Principiul limitării uniforme

În matematică , principiul uniform al delimitării sau teorema Banach-Steinhaus , publicată pentru prima dată în 1927 de Stefan Banach și Hugo Steinhaus , dar dovedită și independent de Hans Hahn , este una dintre realizările fundamentale în analiza funcțională și, împreună cu teorema Hahn-Banach și cu teorema funcției deschise , este considerată una dintre bazele acestei ramuri de analiză. În forma sa cea mai simplă, afirmă că pentru o familie de operatori lineari continui (și, prin urmare, delimitați ) definită pe un spațiu Banach , limitarea punctuală este echivalentă cu limitarea din norma operatorului .

Afirmație

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu al lui Banach e $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un spațiu reglementat . Este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ o familie de operatori lineari continui (delimitați) din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ rezultate:

\sup \left\{\,\|Tx\|_{Y}:T\in F\,\right\}<\infty

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\, \ | Tx \ | _ {Y}: T \ in F \, \ right \} <\ infty}

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\, \ | Tx \ | _ {Y}: T \ in F \, \ right \} <\ infty}

Atunci:

\sup \left\{\,\|T\|_{B(X,Y)}:T\in F\;\right\}<\infty

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\, \ | T \ | _ {B (X, Y)}: T \ în F \; \ right \} <\ infty}

{\ displaystyle \ sup \ left \ {\, \ | T \ | _ {B (X, Y)}: T \ în F \; \ right \} <\ infty}

unde cu $B(X,Y)$ ${\ displaystyle B (X, Y)}$ ${\ displaystyle B (X, Y)}$ am indicat spațiul operatorilor mărginit de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Teorema poate fi generalizată, deoarece mediul natural pentru principiul uniform al delimitării este un spațiu baril , unde se menține o versiune generalizată a teoremei (menționată mai târziu).

Demonstrație

Pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ setul este definit:

C_{n}\equiv \left\{x\in X:\|Tx\|\leq n\quad \forall T\in F\right\}

{\ displaystyle C_ {n} \ equiv \ left \ {x \ in X: \ | Tx \ | \ leq n \ quad \ forall T \ in F \ right \}}

{\ displaystyle C_ {n} \ equiv \ left \ {x \ in X: \ | Tx \ | \ leq n \ quad \ forall T \ in F \ right \}}

Prin ipoteză, pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există un indice natural $n=n(x)$ ${\ displaystyle n = n (x)}$ ${\ displaystyle n = n (x)}$ astfel încât $\|Tx\|\leq n$ ${\ displaystyle \ | Tx \ | \ leq n}$ ${\ displaystyle \ | Tx \ | \ leq n}$ pentru fiecare $T\in F$ ${\ displaystyle T \ în F}$ ${\ displaystyle T \ în F}$ și, prin urmare, avem:

X=\cup _{n=1}^{\infty }C_{n}

{\ displaystyle X = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n}}

{\ displaystyle X = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n}}

Se observă că, pentru continuitatea fiecărui element $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , toate seturile $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ sunt închise. Invocând teorema categoriei lui Baire deducem că există un firesc $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât ${\overline {C}}_{m}=C_{m}$ ${\ displaystyle {\ overline {C}} _ {m} = C_ {m}}$ ${\ displaystyle {\ overline {C}} _ {m} = C_ {m}}$ are un interior ne-gol, adică există $y\in X$ ${\ displaystyle y \ în X}$ $y \ în X$ Și $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel încât:

B(y,\varepsilon )\subseteq T^{-1}\left(\left\{z:\|z\|\leq m\right\}\right)\quad \forall T\in F

{\ displaystyle B (y, \ varepsilon) \ subseteq T ^ {- 1} \ left (\ left \ {z: \ | z \ | \ leq m \ right \} \ right) \ quad \ forall T \ in F }

{\ displaystyle B (y, \ varepsilon) \ subseteq T ^ {- 1} \ left (\ left \ {z: \ | z \ | \ leq m \ right \} \ right) \ quad \ forall T \ in F }

Cu alte cuvinte, avem:

\|T(x+y)\|\leq m\quad \forall x:\|x\|<\varepsilon \quad \forall T\in F

{\ displaystyle \ | T (x + y) \ | \ leq m \ quad \ forall x: \ | x \ | <\ varepsilon \ quad \ forall T \ in F}

{\ displaystyle \ | T (x + y) \ | \ leq m \ quad \ forall x: \ | x \ | <\ varepsilon \ quad \ forall T \ in F}

prin urmare:

\|Tx\|\leq \|T(x+y)\|+\|Ty\|\leq m+\|Ty\|\quad \forall x:\|x\|<\varepsilon \quad \forall T\in F

{\ displaystyle \ | Tx \ | \ leq \ | T (x + y) \ | + \ | Ty \ | \ leq m + \ | Ty \ | \ quad \ forall x: \ | x \ | <\ varepsilon \ quad \ forall T \ in F}

{\ displaystyle \ | Tx \ | \ leq \ | T (x + y) \ | + \ | Ty \ | \ leq m + \ | Ty \ | \ quad \ forall x: \ | x \ | <\ varepsilon \ quad \ forall T \ in F}

Dat $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ :

\|Tx\|=\left\|T\left({\frac {2\|x\|}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\varepsilon }{2\|x\|}}\cdot x\right)\right\|={\frac {2\|x\|}{\varepsilon }}\left\|T\left({\frac {\varepsilon }{2}}\cdot {\frac {x}{\|x\|}}\right)\right\|\leq {\frac {2\|x\|}{\varepsilon }}\left(m+\|Ty\|\right)\quad \forall T\in F

{\ displaystyle \ | Tx \ | = \ left \ | T \ left ({\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ cdot {\ frac {\ varepsilon} {2 \ | x \ |} } \ cdot x \ right) \ right \ | = {\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left \ | T \ left ({\ frac {\ varepsilon} {2}} \ cdot { \ frac {x} {\ | x \ |}} \ right) \ right \ | \ leq {\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ right ) \ quad \ forall T \ in F}

{\ displaystyle \ | Tx \ | = \ left \ | T \ left ({\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ cdot {\ frac {\ varepsilon} {2 \ | x \ | | } \ cdot x \ right) \ right \ | = {\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left \ | T \ left ({\ frac {\ varepsilon} {2}} \ cdot { \ frac {x} {\ | x \ |}} \ right) \ right \ | \ leq {\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ right ) \ quad \ forall T \ in F}

și rezultă că:

\|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\left[{\frac {2\|x\|}{\varepsilon }}\left(m+\|Ty\|\right)\right]\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\left(m+\|Ty\|\right)\quad \forall T\in F

{\ displaystyle \ | T \ | = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} \ | Tx \ | \ leq \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} \ left [{\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ right) \ right] \ leq {\ frac {2} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ dreapta) \ quad \ forall T \ în F}

{\ displaystyle \ | T \ | = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} \ | Tx \ | \ leq \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} \ left [{\ frac {2 \ | x \ |} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ right) \ right] \ leq {\ frac {2} {\ varepsilon}} \ left (m + \ | Ty \ | \ dreapta) \ quad \ forall T \ în F}

Cu aceasta se demonstrează teorema.

Generalizări

Condiții mai puțin restrictive pentru validitatea teoremei sunt obținute luând în considerare un spațiu baril , în care se menține următoarea versiune a teoremei. Având un spațiu butoi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și un spațiu local convex $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , orice familie mărginită punctual de operatori lineari continui din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este echicontinuu (și, de asemenea, uniform echicontinuu).

Alternativ, declarația se menține și când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu al lui Baire e $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un spațiu local convex.

O versiune mai slabă a teoremei consideră spațiile Fréchet în loc de spațiile Banach: fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu de Fréchet, $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un spațiu reglementat e $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ o familie de operatori lineari continui din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Dacă pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ avem:

\sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty

{\ displaystyle \ sup \ nolimits _ {u \ in H} \ | u (x) \ | <\ infty}

{\ displaystyle \ sup \ nolimits _ {u \ in H} \ | u (x) \ | <\ infty}

apoi operatorii din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ sunt echicontinue.

Corolari

O primă consecință a principiului este că dacă o succesiune de operatori limitați $(T_{n})$ ${\ displaystyle (T_ {n})}$ ${\ displaystyle (T_ {n})}$ converge punctual, aceasta este limita $(T_{n}(x))$ ${\ displaystyle (T_ {n} (x))}$ ${\ displaystyle (T_ {n} (x))}$ există pentru toți $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , atunci această limită de punct definește un operator mărginit $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Observați că nu apare $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în norma operatorului , adică converge uniform pe seturi limitate. In orice caz, $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ converge lin către $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe seturi compacte datorită faptului că $(T_{n})$ ${\ displaystyle (T_ {n})}$ ${\ displaystyle (T_ {n})}$ este limitat în norma de funcționare e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este continuu .

Un al doilea corolar este acela că fiecare set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ slab limitat într-un spațiu normat $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este limitat. De fapt, elementele din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ definiți o familie mărginită punctual de operatori lineari continui pe spațiul Banach $Y^{*}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ , dual continuu de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Pentru principiul limitării uniforme norma elementelor din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , ca funcțional pe $Y^{*}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ , adică norma pe $Y^{**}$ ${\ displaystyle Y ^ {**}}$ ${\ displaystyle Y ^ {**}}$ , este limitat. Dar pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ norma în $Y^{**}$ ${\ displaystyle Y ^ {**}}$ ${\ displaystyle Y ^ {**}}$ coincide cu norma din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ de teorema Hahn-Banach .

Este $L(X,Y)$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ ansamblul operatorilor continui din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , cu norma de funcționare. Dacă colecția $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ nu este limitat în $L(X,Y)$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle L (X, Y)}$ apoi pentru principiul limitării uniforme:

R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing

{\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | Tx \ | _ {Y} = \ infty \ right \} \ neq \ varnothing}

{\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | Tx \ | _ {Y} = \ infty \ right \} \ neq \ varnothing}

Intr-adevar, $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este dens în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Complementarul de $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este uniunea numărabilă a mulțimilor închise $\cup X_{n}$ ${\ displaystyle \ cup X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ cup X_ {n}}$ . După cum se vede în dovada principiului, fiecare $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ este un set niciodată dens , adică subsetul $\cup X_{n}$ ${\ displaystyle \ cup X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ cup X_ {n}}$ este de prim rang și, prin urmare $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este complementul unui subset de primă clasă într-un spațiu Baire . Prin definiția spațiului Baire, astfel de seturi (numite seturi reziduale ) sunt dense. Acest raționament duce la principiul condensării singularităților , care afirmă că dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Banach, $\{Y_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \}}$ o succesiune de spații vectoriale normate e $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ o familie nelimitată în $L(X,Y_{n})$ ${\ displaystyle L (X, Y_ {n})}$ ${\ displaystyle L (X, Y_ {n})}$ , apoi setul:

R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} :\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}

{\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ forall n \ in \ mathbf {N}: \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y} = \ infty \ right \}}

{\ displaystyle R = \ left \ {x \ in X \: \ \ forall n \ in \ mathbf {N}: \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y} = \ infty \ right \}}

este dens în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De fapt, complementarea lui $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este uniunea numărabilă:

\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y}\leq m\right\}

{\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {n, m} \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y} \ leq m \ dreapta \}}

{\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {n, m} \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F_ {n}} \ | Tx \ | _ {Y} \ leq m \ dreapta \}}

de seturi de primă clasă și, prin urmare $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este dens.

Bibliografie

( EN ) Conway, JB Un curs de analiză funcțională . New York: Springer-Verlag, 1990.
( EN ) Zeidler, E. Analiza funcțională aplicată: aplicații la fizica matematică . New York: Springer-Verlag, 1995.
( FR ) Stefan Banach, Hugo Steinhaus. Sur le principi de la condensation de singularités . Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AI Shtern, teorema Banach-Steinhaus , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică