Relație totală
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică, o relație binară R în cadrul unei mulțimi X se spune că este totală dacă, în orice caz, două elemente a și b sunt alese în X sau a este în relația cu b , sau b este în relația cu a (fără a exclude că se găsesc ambele fapte).
În notația matematică, se scrie condiția ca R să fie o relație totală în cadrul lui X
- .
Având în vedere o relație generică R pe o mulțime X , numim o pereche comparabilă de X pentru R orice pereche { a , b } astfel încât a R b sau b R a . Prin urmare, o relație binară într-un set se poate spune că este totală dacă toate perechile neordonate ale setului sunt dotate cu comparabilitate .
Un exemplu de relație totală este relația pe mulțimea numerelor reale „să fie mai mică sau egală cu”: de fapt, date două numere fie coincid, fie una este mai mică decât cealaltă; cu alte cuvinte, două numere reale sunt întotdeauna comparabile în raport cu relația . Pe de altă parte, relația „a fi mai mic de” nu este o relație totală pe reali: două numere coincidente nu sunt comparabile față de ea. În general, orice relație totală trebuie să fie o relație reflectivă . În schimb, nu este neapărat o relație simetrică , așa cum arată , și nu este neapărat o relație tranzitivă , așa cum se arată în cea constituită de perechile ( a , b ), ( b , c ) și ( c , a ).
Alte relații non-totale sunt relația dintre mulțimile „a fi subset de” și relația de divizibilitate între numere întregi pozitive.
Relația este total chiar dacă este redus la subseturi de ca mulțimea raționalelor sau mulțimea numerelor întregi. Într-adevăr, se arată în general că orice restricție a unei relații totale este, de asemenea, totală.
Relațiile totale de cel mai mare interes, așa cum sugerează exemplele date, sunt tipurile totale .
Generalizări
Se spune că o relație este totală la stânga dacă pentru fiecare a din X există cel puțin un element b astfel încât a să fie legat de b . Această definiție corespunde cu cea a unei funcții polidrom .
Se spune că o relație este totală pe dreapta dacă pentru fiecare b din X există cel puțin un element a astfel încât a să fie legat de b . Rețineți că această definiție este complet analogă cu cea a funcției surjective .
Ambele condiții sunt strict mai slabe decât totalitatea.
