Teorema Hahn-Banach

În matematică , în special în analiza funcțională , teorema lui Hahn-Banach este o teoremă care permite extinderea operatorilor liniari mărgini definiți pe un subespai al unui anumit spațiu vectorial la întregul spațiu și, de asemenea, arată că există suficiente funcționalități liniare continue definite pe orice spațiu reglementat astfel încât să facă interesant studiul spațiului dual . Se numește așa datorită lui Hans Hahn și Stefan Banach , care au dovedit această teoremă independent una de alta în anii 1920.

Teorema

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (care poate fi cea reală $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau cea complexă $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ). O funcție $f:V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {R}}$ $f: V \ to \ mathbb {R}$ spunem subliniar dacă:

f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\qquad \forall \gamma \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall x\in V

{\ displaystyle f (\ gamma x) = \ gamma f \ left (x \ right) \ qquad \ forall \ gamma \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad \ forall x \ in V}

f (\ gamma x) = \ gamma f \ left (x \ right) \ qquad \ forall \ gamma \ in {\ mathbb {R}} _ {+} \ quad \ forall x \ in V

f(x+y)\leq f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V

{\ displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y) \ qquad \ forall x, y \ in V}

f (x + y) \ leq f (x) + f (y) \ qquad \ forall x, y \ in V

Fiecare seminormă pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , și în special orice regulă privind $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , este subliniar.

De asemenea, se spune că o funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este extensia unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dacă domeniul $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ conține cea a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ iar funcțiile coincid în fiecare punct al domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Afirmație

Teorema Hahn-Banach afirmă că dacă ${\mathcal {N}}:V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}: V \ to \ mathbb {R}}$ ${\ mathcal {N}}: V \ to \ mathbb {R}$ este o funcție subliniară și $\varphi :U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R}}$ $\ varphi: U \ to \ mathbb {R}$ este o funcționalitate liniară pe un subspațiu vectorial $U\subseteq V$ ${\ displaystyle U \ subseteq V}$ $U \ subseteq V$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este dominat de ${\mathcal {N}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , adică:

\varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U

{\ displaystyle \ varphi (x) \ leq {\ mathcal {N}} (x) \ qquad \ forall x \ în U}

\ varphi (x) \ leq {\ mathcal {N}} (x) \ qquad \ forall x \ in U

apoi există o extensie liniară $\psi :V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ psi: V \ to \ mathbb {R}}$ $\ psi: V \ to \ mathbb {R}$ din $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ definit pe întreg spațiul. Cu alte cuvinte, există o funcționalitate liniară $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ astfel încât: ^[1]

\psi (x)=\varphi (x)\quad \forall x\in U\qquad \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\quad \forall x\in V

{\ displaystyle \ psi (x) = \ varphi (x) \ quad \ forall x \ in U \ qquad \ psi (x) \ leq {\ mathcal {N}} (x) \ quad \ forall x \ in V}

\ psi (x) = \ varphi (x) \ quad \ forall x \ in U \ qquad \ psi (x) \ leq {\ mathcal {N}} (x) \ quad \ forall x \ in V

Extensia $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ în general nu este determinat exclusiv de $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , iar dovada nu oferă o metodă de găsire $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ în cazul unui spațiu dimensional infinit $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , dar se bazează pe lema lui Zorn .

Condiția subliniarității pe ${\mathcal {N}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ poate fi ușor slăbit presupunând că: ^[2]

{\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|N(y)

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (ax + by) \ leq | a | {\ mathcal {N}} (x) + | b | N (y)}

{\ mathcal {N}} (ax + by) \ leq | a | {\ mathcal {N}} (x) + | b | N (y)

pentru toți $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $|a|+|b|=1$ ${\ displaystyle | a | + | b | = 1}$ $| a | + | b | = 1$ .

Demonstrație

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vectorial pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și fie $p:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$ $p: X \ to \ mathbb {R}$ o funcție astfel încât:

p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad \forall \ x,y\in X\quad \forall \ t\in [0,1]

{\ displaystyle p (tx + (1-t) y) \ leq tp (x) + (1-t) p (y) \ qquad \ forall \ x, y \ in X \ quad \ forall \ t \ in [ 0, 1]}

p (tx + (1-t) y) \ leq tp (x) + (1-t) p (y) \ qquad \ forall \ x, y \ in X \ quad \ forall \ t \ in [0,1 ]

Este $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un subspatiu de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și fie $f:Y\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: Y \ to \ mathbb {R}}$ $f: Y \ to \ mathbb {R}$ o funcție liniară astfel încât:

f(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y

{\ displaystyle f (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y}

f (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y

Atunci există o funcție liniară $F:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle F: X \ to \ mathbb {R}}$ $F: X \ to \ mathbb {R}$ astfel încât:

F(x)=f(x)\qquad \forall \ x\in Y

{\ displaystyle F (x) = f (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y}

F (x) = f (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y

F(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in X

{\ displaystyle F (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în X}

F (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în X

Pentru a dovedi acest fapt, fie el $z\in X\setminus Y$ ${\ displaystyle z \ în X \ setminus Y}$ $z \ in X \ setminus Y$ și ia în considerare sub spațiul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ definit astfel:

Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}

{\ displaystyle Y_ {z} \ doteq \ left \ {y + az, \ y \ in Y, \ a \ in \ mathbb {R} \ right \}}

Y_ {z} \ doteq \ left \ {y + az, \ y \ in Y, \ a \ in \ mathbb {R} \ right \}

Se extinde $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ansamblu $Y_{z}$ ${\ displaystyle Y_ {z}}$ $Y_ {z}$ punând:

{\tilde {f}}(y+az)\doteq f(y)+a{\tilde {f}}(z)

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (y ​​+ az) \ doteq f (y) + a {\ tilde {f}} (z)}

{\ tilde f} (y + az) \ doteq f (y) + a {\ tilde f} (z)

unde este ${\tilde {f}}(z)$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} (z)}$ ${\ tilde f} (z)$ este un număr real care se determină în cele ce urmează. Functia ${\tilde {f}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ tilde f}$ este o extensie liniară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Lasă-i să fie acum $y_{1},y_{2}\in Y$ ${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2} \ în Y}$ $y_ {1}, y_ {2} \ în Y$ Și $a,b>0$ ${\ displaystyle a, b> 0}$ $a, b> 0$ . Avem:

f(ay_{1}+by_{2})=af(y_{1})+bf(y_{2})=(a+b)f\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leq

{\ displaystyle f (ay_ {1} + by_ {2}) = af (y_ {1}) + bf (y_ {2}) = (a + b) f \ left ({\ frac {a} {a + b}} y_ {1} + {\ frac {b} {a + b}} y_ {2} \ right) \ leq}

f (ay_ {1} + by_ {2}) = af (y_ {1}) + bf (y_ {2}) = (a + b) f \ left ({\ frac {a} {a + b}} y_ {1} + {\ frac {b} {a + b}} y_ {2} \ right) \ leq

(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=

{\ displaystyle (a + b) p \ left ({\ frac {a} {a + b}} y_ {1} + {\ frac {b} {a + b}} y_ {2} \ right) =}

(a + b) p \ left ({\ frac {a} {a + b}} y_ {1} + {\ frac {b} {a + b}} y_ {2} \ right) =

(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leq

{\ displaystyle (a + b) p \ left ({\ frac {a} {a + b}} (y_ {1} -bz) + {\ frac {b} {a + b}} (y_ {2} + az) \ dreapta) \ leq}

(a + b) p \ left ({\ frac {a} {a + b}} (y_ {1} -bz) + {\ frac {b} {a + b}} (y_ {2} + az) \ dreapta) \ leq

ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az)

{\ displaystyle ap (y_ {1} -bz) + bp (y_ {2} + az)}

ap (y_ {1} -bz) + bp (y_ {2} + az)

Prin urmare, se dovedește:

a\left(f(y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leq -b\left(f(y_{2})-p(y_{2}+az)\right)

{\ displaystyle a \ left (f (y_ {1}) - p (y_ {1} -bz) \ right) \ leq -b \ left (f (y_ {2}) - p (y_ {2} + az ) \ dreapta)}

a \ left (f (y_ {1}) - p (y_ {1} -bz) \ right) \ leq -b \ left (f (y_ {2}) - p (y_ {2} + az) \ right )

prin urmare:

{\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+f(y_{1})\right)\leq {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-f(y_{2})\right)\qquad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0

{\ displaystyle {\ frac {1} {b}} \ left (-p (y_ {1} -bz) + f (y_ {1}) \ right) \ leq {\ frac {1} {a}} \ left (p (y_ {2} + az) -f (y_ {2}) \ right) \ qquad \ forall \ y_ {1}, y_ {2} \ in Y, \ quad \ forall a, b> 0}

{\ frac {1} {b}} \ left (-p (y_ {1} -bz) + f (y_ {1}) \ right) \ leq {\ frac {1} {a}} \ left (p (y_ {2} + az) -f (y_ {2}) \ right) \ qquad \ forall \ y_ {1}, y_ {2} \ în Y, \ quad \ forall a, b> 0

Deci există $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ astfel încât:

\sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[-p(y-az)+f(y)\right]\right\}\leq c\leq \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-f(y)\right]\right\}

{\ displaystyle \ sup _ {a> 0, y \ în Y} \ left \ {{\ frac {1} {a}} \ left [-p (y-az) + f (y) \ right] \ right \} \ leq c \ leq \ inf _ {a> 0, y \ în Y} \ left \ {{\ frac {1} {a}} \ left [p (y + az) -f (y) \ right ] \ dreapta \}}

\ sup _ {{a> 0, y \ in Y}} \ left \ {{\ frac {1} {a}} \ left [-p (y-az) + f (y) \ right] \ right \ } \ leq c \ leq \ inf _ {{a> 0, y \ in Y}} \ left \ {{\ frac {1} {a}} \ left [p (y + az) -f (y) \ corect corect \}

Din această inegalitate se poate deduce că:

ac\leq p(y+az)-f(y)\qquad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R}

{\ displaystyle ac \ leq p (y + az) -f (y) \ qquad \ forall \ y \ în Y, \ quad \ forall \ a \ in \ mathbb {R}}

ac \ leq p (y + az) -f (y) \ qquad \ forall \ y \ in Y, \ quad \ forall \ a \ in \ mathbb {R}

Prin urmare, apare:

{\tilde {f}}(z)=c

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (z) = c}

{\ tilde f} (z) = c

Pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ și pentru fiecare $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ mathbb {R}$ rezultă:

{\tilde {f}}(y+az)=f(y)+ac\leq p(y+az)

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (y ​​+ az) = f (y) + ac \ leq p (y + az)}

{\ tilde f} (y + az) = f (y) + ac \ leq p (y + az)

acesta este:

{\tilde {f}}(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y_{z}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y_ {z}}

{\ tilde f} (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall \ x \ în Y_ {z}

Să fie acum $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ setul de extensii liniare $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât $e(x)\leq p(x)$ ${\ displaystyle e (x) \ leq p (x)}$ $e (x) \ leq p (x)$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând domeniului definiției $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ . Pentru punctul anterior $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un întreg non-banal.

Este definit în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ o relație de ordine spunând că $e_{1}\leq e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2}}$ $e_ {1} \ leq e_ {2}$ dacă domeniul de definiție al $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ este cuprins în domeniul de definiție al $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ Și $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ și $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ coincid cu domeniul definiției $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ .

Luați în considerare un subset arbitrar total ordonat de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , notat cu $U=\left\{e_{a},a\in A\right\}$ ${\ displaystyle U = \ left \ {e_ {a}, a \ in A \ right \}}$ $U = \ left \ {e_ {a}, a \ in A \ right \}$ , unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set arbitrar de indici, și așa să fie $X_{a}$ ${\ displaystyle X_ {a}}$ $X_ {a}$ domeniul de definire a $e_{a}\in U$ ${\ displaystyle e_ {a} \ în U}$ $e_ {a} \ în U$ . Se ridică $Y=\cup _{a\in A}X_{a}$ ${\ displaystyle Y = \ cup _ {a \ în A} X_ {a}}$ $Y = \ cup _ {{a \ in A}} X_ {a}$ Se dă $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ , este definit $e(y)=e_{b}(y)$ ${\ displaystyle e (y) = e_ {b} (y)}$ $e (y) = e_ {b} (y)$ , unde este $b\in A$ ${\ displaystyle b \ în A}$ $b \ în A$ este orice index al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $y\in X_{b}$ ${\ displaystyle y \ in X_ {b}}$ $y \ în X_ {b}$ . Definiția lui $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este bine plasat, ed $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este o extensie liniară a fiecăruia $e_{a}\in U$ ${\ displaystyle e_ {a} \ în U}$ $e_ {a} \ în U$ . De asemenea, se dovedește $e(x)\leq p(x)\ \forall x\in Y$ ${\ displaystyle e (x) \ leq p (x) \ \ forall x \ în Y}$ $e (x) \ leq p (x) \ \ forall x \ în Y$ .

Se deduce că $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este o limită superioară pentru $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Fiind $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un subset arbitrar total ordonat de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Lema lui Zorn implică faptul că există un element maxim de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ notat cu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Este ${\tilde {Y}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {Y}}}$ ${\ tilde Y}$ domeniul de definire a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Dacă arăți asta ${\tilde {Y}}=X$ ${\ displaystyle {\ tilde {Y}} = X}$ ${\ tilde Y} = X$ , teorema este dovedită.

Întregul ${\tilde {Y}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {Y}}}$ ${\ tilde Y}$ este un subspatiu al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Să presupunem, în mod absurd, că există $z\in X\setminus {\tilde {Y}}$ ${\ displaystyle z \ in X \ setminus {\ tilde {Y}}}$ $z \ în X \ setminus {\ tilde Y}$ . Aplicarea primului punct subspaiului:

{\tilde {Y}}_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in {\tilde {Y}},\ a\in \mathbb {R} \right\}

{\ displaystyle {\ tilde {Y}} _ {z} \ doteq \ left \ {y + az, \ y \ in {\ tilde {Y}}, \ a \ in \ mathbb {R} \ right \}}

{\ tilde {Y}} _ {z} \ doteq \ left \ {y + az, \ y \ in {\ tilde Y}, \ a \ in \ mathbb {R} \ right \}

se poate construi o extensie non-banală a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ care, pentru proprietățile dovedite în primul punct, contrazice maximitatea lui $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . De aici și absurdul care încheie dovada.

Urmări

Există câteva consecințe importante ale teoremei care sunt uneori numite și „teorema Hahn-Banach”:

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu normat cu subspațiu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ (nu neapărat închis) și dacă $\Phi :U\to K$ ${\ displaystyle \ Phi: U \ to K}$ $\ Phi: U \ to K$ este liniar și continuu, apoi există o extensie $\Psi :V\to K$ ${\ displaystyle \ Psi: V \ to K}$ $\ Psi: V \ to K$ din $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ care este și liniar și continuu și care are aceeași normă ca $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ .
De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu normat cu sub spațiul U (nu neapărat închis) și dacă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este un element al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care nu este cuprins în închiderea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , apoi există o aplicație liniară și continuă $\Psi :V\to K$ ${\ displaystyle \ Psi: V \ to K}$ $\ Psi: V \ to K$ cu $\Psi (x)=0$ ${\ displaystyle \ Psi (x) = 0}$ $\ Psi (x) = 0$ pentru fiecare $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ , $\Psi (z)=1$ ${\ displaystyle \ Psi (z) = 1}$ $\ Psi (z) = 1$ , Și $\|\Psi \|=\|z\|^{-1}$ ${\ displaystyle \ | \ Psi \ | = \ | z \ | ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ | \ Psi \ | = \ | z \ | ^ {- 1}}$ .

Proiectul Mizar a formalizat complet și a verificat automat dovada teoremei Hahn - Banach în fișierul HAHNBAN .

Forme geometrice

Teorema Hahn-Banach are două corolari importanți, cunoscuți și ca prima și a doua formă geometrică, a căror formulare necesită câteva noțiuni preliminare. Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vector normat pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și fie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ mathbb {R}$ ofuncțională liniară continuă diferită de zero. Dat $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ mathbb {R}$ , întregul:

H\doteq \left\{x\in X:f(x)=a\right\}

{\ displaystyle H \ doteq \ left \ {x \ în X: f (x) = a \ right \}}

H \ doteq \ left \ {x \ în X: f (x) = a \ right \}

se spune hiperplan în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ecuaţie $f=a$ ${\ displaystyle f = a}$ $f = a$ . Având în vedere două subseturi $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu gol și disjunct, se spune hiperplanul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ separă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă rezultă:

f(x)\leq a\qquad \forall \ x\in A

{\ displaystyle f (x) \ leq a \ qquad \ forall \ x \ în A}

f (x) \ leq a \ qquad \ forall \ x \ în A

Și:

f(x)\geq a\qquad \forall \ x\in B

{\ displaystyle f (x) \ geq a \ qquad \ forall \ x \ în B}

f (x) \ geq a \ qquad \ forall \ x \ în B

Se spune că hiperplanul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ separă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ strict vorbind dacă există un număr $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel încât:

f(x)\leq a-\varepsilon \qquad \forall \ x\in A

{\ displaystyle f (x) \ leq a- \ varepsilon \ qquad \ forall \ x \ în A}

f (x) \ leq a- \ varepsilon \ qquad \ forall \ x \ în A

Și:

f(x)\geq a+\varepsilon \qquad \forall \ x\in B

{\ displaystyle f (x) \ geq a + \ varepsilon \ qquad \ forall \ x \ în B}

f (x) \ geq a + \ varepsilon \ qquad \ forall \ x \ în B

Prin urmare, urmează următoarele corolații ale teoremei Hahn-Banach.

Prima formă geometrică a teoremei Hahn-Banach

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vector normat pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ două subseturi non-goale, convexe și disjuncte ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și să presupunem că cel puțin unul dintre ele este deschis . Apoi există un hiperplan de ecuație $f=a$ ${\ displaystyle f = a}$ $f = a$ care separă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

A doua formă geometrică a teoremei Hahn-Banach

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vector normat pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ două subseturi închise, ne-goale, convexe și disjuncte ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și să presupunem că cel puțin unul dintre ele este compact . Apoi există un hiperplan de ecuație $f=a$ ${\ displaystyle f = a}$ $f = a$ care separă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ strict vorbind.

Notă

^ W. Rudin , pagina 105 .
^ Reed, Simon , Pagina 75 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn-Banach Theorem: The Life and Times , Topology and its Applications, Volumul 77, ediția a 2-a (3 iunie 1997) Pagini 193-211. O preimprimare online este disponibilă aici

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA. VV., Teorema Hahn-Banach , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 105 .

[2] Reed, Simon , Pagina 75 .

[1]

[2]