Relația binară

În matematică , o relație binară definită a unei mulțimi , numită și relație sau corespondență între două obiecte, este o listă de perechi ordonate de elemente aparținând mulțimii. În mod echivalent, o relație binară este un subset al produsului cartezian al unui set cu el însuși.

Definiție

Având două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , produsul lor cartezian este setul de perechi ordonate definite după cum urmează: ^[1]

A\times B:=\{(a,b):a\in A\;\mathrm {e} \;b\in B\}\

{\ displaystyle A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A \; \ mathrm {e} \; b \ in B \} \}

A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A \; {\ mathrm {e}} \; b \ in B \} \

Se numește relație binară $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ între două seturi ne-goale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un subset de $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ . ^[2] Două elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt legate de $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ de sine:

(x,y)\in R\

{\ displaystyle (x, y) \ în R \}

(x, y) \ în R \

iar în acest caz este scris $X R. y$ ${\ displaystyle xRy}$ $xRy$ .

Pentru relațiile binare este foarte obișnuit să se utilizeze notații infixate ale formei $\,xRy$ ${\ displaystyle \, xRy}$ ${\ displaystyle \, xRy}$ pentru a exprima faptul că cuplul $\langle x,y\rangle$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ aparține lui $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , adică pentru identificarea indivizilor. De obicei, pentru a indica faptul că numărul real x este mai mic decât numărul real y, este obișnuit să scrieți $x<y$ ${\ displaystyle x <y}$ ${\ displaystyle x <y}$ , în timp ce pentru a reveni strict la definiția generală ar trebui scris $\langle x,y\rangle \in <$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle \ in <}$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle \ in <}$ .

Tipologie

Noțiunea de relație este extrem de generală și din anumite puncte de vedere, foarte generică. Cu toate acestea, clarificarea sa a contribuit decisiv la punerea în ordine a multor rezultate ale matematicii și a aplicațiilor sale care au fost obținute în studii specifice și care au fost propuse prin enunțuri foarte necoordonate. Generalitatea noțiunii implică faptul că în matematică și în toate sectoarele de aplicații care utilizează modele matematice există multe relații. După cum se poate aștepta, diferitele relații au, de asemenea, caracteristici foarte diferite și este potrivit să le clasificăm cu atenție.

Relațiile se disting atât prin natura produselor carteziene în care sunt plasate, cât și prin caracteristicile lor ca seturi de perechi.

Potrivit primului punct de vedere, în special,

relațiile dintre mulțimi finite (cum ar fi cele referitoare la gradele de rudenie într-un context familial);
relațiile dintre mulțimile numărabile (cum ar fi relația de divizibilitate între numere întregi pozitive);
relații între mulțimi continue (cum ar fi relațiile dintre numere reale, de exemplu curbe plane precum spirale, funcții ale variabilelor reale sau complexe și suprafețe în spațiul tridimensional).

Trebuie remarcat faptul că relațiile binare finite sunt echivalente cu digrafele , adică cu graficele orientate.

Din punct de vedere al caracteristicilor seturilor de perechi, se disting următoarele tipuri de relații:

Unele pot implica altele, de exemplu relația de ordine implică reflexivul, antisimetricul și tranzitivul

Aceste proprietăți sunt de obicei referite la relațiile unui set în sine.

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 1 .
^ Reed, Simon , Pagina 2 .

Bibliografie

Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ediția a II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

linkuri externe

( EN ) Relație binară , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 1 .

[2] Reed, Simon , Pagina 2 .

[1]

[2]