Axioma extensionalității

În teoria mulțimilor , axioma extensionalității sau axioma extensiei este una dintre axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel .

În limbajul formal al axiomelor Zermelo-Fraenkel, axioma este scrisă:

\forall A,\forall B,\quad A=B\iff (\forall C,\quad C\in A\iff C\in B)

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ quad A = B \ if (\ forall C, \ quad C \ in A \ if C \ in B)}

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ quad A = B \ if (\ forall C, \ quad C \ in A \ if C \ in B)}

sau în cuvinte:

Având în vedere o mulțime generică A și dată o mulțime generică B , A este egal cu B dacă și numai dacă , având în vedere orice alt C , C este un element al lui A și numai dacă C este un element al lui B.

( C nu trebuie să fie un set ; dar în ZF toate obiectele sunt seturi. Consultați teoria seturilor cu elemente ur de mai jos pentru a vedea când este încălcat acest lucru.)

Pentru a înțelege această axiomă, rețineți că clauza dintre paranteze din expresia simbolică de mai sus afirmă pur și simplu că A și B au exact aceleași elemente. Deci, ceea ce spune axioma este că două seturi sunt egale dacă și numai dacă au exact aceleași elemente. În esență, sensul este acesta:

Mulțimea A este determinată în mod unic (și unic) de elementele sale.

Axioma extensionalității poate fi utilizată în orice expresie a formei $\exists A:\forall B\quad B\in A\iff P(B)$ ${\ displaystyle \ există A: \ forall B \ quad B \ în A \ if P (B)}$ ${\ displaystyle \ există A: \ forall B \ quad B \ în A \ if P (B)}$ , unde P este un predicat unar care nu menționează A sau B , pentru a defini un singur set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ale căror elemente sunt tocmai mulțimile care satisfac predicatul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Putem introduce un nou simbol pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; în acest fel se lucrează în cele din urmă definițiile în matematica obișnuită, atunci când pretențiile lor sunt reduse la o formă pur teoretică.

Axioma extensionalității este, în general, considerată a nu fi controversată și apare sub această formă sau într-o formă echivalentă în practic toate axiomatizările teoriei mulțimilor. Cu toate acestea, poate necesita modificări în unele cazuri, după cum se vede mai jos.

Leibniz a fost primul care a folosit termenii de extindere și încordare în contextul logicii. Indiferent dacă este o proprietate sau o relație n-ari (cu n> 1), extensia este ansamblul indivizilor care posedă caracteristica stabilită ca o intenție (a unui concept).

În logica predicativă fără egalitate

Axioma de mai sus presupune că egalitatea este un simbol primitiv în logica predicativă . Unele relatări ale teoriei axiomatice a mulțimilor preferă să renunțe la acest lucru și privesc afirmația anterioară nu ca o axiomă, ci ca o definiție a egalității. Prin urmare, este necesar să se includă axiomele obișnuite ale egalității logicii predicative ca axiome ale simbolului astfel definit. Majoritatea axiomelor rezultă din definiție; singurul rămas este

\forall A,\forall B,\quad (\forall C,\quad C\in A\iff C\in B)\Rightarrow (\forall D,\quad A\in D\iff B\in D)

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ quad (\ forall C, \ quad C \ in A \ if C \ in B) \ Rightarrow (\ forall D, \ quad A \ in D \ if B \ in D )}}

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ quad (\ forall C, \ quad C \ in A \ if C \ in B) \ Rightarrow (\ forall D, \ quad A \ in D \ if B \ in D )}}

și tocmai această axiomă este considerată o axiomă a extensionalității în acest context.

În teoria mulțimilor cu ur-elemente

Un element ur este un element al unui set care nu este un set în sine. În axiomele Zermelo-Fraenkel nu există elemente ur, dar în unele axiomatizări alternative ale teoriei mulțimilor este posibil să le întâlnim. Elementele Ur pot fi tratate ca un alt tip logic decât seturile; în acest caz $B\in A$ ${\ displaystyle B \ în A}$ ${\ displaystyle B \ în A}$ nu are sens dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un element ur, deci axioma extensionalității se aplică doar seturilor.

Alternativ, în logică netipată, putem cere asta $B\in A$ ${\ displaystyle B \ în A}$ ${\ displaystyle B \ în A}$ este fals ori de câte ori $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un element ur. În acest caz, axioma obișnuită a extensionalității ar implica că fiecare element ur este egal cu mulțimea goală . Pentru a evita acest lucru, putem modifica axioma extensionalității astfel încât să se aplice numai seturilor care nu sunt goale, adică:

$\forall A,\forall B,\exists C:C\in A\implies (A=B\iff (\forall D,\quad D\in A\iff D\in B)).$ ${\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ există C: C \ în A \ implică (A = B \ iff (\ forall D, \ quad D \ in A \ if D \ in B)).}$ ${\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ există C: C \ în A \ implică (A = B \ iff (\ forall D, \ quad D \ in A \ if D \ in B)).}$

Cu alte cuvinte:

Dat fiind o mulțime generică A și o mulțime generică B , dacă A este o mulțime ne-goală (adică dacă există un element C al lui A ), atunci A și B sunt egale dacă și numai dacă au exact aceleași elemente.

Consecințe elementare

Axioma extensionalității are unele consecințe elementare imediate. Se poate exprima informal spunând că, dacă un element dat se află într-un set dat, atunci este doar o singură dată, fără multiplicitate. De exemplu, ai $\{1,1\}=\{1\}$ ${\ displaystyle \ {1,1 \} = \ {1 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,1 \} = \ {1 \}}$ , deci întregul $\{1,1\}$ ${\ displaystyle \ {1,1 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,1 \}}$ are un singur element. Un altul poate fi exprimat informal spunând că într-un set elementele nu au ordine. De exemplu $\{1,2\}=\{2,1\}$ ${\ displaystyle \ {1,2 \} = \ {2,1 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2 \} = \ {2,1 \}}$ . Ambele egalități de tip $A=B$ ${\ displaystyle A = B}$ ${\ displaystyle A = B}$ tocmai menționate apar folosind tocmai axioma extensionalității, adică verificând dacă fiecare element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este, de asemenea, un element al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , și că fiecare element al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este, de asemenea, un element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

linkuri externe

( EN ) Axiom of extensionality , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică