Delta Kronecker

În matematică , delta Kronecker înseamnă o funcție a două variabile discrete, în special a două variabile pe numere întregi sau naturale , care este 1 dacă valorile lor coincid, în timp ce 0 altfel. Distribuția delta Dirac poate fi considerată extensia sa la cazul continuu.

Numele său amintește de matematicianul german Leopold Kronecker ( 1823 - 1891 ).

Definiție

Delta Kronecker este denumită de obicei tensorul $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {{ij}}$ de componente:

\delta _{ij}:={\begin{cases}1,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}

{\ displaystyle \ delta _ {ij}: = {\ begin {cases} 1, & {\ text {se}} i = j, \\ 0, & {\ text {se}} i \ neq j. \ end {cazuri}}}

{\ displaystyle \ delta _ {ij}: = {\ begin {cases} 1, & {\ text {se}} i = j, \\ 0, & {\ text {se}} i \ neq j. \ end {cazuri}}}

Aplicații

Simbolul Kronecker este întâlnit în numeroase formule referitoare la secvențe, matrici sau alte complexe de numere exprimate prin intermediul unor indici. De exemplu matricea identității dimensiunii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ poate fi definit ca matrice:

{\bar {\bar {1}}}=(\delta _{ij})_{i,j=1,\ldots ,n},

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {1}}} = (\ delta _ {ij}) _ {i, j = 1, \ ldots, n},}

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {1}}} = (\ delta _ {ij}) _ {i, j = 1, \ ldots, n},}

care se află în locul:

{\bar {\bar {1}}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {1}}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {1}}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}.}

Acesta poate fi , de asemenea , utilizat pentru a exprima ortonormalitate relația unui sistem vector ortonormală $\{e_{i}\}_{i=1,\ldots ,n}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i = 1, \ ldots, n}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i = 1, \ ldots, n}}$ :

\langle {\bar {1}}_{i}|{\bar {1}}_{j}\rangle =\delta _{ij},

{\ displaystyle \ langle {\ bar {1}} _ {i} | {\ bar {1}} _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij},}

{\ displaystyle \ langle {\ bar {1}} _ {i} | {\ bar {1}} _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij},}

unde este $\langle \cdot |\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot | \ cdot \ rangle$ indică un produs scalar (sau hermitian ).

Generalizări

Poate fi util să se introducă generalizări ale deltei Kronecker atunci când se tratează structuri algebrice cu zerouri și unități, de exemplu atunci când se ia în considerare jumătatea inelului de limbaje în care limbajul gol acționează ca zero și setul tuturor șirurilor pe un anumit alfabet $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ acționează ca o unitate. Pentru aplicații precum descrierile anumitor automate, poate fi convenabil să folosiți o delta Kronecker pe limbi $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ definit ca ^{[ neclar ]} :

\delta _{LM}:=\left\{{\begin{matrix}A^{*}&{\mbox{se }}L=M\\\varnothing &{\mbox{se }}L\neq M\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ delta _ {LM}: = \ left \ {{\ begin {matrix} A ^ {*} & {\ mbox {se}} L = M \\\ varnothing & {\ mbox {se}} L \ neq M \ end {matrix}} \ right.}

\ delta _ {{LM}}: = \ left \ {{\ begin {matrix} A ^ {*} & {\ mbox {se}} L = M \\\ varnothing & {\ mbox {se}} L \ neq M \ end {matrix}} \ right.

.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică