Pre-comanda
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , și în special în teoria ordinii, o precomandă este un tip de relație binară strâns legată de relațiile de ordine (și seturile corespunzătoare parțial ordonate ). Multe definiții teoretice legate de relațiile de ordine pot fi generalizate pentru precomenzi.
Definiție formală
Fie P un set și ≤ o relație binară pe P. ≤ se numește pre-comandă dacă este reflexivă și tranzitivă , adică dacă pentru fiecare a , b , c din P , se mențin următoarele proprietăți:
- a ≤ a (reflexivitate)
- dacă a ≤ b și b ≤ c atunci a ≤ c (tranzitivitate)
Dacă o precomandă este, de asemenea, antisimetrică (adică dacă a ≤ b și b ≤ a implică a = b ) atunci este o relație de ordine sau de ordine parțială.
O precomandă este totală dacă pentru fiecare a , b în P : a ≤ b sau b ≤ a . Condiția totalității este mai frecvent menționată de termenul „completitudine” în literatura economică.
Pornind de la fiecare precomandă este posibil să construim o ordine parțială prin identificarea punctelor „egale”. În mod formal, definim o relație de echivalență ~ pe X astfel încât a ~ b dacă și numai dacă a ≤ b și b ≤ a . Apoi mulțimea coeficientului X / ~, adică mulțimea tuturor claselor de echivalență definite de ~, poate fi ușor ordonată definind [ x ] ≤ [ y ] dacă și numai dacă x ≤ y . Se poate verifica cu ușurință că acest lucru duce la un întreg parțial ordonat.
Exemple
Setul de părți ale unei mulțimi X cu relația A ≤ B dacă există o funcție injectivă de la A la B este o precomandă totală .
În general, orice set pe care este definită o funcție evaluată într-un set preordonat moștenește structura preordinei de la aceasta, definind x ≤ y dacă f ( x ) ≤ f ( y ). Multe exemple de precomenzi pot fi construite cu această metodă, în care de obicei setul de sosiri sunt numerele reale ; de asemenea, exemplul de mai sus este un caz particular: funcția „ascunsă” este cea care își asociază cardinalitatea fiecărui set (afirmația dată în termeni de funcții injective este echivalentă).
Pre-comenzile totale sunt utilizate pe scară largă în teoria economică pentru a reprezenta preferințele unui agent, în special în teoria consumatorilor .
