Spațiu vectorial cotient

În matematică , și mai precis în algebră liniară , spațiul vector cocient sau spațiul coeficient este un spațiu vectorial obținut dintr-o pereche de spații vectoriale $U\subset V$ ${\ displaystyle U \ subset V}$ $U \ subset V$ unul cuprins în celălalt. Spațiul coeficient este obținut prin „prăbușirea” $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ la zero. Este indicat cu $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ , pe care le citim $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ mod $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Definiție

Având în vedere un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și un subspațiu vectorial $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , spațiul coeficient $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ este mulțimea coeficientului de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (adică setul de clase de echivalență pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ) determinată de relația de echivalență :

v\sim v'\Leftrightarrow v-v'\in U

{\ displaystyle v \ sim v '\ Leftrightarrow v-v' \ în U}

{\ displaystyle v \ sim v '\ Leftrightarrow v-v' \ în U}

Acesta este, $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este echivalent cu $v^{'}$ ${\ displaystyle v '}$ $v '$ dacă una poate fi obținută de la cealaltă prin adăugarea unui element din subspațiu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Clasa de echivalență a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este adesea notat prin:

[v]=v+U

{\ displaystyle [v] = v + U}

{\ displaystyle [v] = v + U}

deoarece este dat de:

[v]=\{v+u:u\in U\}

{\ displaystyle [v] = \ {v + u: u \ în U \}}

{\ displaystyle [v] = \ {v + u: u \ în U \}}

Spațiul coeficient $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ este, prin urmare, definit ca $V/\sim$ ${\ displaystyle V / \ sim}$ ${\ displaystyle V / \ sim}$ , setul tuturor claselor de echivalență de pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pentru $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ . Funcția care se leagă de un vector $x\in V$ ${\ displaystyle x \ în V}$ ${\ displaystyle x \ în V}$ clasa de echivalență $[x]$ ${\ displaystyle [x]}$ ${\ displaystyle [x]}$ se numește hartă coeficientă .

Ca și în construcția unui grup de coeficienți , adunarea și multiplicarea la scară „trec la coeficientul”: adică sunt definite în $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ luând reprezentanți din oricare dintre clasele de echivalență. Dimensiunea spațiului coeficient se numește codimensiunea lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este finit-dimensional, acesta este exact:

{\mbox{codim}}_{V}(U)=\dim(V)-\dim(U)

{\ displaystyle {\ mbox {codim}} _ {V} (U) = \ dim (V) - \ dim (U)}

{\ displaystyle {\ mbox {codim}} _ {V} (U) = \ dim (V) - \ dim (U)}

Spațiul coeficient este un spațiu vector abstract, nu neapărat izomorf pentru un sub spațiu al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

De exemplu, ambele $X=\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$ planul cartezian obișnuit e $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ o linie dreaptă prin origine. Apoi, presupunând că fiecare linie este paralelă cu ea însăși, spațiul coeficient $X/Y$ ${\ displaystyle X / Y}$ $X Y$ în ceea ce privește relația de paralelism dintre linii poate fi identificată ca ansamblul tuturor liniilor din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ paralel cu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . În general, dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este o sumă directă de subspatii $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ :

V=U\oplus W

{\ displaystyle V = U \ oplus W}

{\ displaystyle V = U \ oplus W}

apoi coeficientul $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ este în mod natural izomorfă la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Un exemplu important de spațiu funcțional quotient este spațiul L ^p .

Proprietate

Suma directă

În prezența unei sume directe :

V=U\oplus W

{\ displaystyle V = U \ oplus W}

{\ displaystyle V = U \ oplus W}

spațiul coeficient $V/U$ ${\ displaystyle V / U}$ ${\ displaystyle V / U}$ este natural izomorf a $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Izomorfismul este dat de:

v=u+w\mapsto w

{\ displaystyle v = u + w \ mapsto w}

{\ displaystyle v = u + w \ mapsto w}

unde un element $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este scris într-un mod unic ca $u+w$ ${\ displaystyle u + w}$ ${\ displaystyle u + w}$ , cu $tu, w$ ${\ displaystyle u, w}$ ${\ displaystyle u, w}$ apartinand respectiv $U, W$ ${\ displaystyle U, W}$ ${\ displaystyle U, W}$ .

Dimensiuni

Secvența scurtă exactă a spațiilor vectoriale conține:

0\to U\to V\to V/U\to 0

{\ displaystyle 0 \ to U \ to V \ to V / U \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to U \ to V \ to V / U \ to 0}

În special:

\dim V/U=\dim V-\dim U

{\ displaystyle \ dim V / U = \ dim V- \ dim U}

{\ displaystyle \ dim V / U = \ dim V- \ dim U}

Spații Banach

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu al lui Banach e $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un subspatiu inchis de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , apoi coeficientul $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ este încă un spațiu Banach. Pentru a defini o normă pe $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ apare:

\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}

{\ displaystyle \ | [x] \ | _ {X / M} = \ inf _ {m \ în M} \ | xm \ | _ {X}}

{\ displaystyle \ | [x] \ | _ {X / M} = \ inf _ {m \ în M} \ | x-m \ | _ {X}}

Spațiul vector coeficient $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ este deci completă în raport cu norma.

Exemple

Este $C[0,1]$ ${\ displaystyle C [0,1]}$ ${\ displaystyle C [0,1]}$ spațiul Banach al funcțiilor continue cu valori reale și definit pe interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , echipat cu standardul sup . Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ subspațiul funcțiilor astfel încât $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ . Apoi clasa de echivalență a unei anumite funcții $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este determinat de valoarea sa în și de spațiul coeficient $C[0,1]/M$ ${\ displaystyle C [0,1] / M}$ ${\ displaystyle C [0,1] / M}$ este izomorfă la $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Hilbert atunci spațiul coeficient $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ este izomorfă la complementul ortogonal al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Generalizare la spații convexe local

Spațiul coeficient al unui spațiu convex local pentru un sub spațiu închis este încă convex local. De fapt, să presupunem $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu local convex în care topologia este generată de o familie de semi - viermi $\{p_{\alpha }:\alpha \in A\}$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha}: \ alpha \ în A \}}$ ${\ displaystyle \ {p _ {\ alpha}: \ alpha \ în A \}}$ , cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set de indici. Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un subspatiu inchis si sa definim seminormele $q_{\alpha }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ pe $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ În felul următor:

q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x)

{\ displaystyle q _ {\ alpha} ([x]) = \ inf _ {x \ in [x]} p _ {\ alpha} (x)}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} ([x]) = \ inf _ {x \ in [x]} p _ {\ alpha} (x)}

Atunci $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ este local convex și topologia definită pe acesta este topologia coeficientului . Dacă și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este metrizabil, atunci este și el $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu al lui Fréchet, apoi este și unul $X/M$ ${\ displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X / M}$ .

Bibliografie

( EN ) Paul Halmos , Spații vectoriale cu dimensiuni finite , Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90093-3 .
( EN ) Jean Dieudonné , Tratat de analiză, volumul II , Academic Press, 1970.

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Quotient Space Vector în MathWorld Wolfram Research.
(EN) math.mcmaster.ca - Cotații spațiu vectorial (PDF) pe ms.mcmaster.ca. Adus la 20 februarie 2014 (arhivat din original la 24 februarie 2014) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică