Baza Schauder

În matematică , o bază Schauder este o extensie a conceptului de bază utilizat în mod normal în algebra liniară . Este un concept similar cu cel de bază Hamel , de care diferă prin faptul că bazele Hamel folosesc combinații liniare care sunt sume finite, în timp ce pentru bazele Schauder pot fi infinite.

Algebra liniară se ocupă de obicei de mulțimi finite- dimensionale cu o structură algebrică : în acest caz elementele spațiilor vectoriale pot fi reprezentate prin combinații liniare adecvate ale unui număr finit de vectori (vectori de bază) conform unor coeficienți. Vectorii de bază constituie o bază Hamel care, datorită proprietăților spațiului vectorial în cauză, este, de asemenea, de dimensiune finită. Cu toate acestea, un set de vectori liniar independenți și cardinalitate finită nu reușesc întotdeauna să fie o bază pentru un spațiu vectorial. Acest lucru se întâmplă, de fapt, pentru spațiile vectoriale cu o dimensiune infinită care poate fi numărată sau infinită care nu poate fi numărată.

Din acest motiv, se folosește o definiție mai slabă a bazei, referindu-se la aceasta cu numele de "bază Schauder" și conform căreia se spune că un sistem de generatoare este complet pentru un spațiu vectorial V dacă închiderea intervalului său coincide cu V . Cu alte cuvinte, aceasta înseamnă că elementele lui V sunt fie elemente care pot fi generate de la bază, fie pot fi determinate ca limita unei succesiuni a elementelor din întinderea bazei. Prin urmare, în acest caz, trebuie adesea să ne ocupăm de sume infinite, ceea ce necesită utilizarea unor concepte precum convergența și limita care sunt comune în spațiile topologice .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector topologic (de exemplu, un spațiu Banach sau un spațiu Hilbert ) pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . O bază Schauder este un subset setabil $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât fiecare element $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ poate fi scris, într-un singur mod, ca o serie :

v=\sum _{x\in B}a_{x}x

{\ displaystyle v = \ sum _ {x \ în B} a_ {x} x}

{\ displaystyle v = \ sum _ {x \ în B} a_ {x} x}

unde suma este limita unei succesiuni de sume parțiale, e $a_{x}\in K$ ${\ displaystyle a_ {x} \ în K}$ ${\ displaystyle a_ {x} \ în K}$ este unic pentru fiecare $x\in V$ ${\ displaystyle x \ în V}$ ${\ displaystyle x \ în V}$ .

Un script alternativ care pune accentul pe contabilitate este următorul. Scrieți baza ca $B=\{e_{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}$ ${\ displaystyle B = \ {e_ {n} \ mid n \ in {\ mathbb {N}} \}}$ ${\ displaystyle B = \ {e_ {n} \ mid n \ in {\ mathbb {N}} \}}$ ; asa de:

v=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e_{n}

{\ displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e_ {n}}

{\ displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e_ {n}}

Spre deosebire de ceea ce se întâmplă cu baza Hamel , elementele bazei trebuie să fie ordonate, deoarece seria nu poate converge necondiționat .

Folosind formalismul succesiunii , ambele $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu Banach pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . O bază Schauder este o secvență $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ de elemente ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât pentru fiecare element $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ există o singură succesiune $\{\alpha _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ alpha _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ alpha _ {n} \}}$ de scalari în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât:

v=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}b_{n}

{\ displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {n} b_ {n}}

{\ displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {n} b_ {n}}

unde convergența trebuie luată în considerare cu privire la topologia standardului , adică:

\lim _{n\to \infty }\left\|v-\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | v- \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | v- \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} = 0}

O bază Schauder $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ este normalizat dacă toți vectorii de bază au norma 1 în spațiul Banach $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Două baze ale lui Schauder $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $\{c_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {c_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {c_ {n} \}}$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ (un alt spațiu Banach) se spune că sunt echivalente dacă există două constante $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât pentru fiecare număr întreg $N\geq 0$ ${\ displaystyle N \ geq 0}$ ${\ displaystyle N \ geq 0}$ și pentru toate secvențele scalarilor $\{\alpha _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ alpha _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ alpha _ {n} \}}$ apare:

c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}

{\ displaystyle c \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} \ leq \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} c_ {k} \ right \ | _ {W} \ leq C \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V}}

{\ displaystyle c \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} \ leq \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} c_ {k} \ right \ | _ {W} \ leq C \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V}}

O familie de vectori în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este total dacă intervalul său liniar (setul de combinații liniare finite) este dens în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu Hilbert , o bază ortogonală este un subset total $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât elementele din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt non-zero și reciproc ortogonali. Mai mult, când fiecare element al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ are norma 1 atunci $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Proprietate

Este $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ o bază Schauder din spațiul Banach $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe teren $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , ce poate fi $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Din principiul limitării uniforme rezultă că hărțile de proiecție $\{P_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {P_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {P_ {n} \}}$ pe baza vectorilor definiți de:

v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}

{\ displaystyle v = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} b_ {k} \ \ {\ overset {\ textstyle P_ {n}} {\ longrightarrow}} \ \ P_ { n} (v) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k}}

{\ displaystyle v = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} b_ {k} \ \ {\ overset {\ textstyle P_ {n}} {\ longrightarrow}} \ \ P_ { n} (v) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k}}

sunt delimitate uniform de unele constante:

C=\sup _{n}\|P_{n}\|

{\ displaystyle C = \ sup _ {n} \ | P_ {n} \ |}

{\ displaystyle C = \ sup _ {n} \ | P_ {n} \ |}

constanta de bază a $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ . Cand $C=1$ ${\ displaystyle C = 1}$ $C = 1$ baza se numește baza monotonă .

Lasa-i sa fie $\{b_{n}^{*}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ funcționale liniare delimitate coordonate în spațiul dual ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ , cu $b_{n}^{*}$ ${\ displaystyle b_ {n} ^ {*}}$ ${\ displaystyle b_ {n} ^ {*}}$ care este atribuit fiecărui vector $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ prin coordonată $\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n}}$ din $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în expresia anterioară:

b_{n}^{*}(v)=\alpha _{n}

{\ displaystyle b_ {n} ^ {*} (v) = \ alpha _ {n}}

{\ displaystyle b_ {n} ^ {*} (v) = \ alpha _ {n}}

Pentru fiecare $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ avem:

|b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}

{\ displaystyle | b_ {n} ^ {*} (v) | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = | \ alpha _ {n} | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = \ | \ alpha _ {n} b_ {n} \ | _ {V} = \ | P_ {n} (v) -P_ {n-1} (v) \ | _ {V} \ leq 2C \ | v \ | _ {V}}

{\ displaystyle | b_ {n} ^ {*} (v) | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = | \ alpha _ {n} | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = \ | \ alpha _ {n} b_ {n} \ | _ {V} = \ | P_ {n} (v) -P_ {n-1} (v) \ | _ {V} \ leq 2C \ | v \ | _ {V}}

Funcționalul $\{b_{n}^{*}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ se numesc funcționale biortogonale asociate bazei $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ . Cand $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ funcționalitățile sunt normalizate $\{b_{n}^{*}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} ^ {*} \}}$ au normă mai mică sau egală cu $2C$ ${\ displaystyle 2C}$ $2C$ în dual ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ .

Un spațiu Banach cu o bază Schauder este în mod necesar separabil , dar inversul nu este adevărat.

Spații de secvențe și spațiu dual

O bază $\{e_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\ {e_ {n} \} _ {{n \ geq 0}}$ a unui spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este complet limitat (în engleză „boundedly complete”) dacă, pentru orice secvență $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ de scalari astfel încât sumele parțiale:

V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}

{\ displaystyle V_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} e_ {k}}

{\ displaystyle V_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} e_ {k}}

sunt limitate în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , succesiunea $\{V_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {V_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {V_ {n} \}}$ converge în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Baza spațiului secvențelor $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ (cu $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ) compus din vectori unitari este complet limitat, dar nu este complet în spațiu $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ ( subspațiul $\ell ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ $\ ell ^ {\ infty}$ ). De fapt, dacă $a_{n}=1$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ pentru fiecare n avem:

\|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1\qquad \forall n

{\ displaystyle \ | V_ {n} \ | _ {c_ {0}} = \ max _ {0 \ leq k \ leq n} | a_ {k} | = 1 \ qquad \ forall n}

{\ displaystyle \ | V_ {n} \ | _ {c_ {0}} = \ max _ {0 \ leq k \ leq n} | a_ {k} | = 1 \ qquad \ forall n}

ci succesiunea $\{V_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {V_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {V_ {n} \}}$ nu converge în $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ De cand $\|V_{n+1}-V_{n}\|=1$ ${\ displaystyle \ | V_ {n + 1} -V_ {n} \ | = 1}$ ${\ displaystyle \ | V_ {n + 1} -V_ {n} \ | = 1}$ pentru fiecare n .

O bază $\{e_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\ {e_ {n} \} _ {{n \ geq 0}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește micșorare dacă pentru orice funcțional liniar delimitat $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ succesiunea numerelor non-negative:

\varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}

{\ displaystyle \ varphi _ {n} = \ sup \ {| f (x) |: x \ în F_ {n}, \; \ | x \ | \ leq 1 \}}

{\ displaystyle \ varphi _ {n} = \ sup \ {| f (x) |: x \ în F_ {n}, \; \ | x \ | \ leq 1 \}}

tinde la 0 când $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ , unde este $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ este intervalul liniar al vectorilor de bază $e_{m}$ ${\ displaystyle e_ {m}}$ ${\ displaystyle e_ {m}}$ pentru $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ $m \ geq n$ . În special, o bază $\{e_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\ {e_ {n} \} _ {{n \ geq 0}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se micșorează dacă și numai dacă funcționalitățile biortogonale $\{e_{n}^{*}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} ^ {*} \} _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} ^ {*} \} _ {n \ geq 0}}$ formează o bază a spațiului dual $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ .

Un rezultat care i se datorează lui Robert C. James stabilește în continuare că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu o bază Schauder este un spațiu reflexiv dacă și numai dacă baza este în același timp micșorată și limitată complet. ^[1]

Exemplu

Un exemplu de bază Schauder este seria Fourier a unei funcții în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , spațiul funcțiilor pătrate sumabile :

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin(nx)

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin (nx)}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin (nx)}

În general, sistemul trigonometric este o bază Schauder în orice spațiu $L^{p}[0,1]$ ${\ displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ ${\ displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ , cu ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ .

Notă

^ James, Robert. C. (1950), „Bazele și reflexivitatea spațiilor Banach”, Ann. de matematică. (2) 52 : 518-527.

Bibliografie

( EN ) Bailey, DH; Borwein, JM; Calkin, NJ; Girgensohn, R.; Luke, DR; și Moll, VH Experimental Mathematics in Action . Wellesley, MA: AK Peters, pp. 115-117, 2007.
(EN) Johnson, WB și Lindenstrauss, J. (Eds.). Manual de geometrie a spațiilor Banach, vol. 1 . Amsterdam, Olanda: Olanda de Nord, 2001.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Schauder Basis in MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85118094 · GND (DE) 4179416-3 · BNF (FR) cb12267456f (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] James, Robert. C. (1950), „Bazele și reflexivitatea spațiilor Banach”, Ann. de matematică. (2) 52 : 518-527.

[1]