție standard a cuplului:

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}

{\ displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}}

{\ displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}}

din care dovada teoremei de mai sus este imediată. De fapt, folosind această definiție, egalitatea dintre perechile ordonate:

(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2})}

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2})}

este echivalent cu următoarea egalitate între seturi:

\{\{a_{1}\},\{a_{1},b_{1}\}\}=\{\{a_{2}\},\{a_{2},b_{2}\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a_ {1} \}, \ {a_ {1}, b_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {2} \}, \ {a_ {2}, b_ { 2} \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a_ {1} \}, \ {a_ {1}, b_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {2} \}, \ {a_ {2}, b_ { 2} \} \}}

Acum, pentru axioma extensionalității, două seturi sunt egale dacă și numai dacă conțin aceleași elemente. Se pot distinge două cazuri. De sine $a_{1}\neq b_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq b_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq b_ {1}}$ , și deci întregul $\{a_{1},b_{1}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1}, b_ {1} \}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1}, b_ {1} \}}$ are două elemente distincte, atunci trebuie să fie $\{a_{1}\}=\{a_{2}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1} \} = \ {a_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {1} \} = \ {a_ {2} \}}$ , asa de $a_{1}=a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {2}}$ prin urmare $b_{1}=b_{2}$ ${\ displaystyle b_ {1} = b_ {2}}$ ${\ displaystyle b_ {1} = b_ {2}}$ . Dacă în schimb $a_{1}=b_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1} = b_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = b_ {1}}$ , atunci ai $\{\{a_{1}\}\}=\{\{a_{1}\},\{a_{1},b_{1}\}\}=\{\{a_{2}\},\{a_{2},b_{2}\}\}$ ${\ displaystyle \ {\ {a_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {1} \}, \ {a_ {1}, b_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {2 } \}, \ {a_ {2}, b_ {2} \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {a_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {1} \}, \ {a_ {1}, b_ {1} \} \} = \ {\ {a_ {2 } \}, \ {a_ {2}, b_ {2} \} \}}$ , Așadar $a_{1}=b_{1}=a_{2}=b_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} = b_ {1} = a_ {2} = b_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = b_ {1} = a_ {2} = b_ {2}}$

Bibliografie

AZRIEL, L., "Basic Set Theory", Mineola NY, Dover, 2002 (1979), pp. 24-5. ISBN 9780486420790 [1]

HOCHBERG, H., „Procedura Wiener-Kuratowski și analiza ordinii”, „Analiza”, 1981, 41, 161-63. [2]

KURATOWSKI, C., "Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles", "Fundamenta Mathematicae", 1921, 2, 161-71. [3]

POTTER, M., "Teoria seturilor și filosofia ei", Oxford, OUP, 2004, pp. 63-5. ISBN 9780199270415

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Cuplu , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica