Spațiu Lp

Titlul acestei pagini este incorect datorită caracteristicilor software-ului MediaWiki . Titlul corect este Spazio L ^p .

În matematică și mai precis în analiza funcțională , spațiul $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este spațiul funcțiilor cu puterea sumabilă a p-a. Este un spațiu funcțional ale cărui elemente sunt clase particulare de funcții măsurabile .

Spațiul secvențelor cu puterea p-a suma se mai numește spațiu $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ {p}$ . În special, spațiul l ² al secvențelor pătrate sumabile reprezintă un caz de o importanță considerabilă.

Spațiile $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ , cu $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ , sunt spații Banach . În special, $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este, de asemenea, un spațiu Hilbert .

Definiție

Este $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ un spațiu de măsurare și ambele $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ . De asemenea, să fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție măsurabilă definită pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și la valori reale .

Cazul p terminat

Definește standardul p-th sau norma $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ numarul

\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {X} | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

\ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {X} | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}

Spațiul funcțiilor măsurabile cu norme $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ peste ea se spune $L^{p}(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ , sau, de asemenea $L^{p}(X)$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X)}$ , $L^{p}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$ $L ^ {p} (\ mu)$ sau numai $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ . Funcțiile din $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ se spune că au puterea sumabilă . ^[1]

Omogenitatea față de produsul la scară

\|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p}

{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | \ | f \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | \ | f \ | _ {p}}

și inegalitatea triunghiulară

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

{\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

\ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}

faceți spațiul $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ un spațiu vectorial real. ^[2] Rezultă în special că suma a două sau mai multe funcții p-summable este încă p-summable.

Standardul $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ strict vorbind, este un seminorm datorat prezenței funcțiilor nule aproape peste tot . A face $\Vert \cdot \Vert _{p}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p}}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p}}$ un standard, sunt identificate două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ când diferența lor $f-g$ ${\ displaystyle fg}$ $f-g$ are nula norma p-a. Setul de coeficient cu privire la această relație de echivalență este încă un spațiu vectorial, pe care seminormul se dovedește a fi o normă din toate punctele de vedere. Acest spațiu normat este spațiu $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ . Deoarece această regulă este completă , este și un spațiu Banach .

Cazul p este infinit

De sine $f:X\longrightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ este o funcție măsurabilă, apoi definim norma sa esențială sau norma infinită

\|f\|_{\infty }=\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\mbox{ quasi ovunque}}{\big \}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ inf \ {C \ geq 0: | f (x) | \ leq C {\ mbox {aproape peste tot}} {\ big \}}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ inf \ {C \ geq 0: | f (x) | \ leq C {\ mbox {aproape peste tot}} {\ big \}}}

cu convenția $\inf \emptyset =+\infty$ ${\ displaystyle \ inf \ emptyset = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ inf \ emptyset = + \ infty}$ . Dacă definim

L^{\infty }(X)=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \}

{\ displaystyle L ^ {\ infty} (X) = \ {f: X \ longrightarrow \ mathbb {R} {\ text {măsurabil}}: \ Vert f \ Vert _ {\ infty} <\ infty \}}

{\ displaystyle L ^ {\ infty} (X) = \ {f: X \ longrightarrow \ mathbb {R} {\ text {măsurabil}}: \ Vert f \ Vert _ {\ infty} <\ infty \}}

atunci, dacă nu considerăm că două funcții aproape peste tot egale sunt echivalente, $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {\ infty}}$ este o normă pe $L^{\infty }(X)$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X)}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X)}$ . Ca și în cazurile anterioare, această regulă plătește $L^{\infty }(X)$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X)}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X)}$ un spațiu Banach. Norma infinită nu trebuie confundată cu norma uniformă și, din acest motiv, uneori se preferă utilizarea notării

\Vert f\Vert _{\infty }={\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = {\ text {ess sup}} _ {X} \, \ vert f \ vert}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = {\ text {ess sup}} _ {X} \, \ vert f \ vert}

Această ambiguitate se justifică observând că dacă $f\in L^{\infty }$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {\ infty}}$ atunci există un set de măsuri zero $E\subset X$ ${\ displaystyle E \ subset X}$ $E \ subset X$ astfel încât

{\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert ={\text{sup}}_{X\setminus E}\,\vert f\vert

{\ displaystyle {\ text {ess sup}} _ {X} \, \ vert f \ vert = {\ text {sup}} _ {X \ setminus E} \, \ vert f \ vert}

{\ displaystyle {\ text {ess sup}} _ {X} \, \ vert f \ vert = {\ text {sup}} _ {X \ setminus E} \, \ vert f \ vert}

Denumirea de „normă infinită” derivă din faptul că dacă $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ Și $f\in L^{p}\cap L^{\infty }$ ${\ displaystyle f \ in L ^ {p} \ cap L ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f \ in L ^ {p} \ cap L ^ {\ infty}}$ , asa de

\Vert f\Vert _{\infty }=\lim _{p\rightarrow +\infty }\Vert f\Vert _{p}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = \ lim _ {p \ rightarrow + \ infty} \ Vert f \ Vert _ {p}}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = \ lim _ {p \ rightarrow + \ infty} \ Vert f \ Vert _ {p}}

Generalizări

Spațiile $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ ele pot fi definite și luând câmpul numeric complex ca un set de valori. În acest caz spațiul $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ poate fi indicat cu $L^{p}(X,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (X, \ mathbb {C})}$ . O generalizare mai pronunțată consideră funcții apreciate într-un spațiu Banach generic $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . În acest caz, a p-a normă este definită ca

\|f\|_{p}=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {X} \ | f (x) \ | ^ {p} dx \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {X} \ | f (x) \ | ^ {p} dx \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

unde integrandul este puterea a-a a normei spațiale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . În mod similar, norma supului esențial este generalizată.

Spațiul l ^p $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$

Să luăm în considerare spațiul de măsurare $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}), \ mu)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}), \ mu)}$ , cu $\mu (A)=\#A$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ # A}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ # A}$ măsura numărării. Se notează cu $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ spaţiu $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ asociat cu acest spațiu de măsurare, adică setul de secvențe $x=\{\xi _{n}\}$ ${\ displaystyle x = \ {\ xi _ {n} \}}$ $x = \ {\ xi _ {n} \}$ astfel încât

\|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\xi _{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ xi _ {n} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1 } {p}} <\ infty}

\ | x \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} | \ xi _ {n} | ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac { 1} {p}}}} <\ infty

Există trei cazuri deosebit de importante:

$\ell ^{1}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$ $\ ell ^ {1}$ este spațiul secvențelor a căror serie converge absolut.
$\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este spațiul secvențelor pătrate însumabile .
$\ell ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ $\ ell ^ {\ infty}$ este spațiul secvențelor mărginite.

Spaţiu $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ este un spațiu al lui Banach și, pentru $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ , separabil .

Proprietățile spațiilor $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$

Principalele proprietăți care caracterizează spațiile sunt prezentate mai jos $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ .

Cazul p = 2

In spatiu $L^{2}(X,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$ a funcțiilor pătrate sumabile , norma este indusă de produsul interior :

\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)dx

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {X} {\ overline {f (x)}} g (x) dx}

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {X} {\ overline {f (x)}} g (x) dx}

prin urmare $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este un spațiu Hilbert . Cazul $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ este foarte special, deoarece $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este singurul spațiu Hilbert între spații $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ .

Dualitate

De sine ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ apoi spațiul dual continuu al $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ , definit ca spațiul tuturorfuncționalităților liniare continue , este în mod natural izomorf a $L^{q}$ ${\ displaystyle L ^ {q}}$ $L ^ {q}$ , unde q este astfel încât:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

Folosind notația lui Dirac , acest izomorfism canonic se asociază cu $f\in L^{q}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {q}}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {q}}$ funcționalul

\langle f\vert g\rangle =\int _{X}{\bar {f}}g\;{\mbox{d}}\mu

{\ displaystyle \ langle f \ vert g \ rangle = \ int _ {X} {\ bar {f}} g \; {\ mbox {d}} \ mu}

{\ displaystyle \ langle f \ vert g \ rangle = \ int _ {X} {\ bar {f}} g \; {\ mbox {d}} \ mu}

De când relația $1/p+1/q=1$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$ este simetric atunci $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este un spațiu reflectorizant : dualul continuu al dualului continuu al $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ , numit spațiu bidual , este izometric a $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ .

Pentru $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ ${\ displaystyle p = 1}$ dualul de $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ este izomorfă la $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ În cazul în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -totul este gata. Conversa nu este validă: dualul de $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ este un spațiu vectorial "mai mare" decât $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ și din acest motiv $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ nu este reflectant . De exemplu, ambele $f\mapsto \langle f\vert$ ${\ displaystyle f \ mapsto \ langle f \ vert}$ ${\ displaystyle f \ mapsto \ langle f \ vert}$ scufundarea canonică a $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ în dualul de $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ . Observăm că aplicația $g\mapsto g(0)$ ${\ displaystyle g \ mapsto g (0)}$ ${\ displaystyle g \ mapsto g (0)}$ , cu $g\in L^{\infty }$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {\ infty}}$ , aparține dualului continuu al lui $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ . Să presupunem, în mod absurd, că există o funcție $\delta \in L^{1}$ ${\ displaystyle \ delta \ în L ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ delta \ în L ^ {1}}$ astfel încât $\langle \delta \vert g\rangle =g(0)$ ${\ displaystyle \ langle \ delta \ vert g \ rangle = g (0)}$ ${\ displaystyle \ langle \ delta \ vert g \ rangle = g (0)}$ pentru fiecare $g\in L^{\infty }$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {\ infty}}$ . Observăm că pentru fiecare $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$

\langle \delta \vert 1\rangle =\langle \delta \vert {\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}\rangle =1

{\ displaystyle \ langle \ delta \ vert 1 \ rangle = \ langle \ delta \ vert {\ mathit {1}} _ {(- 1 / n, 1 / n)} \ rangle = 1}

{\ displaystyle \ langle \ delta \ vert 1 \ rangle = \ langle \ delta \ vert {\ mathit {1}} _ {(- 1 / n, 1 / n)} \ rangle = 1}

Cu toate acestea, pentru teorema convergenței dominată

1=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{\mathbb {R} }{\bar {\delta }}(x){\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}(x)dx=0

{\ displaystyle 1 = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ bar {\ delta}} (x) {\ mathit {1}} _ {(- 1 / n, 1 / n)} (x) dx = 0}

{\ displaystyle 1 = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ bar {\ delta}} (x) {\ mathit {1}} _ {(- 1 / n, 1 / n)} (x) dx = 0}

Rezultatul este un absurd.

Dualul de $L^{\infty }(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mu)}$ este un spațiu puțin mai dificil de definit. Dovedește că dacă $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ este un spațiu de măsurare, apoi dualul lui $L^{\infty }(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ mu)}$ este izomorfă pentru spațiul tuturor măsurilor finit aditive și absolut continue față de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Inegalitatea lui Hölder

Același subiect în detaliu: inegalitatea lui Hölder .

Lasa-i sa fie $p>1$ ${\ displaystyle p> 1}$ $p> 1$ Și $p'>1$ ${\ displaystyle p '> 1}$ ${\ displaystyle p '> 1}$ doi exponenți conjugați sau două numere reale astfel încât

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1}

{\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1

De sine $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ apoi prin convenție $p'=\infty$ ${\ displaystyle p '= \ infty}$ ${\ displaystyle p '= \ infty}$ . De sine $f\in L^{p}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p}}$ $f \ în L ^ {p}$ Și $g\in L^{p'}$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {p '}}$ $g \ în L ^ {{p '}}$ asa de $fg\in L^{1}$ ${\ displaystyle fg \ în L ^ {1}}$ ${\ displaystyle fg \ în L ^ {1}}$ și ^[3]

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}

{\ displaystyle \ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {p '}}

\ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {{p '}}

Explicând norma a p-a, se obține scrierea echivalentă

\int _{X}fgd\mu \leq \left[\int _{X}f^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{X}g^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}

{\ displaystyle \ int _ {X} fgd \ mu \ leq \ left [\ int _ {X} f ^ {p} d \ mu \ right] ^ {1 \ over p} \ left [\ int _ {X} g ^ {p '} d \ mu \ right] ^ {1 \ over {p'}}}

{\ displaystyle \ int _ {X} fgd \ mu \ leq \ left [\ int _ {X} f ^ {p} d \ mu \ right] ^ {1 \ over p} \ left [\ int _ {X} g ^ {p '} d \ mu \ right] ^ {1 \ over {p'}}}

Separabilitate

În comparație cu măsura Lebesgue, spațiul $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ , cu $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ , este separabil . De exemplu, dacă ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ este o bază numărabilă a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ atunci un subgrup dens numărabil al acestuia este constituit de setul de funcții de tip

s(x)=\sum _{j=i}^{n}a_{j}\chi _{B_{j}}(x)

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {j = i} ^ {n} a_ {j} \ chi _ {B_ {j}} (x)}

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {j = i} ^ {n} a_ {j} \ chi _ {B_ {j}} (x)}

cu $a_{j}\in \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle a_ {j} \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle a_ {j} \ in \ mathbb {Q}}$ Și $B_{j}\in {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle B_ {j} \ în {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle B_ {j} \ în {\ mathcal {B}}}$ .

Spaţiu $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ pe de altă parte, nu este separabil în niciun caz dacă cardinalitatea lui $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este infinit.

Relații de incluziune între spații $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$

Se poate dovedi, exploatând inegalitatea Hölder , că dacă măsura de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ s-a încheiat atunci odată cu creșterea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ spaţiu $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ „scade”, adică $L^{p}\supset L^{q}$ ${\ displaystyle L ^ {p} \ supset L ^ {q}}$ ${\ displaystyle L ^ {p} \ supset L ^ {q}}$ pentru fiecare $p<q\leq \infty$ ${\ displaystyle p <q \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle p <q \ leq \ infty}$ . De fapt dacă $q=\infty$ ${\ displaystyle q = \ infty}$ ${\ displaystyle q = \ infty}$ asa de

\Vert f\Vert _{p}^{p}=\int _{X}\vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\int _{X}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\mu (X)

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {p} ^ {p} = \ int _ {X} \ vert f \ vert ^ {p} d \ mu \ leq \ Vert f \ Vert _ {\ infty} ^ {p } \ int _ {X} d \ mu \ leq \ Vert f \ Vert _ {\ infty} ^ {p} \ mu (X)}

{\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {p} ^ {p} = \ int _ {X} \ vert f \ vert ^ {p} d \ mu \ leq \ Vert f \ Vert _ {\ infty} ^ {p } \ int _ {X} d \ mu \ leq \ Vert f \ Vert _ {\ infty} ^ {p} \ mu (X)}

în timp ce dacă $q<+\infty$ ${\ displaystyle q <+ \ infty}$ ${\ displaystyle q <+ \ infty}$ apoi pentru Hölder

{\begin{aligned}\Vert f\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}1\cdot \vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert \,\vert f\vert ^{p}\Vert _{q/p}\Vert 1\Vert _{q/(q-p)}\\&=\Vert f\Vert _{q}^{p}\mu (X)^{(q-p)/q}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Vert f \ Vert _ {p} ^ {p} & = \ int _ {X} 1 \ cdot \ vert f \ vert ^ {p} d \ mu \ leq \ Vert \ , \ vert f \ vert ^ {p} \ Vert _ {q / p} \ Vert 1 \ Vert _ {q / (qp)} \\ & = \ Vert f \ Vert _ {q} ^ {p} \ mu (X) ^ {(qp) / q} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Vert f \ Vert _ {p} ^ {p} & = \ int _ {X} 1 \ cdot \ vert f \ vert ^ {p} d \ mu \ leq \ Vert \ , \ vert f \ vert ^ {p} \ Vert _ {q / p} \ Vert 1 \ Vert _ {q / (qp)} \\ & = \ Vert f \ Vert _ {q} ^ {p} \ mu (X) ^ {(qp) / q} \ end {align}}}

De exemplu, funcția

f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {x}}}}

f (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt x}}}

apartine $L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}$ ${\ displaystyle L ^ {p} {\ bigl (} (0,1) {\ bigr)}}$ ${\ displaystyle L ^ {p} {\ bigl (} (0,1) {\ bigr)}}$ pentru fiecare $p<2$ ${\ displaystyle p <2}$ ${\ displaystyle p <2}$ . Rezultă, de asemenea, din inegalitățile expuse mai sus, că includerea $L^{q}$ ${\ displaystyle L ^ {q}}$ $L ^ {q}$ în $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este o funcție continuă.

Notă

^ Rudin , p. 64 .
^ Rudin , p. 65 .
^ Rudin , p. 62 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications , New York, John Wiley & Sons, 1999, ISBN 978-0-471-31716-6 .
Haïm Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 8820715015 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , p. 64 .

[2] Rudin , p. 65 .

[3] Rudin , p. 62 .

[1]

[2]

[3]