Spațiul l2

Titlul acestei pagini este incorect datorită caracteristicilor software-ului MediaWiki . Titlul corect este Space l² .

În matematică , spațiu $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este spațiul secvențelor pătrate care pot fi adăugate valorilor reale sau complexe . Acesta este spațiul l ^p în cazul în care p = 2.

Definiție

Spaţiu $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este spațiul secvențelor pătrate reale sumabile, și anume:

\ell ^{2}=\left\{\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },x_{n}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}<\infty \right\}

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = \ left \ {\ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {n} \ in \ mathbb {R} \ {\ Bigg | } \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} <\ infty \ right \}}

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = \ left \ {\ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {n} \ in \ mathbb {R} \ {\ Bigg | } \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} <\ infty \ right \}}

În funcție de context, poate fi luat în considerare $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ ca spațiu al secvențelor complexe pătrate însumabile. Dacă da, plasează $x_{n}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ definiția este similară. Spaţiu $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este un spațiu vectorial real și este, de asemenea, un spațiu vectorial complex dacă îl gândim ca pe un spațiu de secvențe complexe. În ambele cazuri, este un spațiu metric dacă definim distanța ca

d(x,y)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}-y_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle d (x, y) = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} -y_ {n} | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

{\ displaystyle d (x, y) = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} -y_ {n} | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}}}

În plus, $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este un spațiu Banach , a cărui normă asociată este

\|x\|=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}

{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

Dovada se efectuează folosind inegalitatea Minkowski . După ce am definit această normă, putem redefini $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ca

\ell ^{2}=\{x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:\Vert x\Vert <\infty \}

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}: \ Vert x \ Vert <\ infty \}}

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}: \ Vert x \ Vert <\ infty \}}

Norma tocmai introdusă este cea asociată cu produsul scalar

(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_{n}y_{n}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {x} _ {n} y_ {n}}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {x} _ {n} y_ {n}}

Acest produs scalar se extinde, în cazul complex, la produsul intern

(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\overline {x}}_{n}y_{n}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {x}} _ {n} y_ {n}}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {x}} _ {n} y_ {n}}

Prin urmare, $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este un spațiu Hilbert . În plus, $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este un spațiu separabil , adică admite un subset dens numărabil .

Completitudine

Spaţiu $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ , atât în cazul real, cât și în cazul complex, este un spațiu metric complet , adică fiecare secvență Cauchy este convergentă .

Demonstrație

În notația utilizată mai jos, superscriptul indică un element al succesiunii vectorilor cu dimensiuni infinite, în timp ce subscriptul indică o componentă a unui singur vector.

Este $\{x^{n}\}_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {x ^ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {x ^ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ o secvență Cauchy în $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ . Pentru a arăta că această secvență este convergentă, este suficient să arătăm existența unui extract convergent. De fapt dacă $x^{n_{k}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ este o subsecvență convergentă a $x\in \ell ^{2}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ , apoi pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ astfel încât pentru fiecare $n\geq n_{k}$ ${\ displaystyle n \ geq n_ {k}}$ ${\ displaystyle n \ geq n_ {k}}$

\Vert x^{n}-x\Vert \leq \Vert x^{n}-x^{n_{k}}\Vert +\Vert x^{n_{k}}-x\Vert \leq 2\varepsilon

{\ displaystyle \ Vert x ^ {n} -x \ Vert \ leq \ Vert x ^ {n} -x ^ {n_ {k}} \ Vert + \ Vert x ^ {n_ {k}} - x \ Vert \ leq 2 \ varepsilon}

{\ displaystyle \ Vert x ^ {n} -x \ Vert \ leq \ Vert x ^ {n} -x ^ {n_ {k}} \ Vert + \ Vert x ^ {n_ {k}} - x \ Vert \ leq 2 \ varepsilon}

Apoi continuăm folosind definiția Cauchy a secvenței pentru a construi o subsecvență $x^{n_{k}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ , cu $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ , astfel încât

\Vert x^{n_{k+1}}-x^{n_{k}}\Vert \leq 2^{-k}

{\ displaystyle \ Vert x ^ {n_ {k + 1}} - x ^ {n_ {k}} \ Vert \ leq 2 ^ {- k}}

{\ displaystyle \ Vert x ^ {n_ {k + 1}} - x ^ {n_ {k}} \ Vert \ leq 2 ^ {- k}}

Observăm că

x^{n_{k}}=x^{n_{1}}+\sum _{0<j<k}[x^{n_{j+1}}-x^{n_{j}}]

{\ displaystyle x ^ {n_ {k}} = x ^ {n_ {1}} + \ sum _ {0 <j <k} [x ^ {n_ {j + 1}} - x ^ {n_ {j} }]}

{\ displaystyle x ^ {n_ {k}} = x ^ {n_ {1}} + \ sum _ {0 <j <k} [x ^ {n_ {j + 1}} - x ^ {n_ {j} }]}

si ce daca $k\to \infty$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ apoi la limită obținem o serie absolut convergentă, deoarece grație calculului unei serii geometrice estimarea este valabilă

\sum _{j>0}\Vert x^{n_{j+1}}-x^{n_{j}}\Vert \leq \sum _{j>0}2^{-j}=1

{\ displaystyle \ sum _ {j> 0} \ Vert x ^ {n_ {j + 1}} - x ^ {n_ {j}} \ Vert \ leq \ sum _ {j> 0} 2 ^ {- j} = 1}

{\ displaystyle \ sum _ {j> 0} \ Vert x ^ {n_ {j + 1}} - x ^ {n_ {j}} \ Vert \ leq \ sum _ {j> 0} 2 ^ {- j} = 1}

Rezultă că, pentru fiecare $i\geq 1$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ ${\ displaystyle i \ geq 1}$ , punctual, limita există

x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{i}^{n_{k}}=x_{i}^{n_{1}}+\sum _{j>0}[x_{i}^{n_{j+1}}-x_{i}^{n_{j}}]

{\ displaystyle x_ {i} = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {i} ^ {n_ {k}} = x_ {i} ^ {n_ {1}} + \ sum _ {j> 0} [x_ {i} ^ {n_ {j + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {j}}]}

{\ displaystyle x_ {i} = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {i} ^ {n_ {k}} = x_ {i} ^ {n_ {1}} + \ sum _ {j> 0} [x_ {i} ^ {n_ {j + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {j}}]}

cu $x_{i}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ în cazul real e $x_{i}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in \ mathbb {C}}$ în cazul complex. Asta pentru că este $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ acea $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ acestea sunt spații complete și, prin urmare, fiecare serie absolut convergentă este convergentă. ^[1]

În concluzie, este suficient să dovedim că $x^{n_{k}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}}}$ converge în conformitate cu a

x=(x_{i})_{i\geq 1}

{\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ geq 1}}

{\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ geq 1}}

De aici va rezulta și asta $x\in \ell ^{2}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ , din moment ce $x^{n_{k}}\to x$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}} \ to x}$ ${\ displaystyle x ^ {n_ {k}} \ to x}$ asa de

\Vert x\Vert =\Vert x-x^{n_{k}}+x^{n_{k}}\Vert \leq \Vert x-x^{n_{k}}\Vert +\Vert x^{n_{k}}\Vert <\infty

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert = \ Vert xx ^ {n_ {k}} + x ^ {n_ {k}} \ Vert \ leq \ Vert xx ^ {n_ {k}} \ Vert + \ Vert x ^ { n_ {k}} \ Vert <\ infty}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert = \ Vert xx ^ {n_ {k}} + x ^ {n_ {k}} \ Vert \ leq \ Vert xx ^ {n_ {k}} \ Vert + \ Vert x ^ { n_ {k}} \ Vert <\ infty}

Apoi calculăm, folosind produsul Cauchy

|x_{i}-x_{i}^{n_{k}}|^{2}\leq \left(\sum _{j\geq k}|x_{i}^{n_{j+1}}-x_{i}^{n_{j}}|\right)^{2}=\sum _{j\geq k}\sum _{l=0}^{j-k}|x_{i}^{n_{k+l+1}}-x_{i}^{n_{k+l}}||x_{i}^{n_{j-l+1}}-x_{i}^{n_{j-l}}|

{\ displaystyle | x_ {i} -x_ {i} ^ {n_ {k}} | ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {j \ geq k} | x_ {i} ^ {n_ {j + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {j}} | \ right) ^ {2} = \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} | x_ {i} ^ {n_ {k + l + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {k + l}} || x_ {i} ^ {n_ {jl + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {jl }} |}

{\ displaystyle | x_ {i} -x_ {i} ^ {n_ {k}} | ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {j \ geq k} | x_ {i} ^ {n_ {j + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {j}} | \ right) ^ {2} = \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} | x_ {i} ^ {n_ {k + l + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {k + l}} || x_ {i} ^ {n_ {jl + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {jl }} |}

Adăugând termen la termen, schimbând sumele și aplicând inegalitatea Schwarz , obținem acest lucru

\sum _{i\geq 1}|x_{i}^{n_{k}}-x_{i}|^{2}=\sum _{j\geq k}\sum _{l=0}^{j-k}\sum _{i\geq 1}|x_{i}^{n_{k+l+1}}-x_{i}^{n_{k+l}}||x_{i}^{n_{j-l+1}}-x_{i}^{n_{j-l}}|\leq \sum _{j\geq k}\sum _{l=0}^{j-k}\Vert x^{n_{k+l+1}}-x^{n_{k+l}}\Vert \Vert x^{n_{j-l+1}}-x^{n_{j-l}}\Vert

{\ displaystyle \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k}} - x_ {i} | ^ {2} = \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k + l + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {k + l}} || x_ {i } ^ {n_ {jl + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {jl}} | \ leq \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} \ Vert x ^ {n_ {k + l + 1}} - x ^ {n_ {k + l}} \ Vert \ Vert x ^ {n_ {jl + 1}} - x ^ {n_ {jl}} \ Vert}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k}} - x_ {i} | ^ {2} = \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k + l + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {k + l}} || x_ {i } ^ {n_ {jl + 1}} - x_ {i} ^ {n_ {jl}} | \ leq \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} \ Vert x ^ {n_ {k + l + 1}} - x ^ {n_ {k + l}} \ Vert \ Vert x ^ {n_ {jl + 1}} - x ^ {n_ {jl}} \ Vert}

Prin urmare, derivăm asta

\sum _{i\geq 1}|x_{i}^{n_{k}}-x_{i}|^{2}\leq \sum _{j\geq k}\sum _{l=0}^{j-k}{2^{l-j} \over 2^{l+k}}=\sum _{j\geq k}{j-k+1 \over 2^{j+k}}=\sum _{j\geq 0}{1+j \over 2^{j+2k}}={1 \over 4^{k}}\sum _{j\geq 0}(1+j)2^{-j}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k}} - x_ {i} | ^ {2} \ leq \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} {2 ^ {lj} \ over 2 ^ {l + k}} = \ sum _ {j \ geq k} {jk + 1 \ over 2 ^ {j + k}} = \ sum _ {j \ geq 0} {1 + j \ over 2 ^ {j + 2k}} = {1 \ over 4 ^ {k}} \ sum _ {j \ geq 0} (1 + j) 2 ^ {- j}}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ geq 1} | x_ {i} ^ {n_ {k}} - x_ {i} | ^ {2} \ leq \ sum _ {j \ geq k} \ sum _ {l = 0} ^ {jk} {2 ^ {lj} \ over 2 ^ {l + k}} = \ sum _ {j \ geq k} {jk + 1 \ over 2 ^ {j + k}} = \ sum _ {j \ geq 0} {1 + j \ over 2 ^ {j + 2k}} = {1 \ over 4 ^ {k}} \ sum _ {j \ geq 0} (1 + j) 2 ^ {- j}}

de aici teza, așa cum tinde termenul potrivit $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ de sine $k\to \infty$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ ${\ displaystyle k \ to \ infty}$ .

Baza lui Hilbert

Să analizăm acum succesiunea $\{e^{i}\}_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ , cu

e^{1}=(1,0,0,\ldots )

{\ displaystyle e ^ {1} = (1,0,0, \ ldots)}

{\ displaystyle e ^ {1} = (1,0,0, \ ldots)}

e^{2}=(0,1,0,0,\ldots )

{\ displaystyle e ^ {2} = (0,1,0,0, \ ldots)}

{\ displaystyle e ^ {2} = (0,1,0,0, \ ldots)}

e^{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )

{\ displaystyle e ^ {n} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots)}

{\ displaystyle e ^ {n} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots)}

În mod echivalent, prin delta Kronecker , putem defini această succesiune mai compact cu scrierea

e_{j}^{i}=\delta _{ij}

{\ displaystyle e_ {j} ^ {i} = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle e_ {j} ^ {i} = \ delta _ {ij}}

Observăm că secvența tocmai introdusă este un set ortonormal, în aceea

(e^{i},e^{j})=\delta _{ij}

{\ displaystyle (e ^ {i}, e ^ {j}) = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle (e ^ {i}, e ^ {j}) = \ delta _ {ij}}

Secvența tocmai definită constituie o bază Hilbert , numită și un sistem ortonormal complet , pentru $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ , ca fiecare element $x\in \ell ^{2}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {2}}$ este scris în formă

x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}e^{i}

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} e ^ {i}}

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} e ^ {i}}

Această serie trebuie considerată drept limita legală a succesiunii sumelor parțiale. Mai mult, pentru identitatea lui Parseval ,

\Vert x\Vert ^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | ^ {2}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | ^ {2}}

Coeficienții $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ , reale sau complexe în funcție de caz, sunt determinate în mod unic în acest sens

x_{i}=(e^{i},x)

{\ displaystyle x_ {i} = (e ^ {i}, x)}

{\ displaystyle x_ {i} = (e ^ {i}, x)}

Acești coeficienți se numesc coeficienți Fourier . Coeficienții Fourier pot fi caracterizați de următoarea problemă. De sine $E^{i}$ ${\ displaystyle E ^ {i}}$ ${\ displaystyle E ^ {i}}$ este spațiul generat de vector $e^{i}$ ${\ displaystyle e ^ {i}}$ $și ^ {i}$ , apoi subspatiile $\{E^{i}\}_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {E ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {E ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ sunt închise ca fiind finite-dimensionale. Coeficienții Fourier sunt acei coeficienți $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ astfel încât transportatorul $x_{i}e^{i}\in E^{i}$ ${\ displaystyle x_ {i} e ^ {i} \ în E ^ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i} e ^ {i} \ în E ^ {i}}$ verificați ecuația

d(x,x_{i}e^{i})=d(x,E^{i})=\inf _{y\in E^{i}}d(x,y)

{\ displaystyle d (x, x_ {i} e ^ {i}) = d (x, E ^ {i}) = \ inf _ {y \ in E ^ {i}} d (x, y)}

{\ displaystyle d (x, x_ {i} e ^ {i}) = d (x, E ^ {i}) = \ inf _ {y \ in E ^ {i}} d (x, y)}

Într-adevăr, luând în considerare $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ în cazul real, locul $\lambda \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$ asa de

\Vert x-\lambda e^{i}\Vert ^{2}=(x-\lambda e^{i},x-\lambda e^{i})=\Vert x\Vert ^{2}-2\lambda (e^{i},x)+\lambda ^{2}

{\ displaystyle \ Vert x- \ lambda e ^ {i} \ Vert ^ {2} = (x- \ lambda e ^ {i}, x- \ lambda e ^ {i}) = \ Vert x \ Vert ^ { 2} -2 \ lambda (e ^ {i}, x) + \ lambda ^ {2}}

{\ displaystyle \ Vert x- \ lambda e ^ {i} \ Vert ^ {2} = (x- \ lambda e ^ {i}, x- \ lambda e ^ {i}) = \ Vert x \ Vert ^ { 2} -2 \ lambda (e ^ {i}, x) + \ lambda ^ {2}}

Mergând să derivăm cu privire la variabilă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ se întâmplă că valoarea minimă este atinsă pentru $\lambda =(e^{i},x)$ ${\ displaystyle \ lambda = (e ^ {i}, x)}$ ${\ displaystyle \ lambda = (e ^ {i}, x)}$ . Coeficienții Fourier constituie soluția problemei de mai sus și în cazul complex. Această problemă este un exemplu de tip de probleme tipice analizei funcționale , și anume problemele minime. De fapt, într-un context mai general, existența soluției problemei prezentate este subiectul teoremei proiecției .

Revenind la a vorbi despre baze, vrem să clarificăm că „baza” despre care am discutat anterior nu generează $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ într-un sens algebric, adică prin combinații liniare finite, dar în sens analitic, adică printr-o convergență în normă. Din punct de vedere formal, vom spune că nu este o bază Hamel , care este tipul de bază considerat de obicei în spațiile vectoriale cu dimensiuni finite, ci o bază Schauder .

Bazele Hilbert sunt utile nu numai pentru că vă permit să scrieți mai ușor elementele unui spațiu Hilbert, ci și pentru că vă permit să definiți cu ușurință izometriile între spațiile Hilbert. În special, se verifică faptul că două spații Hilbert sunt unitar echivalente dacă și numai dacă au două baze Hilbert cu aceeași cardinalitate.

Separabilitate

Atâta timp cât $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ admite o bază Hilbert numărabilă $\{e^{i}\}_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {i} \} _ {i \ geq 1}}$ , atunci se întâmplă cu ușurință că

\ell _{f}(\mathbb {Q} )=\left\{x\in \ell ^{2}:x=\sum _{i=1}^{n}q_{i}e^{i}\,,q_{i}\in \mathbb {Q} ,n\in \mathbb {N} \right\}

{\ displaystyle \ ell _ {f} (\ mathbb {Q}) = \ left \ {x \ in \ ell ^ {2}: x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} și ^ {i} \ ,, q_ {i} \ in \ mathbb {Q}, n \ in \ mathbb {N} \ right \}}

{\ displaystyle \ ell _ {f} (\ mathbb {Q}) = \ left \ {x \ in \ ell ^ {2}: x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} și ^ {i} \ ,, q_ {i} \ in \ mathbb {Q}, n \ in \ mathbb {N} \ right \}}

este un set dens numerabil $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ . Rețineți contabilitatea $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ , asa de $\ell _{f}(\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle \ ell _ {f} (\ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ ell _ {f} (\ mathbb {Q})}$ este numărabil, deoarece în bijecție cu un produs numărabil de seturi numărabile. Deci, să fie $x=(x_{i})_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ un element de $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ . Din densitatea de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ rezultă că

\forall \,n\geq 1\,,\;\exists \;q_{i}^{n}\in \mathbb {Q} :|x_{i}-q_{i}^{n}|\leq {2^{-{i \over 2}} \over n}

{\ displaystyle \ forall \, n \ geq 1 \ ,, \; \ exists \; q_ {i} ^ {n} \ in \ mathbb {Q}: | x_ {i} -q_ {i} ^ {n} | \ leq {2 ^ {- {i \ over 2}} \ over n}}

{\ displaystyle \ forall \, n \ geq 1 \ ,, \; \ exists \; q_ {i} ^ {n} \ in \ mathbb {Q}: | x_ {i} -q_ {i} ^ {n} | \ leq {2 ^ {- {i \ over 2}} \ over n}}

Prin urmare, definit $q^{n}=(q_{i}^{n})_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle q ^ {n} = (q_ {i} ^ {n}) _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle q ^ {n} = (q_ {i} ^ {n}) _ {i \ geq 1}}$ , apoi pentru identitatea lui Parseval și pentru seria geometrică cunoscută

\Vert x-q^{n}\Vert ^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}-q_{i}^{n}|^{2}\leq {1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}={1 \over n^{2}}

{\ displaystyle \ Vert xq ^ {n} \ Vert ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} -q_ {i} ^ {n} | ^ {2} \ leq {1 \ over n ^ {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} = {1 \ over n ^ {2}}}

{\ displaystyle \ Vert xq ^ {n} \ Vert ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} -q_ {i} ^ {n} | ^ {2} \ leq {1 \ over n ^ {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} = {1 \ over n ^ {2}}}

prin urmare

\lim _{n\to \infty }\Vert x-q^{n}\Vert =0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert xq ^ {n} \ Vert = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert x-q ^ {n} \ Vert = 0}

Dovada în cazul complex, dacă nu luați în considerare $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ Și $q_{i}^{n}$ ${\ displaystyle q_ {i} ^ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {i} ^ {n}}$ în $\mathbb {Q} +i\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} + i \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} + i \ mathbb {Q}}$ , e la fel.

Observăm că dacă în loc de $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ considerăm un spațiu Hilbert generic cu o bază Hilbert numărabilă, atunci dovada este aceeași. Prin urmare, am văzut că un spațiu Hilbert cu o bază Hilbert numărabilă este separabil. Prin procedura de ortogonalizare Gram-Schmidt , se arată, de asemenea, că un spațiu Hilbert separabil admite o bază Hilbert numărabilă. Prin urmare, până la izomorfisme unitare , $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ este singurul spațiu Hilbert separabil de dimensiune infinită ^[2] . Acest fapt justifică expresia „spațiu Hilbert”, deoarece spațiile Hilbert separabile sunt cele considerate în principal în matematică și cele mai utilizate în aplicații, cum ar fi în mecanica cuantică . Importanta $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ deci constă în furnizarea unui model deosebit de simplu al spațiului Hilbert.

Teorema Riesz-Fischer

Același subiect în detaliu: teorema Riesz-Fischer .

Teorema Riesz-Fischer afirmă, în forma sa cea mai generală, că într-un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ fiecare succesiune în $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ definește un element $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . În mod formal, spunem că dacă $\{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ este un sistem ortonormal (nu neapărat complet) al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ este o secvență în $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ , asa de

f=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}

{\ displaystyle f = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n}}

{\ displaystyle f = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n}}

este un element $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Teorema este o formă mai puternică a inegalității Bessel . Această inegalitate afirmă că dacă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un spațiu Hilbert, $\{e^{n}\}_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ este un sistem ortonormal e $x\in H$ ${\ displaystyle x \ în H}$ ${\ displaystyle x \ în H}$ are coeficienți Fourier $a_{n}=(e^{n},x)$ ${\ displaystyle a_ {n} = (e ^ {n}, x)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (e ^ {n}, x)}$ , asa de

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{2}\leq \Vert x\Vert ^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ leq \ Vert x \ Vert ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ leq \ Vert x \ Vert ^ {2}}

Teorema Riesz-Fischer, precum și inegalitatea Bessel și identitatea Parseval , sunt deseori formulate în contexte mai puțin abstracte, dar furnizând totuși o afirmație echivalentă cu cea generală. Aceste afirmații sunt motivate atât de posibile interese aplicative, cât și de motive filologice. De fapt, parafrazând cu un limbaj matematic modern, în notele sale din 1907, Riesz scrie:

Lasa-i sa fie

\{\varphi _{n}\}

${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} \}}$ un sistem ortonormal

L^{2}([a,b])

${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ Și

\{a_{n}\}

${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ o succesiune de regale. Convergența seriei

\sum a_{n}^{2}

{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {2}}

este o condiție necesară și suficientă pentru existența unei funcții

f

{\ displaystyle f}

f

astfel încât

\int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)dx=a_{n}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varphi _ {n} (x) dx = a_ {n}}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varphi _ {n} (x) dx = a_ {n}}

pentru fiecare

n

{\ displaystyle n}

n

.

Notele lui Riesz au apărut în martie. În mai, Fischer a demonstrat că fiecare succesiune Cauchy în $L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ este convergent în $L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ . În teorema pe care a enunțat-o, pe care o raportăm aici, secvențele Cauchy sunt numite „secvențe convergente în medie”, convergența față de norma de $L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ se numește „convergență în medie către o funcție” e $L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ este indicat cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Teorema. Dacă o succesiune de funcții aparținând $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ converge în medie, există în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ o functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ spre care succesiunea converge în medie.

Fischer dovedește apoi rezultatul Riesz folosind integralitatea lui $L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$ . Dovada lui Riesz, pe de altă parte, nu folosește direct completitudinea.

Spații l ^p

Putem defini spațiul l ^p (o $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ ), cu $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ , ca spațiu infinit-dimensional al secvențelor reale (sau complexe) cu puterea sumabilă p-a, adică

\ell ^{p}=\left\{\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },x_{n}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}

{\ displaystyle \ ell ^ {p} = \ left \ {\ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {n} \ in \ mathbb {R} \ {\ Bigg | } \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} <\ infty \ right \}}

{\ displaystyle \ ell ^ {p} = \ left \ {\ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {n} \ in \ mathbb {R} \ {\ Bigg | } \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} <\ infty \ right \}}

Spaţiu $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ este un spațiu Banach pentru fiecare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , cu normă

\Vert x\Vert _{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

De sine $p\neq 2$ ${\ displaystyle p \ neq 2}$ ${\ displaystyle p \ neq 2}$ totuși, acest spațiu nu este un spațiu Hilbert, adică nu există un produs scalar care să inducă această normă.

Pentru $p=\infty$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ $p = \ infty$ se definește norma uniformă

\|x\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | x_ {n} |}

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | x_ {n} |}

căruia îi corespunde spațiul

\ell ^{\infty }=\{x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:\Vert x\Vert _{\infty }<\infty \}

{\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}: \ Vert x \ Vert _ {\ infty} <\ infty \}}

{\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}: \ Vert x \ Vert _ {\ infty} <\ infty \}}

Se poate arăta că dacă $x\in \ell ^{p}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ pentru unii $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ , asa de

\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ | x \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ | x \ | _ {p}}

Prin urmare, putem vorbi de spații $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ pentru $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ .

Incluziuni între spații $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$

Puteți dovedi acest lucru așa cum $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ spațiul crește, de asemenea $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ . În mod formal, spunem că dacă $x\in \ell ^{p}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ pentru unii $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ , asa de $x\in \ell ^{q}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {q}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {q}}$ pentru fiecare $p\leq q\leq \infty$ ${\ displaystyle p \ leq q \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle p \ leq q \ leq \ infty}$ . Acest lucru implică faptul că dat o succesiune $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle x = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ , asa de

I(x)=\{p\in [1,\infty ]:x\in \ell ^{p}\}

{\ displaystyle I (x) = \ {p \ in [1, \ infty]: x \ in \ ell ^ {p} \}}

{\ displaystyle I (x) = \ {p \ in [1, \ infty]: x \ in \ ell ^ {p} \}}

este un interval , care, dacă nu este gol, este nelimitat la dreapta și conține $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Demonstrația este simplă și instructivă. Este $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle x = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ un element de $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ , cu $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ altfel teza este banală. Pentru fiecare $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$

|x_{n}|={\big (}|x_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}

{\ displaystyle | x_ {n} | = {\ big (} | x_ {n} | ^ {p} {\ bigr)} ^ {1 / p} \ leq {\ Bigl (} \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} | x_ {k} | ^ {p} {\ Bigr)} ^ {1 / p}}

{\ displaystyle | x_ {n} | = {\ big (} | x_ {n} | ^ {p} {\ bigr)} ^ {1 / p} \ leq {\ Bigl (} \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} | x_ {k} | ^ {p} {\ Bigr)} ^ {1 / p}}

și apoi, calculând limita superioară, obținem că

\Vert x\Vert _{\infty }\leq \Vert x\Vert _{p}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {\ infty} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {\ infty} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

asta este că asta $\ell ^{p}\subseteq \ell ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p} \ subseteq \ ell ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p} \ subseteq \ ell ^ {\ infty}}$ . Să fie acum $p<q<\infty$ ${\ displaystyle p <q <\ infty}$ ${\ displaystyle p <q <\ infty}$ . Înainte de a continua, să ne reamintim cititorului că dacă $r\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ asa de $r^{p}\geq r^{q}$ ${\ displaystyle r ^ {p} \ geq r ^ {q}}$ ${\ displaystyle r ^ {p} \ geq r ^ {q}}$ pentru fiecare $0\leq r\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$ in timp ce $r^{p}\leq r^{q}$ ${\ displaystyle r ^ {p} \ leq r ^ {q}}$ ${\ displaystyle r ^ {p} \ leq r ^ {q}}$ pentru fiecare $r\geq 1$ ${\ displaystyle r \ geq 1}$ ${\ displaystyle r \ geq 1}$ . Vom încerca asta

\Vert x\Vert _{q}\leq \Vert x\Vert _{p}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {q} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {q} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

pentru a deduce teza ca mai înainte. Cu toate acestea, această inegalitate este cu adevărat adevărată $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ . Să dovedim, prin urmare, teza pentru toți $x\in \ell ^{p}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ astfel încât $\Vert x\Vert _{\infty }=1$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {\ infty} = 1}$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {\ infty} = 1}$ . Această ipoteză nu este restrictivă ca și cum $x\in \ell ^{p}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {p}}$ atunci nu este nul așa cum s-a văzut înainte $x\in \ell ^{\infty }$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x \ in \ ell ^ {\ infty}}$ , și de parcă ar fi adevărat că

\left\Vert {\frac {x}{\Vert x\Vert _{\infty }}}\right\Vert _{q}\leq \left\Vert {\frac {x}{\Vert x\Vert _{\infty }}}\right\Vert _{p}

{\ displaystyle \ left \ Vert {\ frac {x} {\ Vert x \ Vert _ {\ infty}}} \ right \ Vert _ {q} \ leq \ left \ Vert {\ frac {x} {\ Vert x \ Vert _ {\ infty}}} \ right \ Vert _ {p}}

{\ displaystyle \ left \ Vert {\ frac {x} {\ Vert x \ Vert _ {\ infty}}} \ right \ Vert _ {q} \ leq \ left \ Vert {\ frac {x} {\ Vert x \ Vert _ {\ infty}}} \ right \ Vert _ {p}}

atunci inegalitatea căutată se obține prin omogenitatea pozitivă a normelor $\Vert \cdot \Vert _{p}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p}}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p}}$ Și $\Vert \cdot \Vert _{q}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {q}}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {q}}$ . Cu această ipoteză a limitării uniforme avem că $|x_{n}|\leq 1$ ${\ displaystyle | x_ {n} | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | x_ {n} | \ leq 1}$ pentru fiecare $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ , prin urmare

|x_{n}|^{q}\leq |x_{n}|^{p}

{\ displaystyle | x_ {n} | ^ {q} \ leq | x_ {n} | ^ {p}}

{\ displaystyle | x_ {n} | ^ {q} \ leq | x_ {n} | ^ {p}}

pentru fiecare $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ , de aici și inegalitatea

\Vert x\Vert _{q}={\Bigl (}\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{q}{\Bigr )}^{1/q}\leq {\Bigl (}\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}{\Bigr )}^{1/q}=\Vert x\Vert _{p}^{p/q}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {q} = {\ Bigl (} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {q} {\ Bigr)} ^ {1 / q} \ leq {\ Bigl (} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} {\ Bigr)} ^ {1 / q} = \ Vert x \ Vert _ {p} ^ {p / q}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {q} = {\ Bigl (} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {q} {\ Bigr)} ^ {1 / q} \ leq {\ Bigl (} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {p} {\ Bigr)} ^ {1 / q} = \ Vert x \ Vert _ {p} ^ {p / q}}

În acest moment, jocul este terminat, ca de atunci $p/q<1$ ${\ displaystyle p / q <1}$ ${\ displaystyle p / q <1}$ Și $\Vert x\Vert _{p}\geq \Vert x\Vert _{\infty }=1$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} \ geq \ Vert x \ Vert _ {\ infty} = 1}$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} \ geq \ Vert x \ Vert _ {\ infty} = 1}$ asa de

\Vert x\Vert _{p}^{p/q}\leq \Vert x\Vert _{p}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} ^ {p / q} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

{\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {p} ^ {p / q} \ leq \ Vert x \ Vert _ {p}}

Prin combinarea ultimelor două inegalități, se obține teza și se încheie dovada.

Arătăm un exemplu care confirmă veridicitatea teoremei. Succesiunea

\ \left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dots \right)

{\ displaystyle \ \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ dots, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {1} {n + 1}}, \ dots \ dreapta)}

{\ displaystyle \ \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ dots, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {1} {n + 1}}, \ dots \ dreapta)}

nu aparține $\ell ^{1}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$ $\ ell ^ {1}$ , dar aparține $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ pentru ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq \ infty}$ . De fapt, această succesiune este limitată, iar seria

\ 1+{\frac {1}{2^{p}}}+\dots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\dots

{\ displaystyle \ 1 + {\ frac {1} {2 ^ {p}}} + \ dots + {\ frac {1} {n ^ {p}}} + {\ frac {1} {(n + 1 ) ^ {p}}} + \ dots}

{\ displaystyle \ 1 + {\ frac {1} {2 ^ {p}}} + \ dots + {\ frac {1} {n ^ {p}}} + {\ frac {1} {(n + 1 ) ^ {p}}} + \ dots}

divergă pentru $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ (este seria armonică ) și converge prin $p>1$ ${\ displaystyle p> 1}$ $p> 1$ .

Incluziunile dintre spații $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ sunt înguste, adică $\ell ^{p}\subset \ell ^{q}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p} \ subset \ ell ^ {q}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p} \ subset \ ell ^ {q}}$ pentru fiecare $p<q\leq \infty$ ${\ displaystyle p <q \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle p <q \ leq \ infty}$ . Pentru $q=\infty$ ${\ displaystyle q = \ infty}$ ${\ displaystyle q = \ infty}$ dovada este banală, deoarece este suficient să se ia în considerare secvența constant egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . În caz contrar, observați doar că succesiunea

x_{n}={1 \over n^{1 \over p}}

{\ displaystyle x_ {n} = {1 \ peste n ^ {1 \ peste p}}}

{\ displaystyle x_ {n} = {1 \ peste n ^ {1 \ peste p}}}

stă în $\ell ^{q}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {q}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {q}}$ și nu în $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ .

Relația cu spațiile L ^p

Spațiile $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ sunt un caz foarte special al spațiilor L ^p , unde este spațiul de măsurare asociat $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\nu )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}), \ nu)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}), \ nu)}$ , cu $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ setul de numere naturale , ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=2^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}) = 2 ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}) = 2 ^ {\ mathbb {N}}}$ ansamblul părților din $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ „măsura numărării”, adică măsura $\nu (A)=\#A$ ${\ displaystyle \ nu (A) = \ # A}$ ${\ displaystyle \ nu (A) = \ # A}$ che conta il numero di elementi di un insieme (assegnando infinito a insiemi infiniti). Facciamo osservare che, poiché i punti hanno misura unitaria, allora ogni successione è l'unica rappresentante della propria classe modulo la relazione d'equivalenza quasi ovunque .

In maniera analoga a quella descritta, a partire da un qualunque insieme numerabile $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ (ad esempio gli interi ), si può definire $\ell ^{p}(S)$ $\ell ^{p}(S)$ $\ell ^{p}(S)$ come lo spazio delle successioni $s:S\rightarrow \mathbb {R}$ $s:S\rightarrow \mathbb {R}$ $s:S\rightarrow \mathbb {R}$ a potenza p sommabile. Pertanto, secondo la notazione finora usata, $\ell ^{p}=\ell ^{p}(\mathbb {N} )$ $\ell ^{p}=\ell ^{p}(\mathbb {N} )$ $\ell ^{p}=\ell ^{p}(\mathbb {N} )$ . Notare che $\ell ^{p}(\{1,\dots ,n\})$ $\ell ^{p}(\{1,\dots ,n\})$ $\ell ^{p}(\{1,\dots ,n\})$ , o più stringatamente $\ell ^{p}(n)$ $\ell ^{p}(n)$ $\ell ^{p}(n)$ , non è altro che lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ con la norma p .

Note

^ Vale anche il viceversa, ovvero uno spazio normato è completo se ogni serie assolutamente convergente è convergente.
^ La dimensione hilbertiana di uno spazio di Hilbert è la cardinalità di una sua base hilbertiana. La dimensione hilbertiana non dipende dalla scelta della base.

Bibliografia

( EN ) Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
H. Brezis , Analisi funzionale - Teoria e applicazioni , Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Springer.com - The Classical Sequence Spaces , su springer.com .

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Vale anche il viceversa, ovvero uno spazio normato è completo se ogni serie assolutamente convergente è convergente.

[2] La dimensione hilbertiana di uno spazio di Hilbert è la cardinalità di una sua base hilbertiana. La dimensione hilbertiana non dipende dalla scelta della base.

[1]

[2]