Funcție liniară

Exemplu de funcții liniare

În matematică , o funcție liniară înseamnă:

În calcul , o funcție polinomială de grad zero sau unu. ^[1]
În algebră liniară și analiză funcțională , o transformare liniară . ^[2]

Funcția polinomială

La introducerea calculului și la tratarea funcțiilor polinomiale , o funcție a unei variabile reale se numește de obicei funcție liniară $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu valori reale ale formei:

f(x)=mx+c,

{\ displaystyle f (x) = mx + c,}

{\ displaystyle f (x) = mx + c,}

cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ constante reale. De sine $m>0,$ ${\ displaystyle m> 0,}$ ${\ displaystyle m> 0,}$ funcția este strict în creștere; de sine $m<0,$ ${\ displaystyle m <0,}$ ${\ displaystyle m <0,}$ funcția este strict descrescătoare. Aceste funcții sunt afișate în plan cartezian, denumite două axe ortogonale drept linii de ecuație:

y=mx+c.

{\ displaystyle y = mx + c.}

{\ displaystyle y = mx + c.}

Constanta $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în schimb se numește coeficient unghiular , panta sau gradient $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ se numește interceptarea cu axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . De fapt, linia intersectează axa $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$ în sens $(0,c)$ ${\ displaystyle (0, c)}$ ${\ displaystyle (0, c)}$ ; linia intersectează și axa $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ în sens $(-{\tfrac {c}{m}},0)$ ${\ displaystyle (- {\ tfrac {c} {m}}, 0)}$ ${\ displaystyle (- {\ tfrac {c} {m}}, 0)}$ , așa cum se obține prin impunere $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ și rezolvarea ecuației $0=mx+c$ ${\ displaystyle 0 = mx + c}$ ${\ displaystyle 0 = mx + c}$ ; când însă $m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ ${\ displaystyle m = 0}$ linia este orizontală și se poate spune că „întâlnește” axa $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ numai la infinit (pentru a formaliza în mod corespunzător această idee este necesar să se introducă planul proiectiv ).

Exemple

{\begin{aligned}f(x)&=2x+1,\qquad &&(m=2;\ c=1);\\f(x)&=x,\qquad &&(m=1;\ c=0);\\f(x)&=9,\qquad &&(m=0;\ c=9);\\f(x)&=-3x+4,\qquad &&(m=-3;\ c=4).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = 2x + 1, \ qquad && (m = 2; \ c = 1); \\ f (x) & = x, \ qquad && (m = 1 ; \ c = 0); \\ f (x) & = 9, \ qquad && (m = 0; \ c = 9); \\ f (x) & = - 3x + 4, \ qquad && (m = -3; \ c = 4). \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = 2x + 1, \ qquad && (m = 2; \ c = 1); \\ f (x) & = x, \ qquad && (m = 1 ; \ c = 0); \\ f (x) & = 9, \ qquad && (m = 0; \ c = 9); \\ f (x) & = - 3x + 4, \ qquad && (m = -3; \ c = 4). \ End {align}}}

Se observă că as $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ începând de la 0, linia dreaptă se rotește în sens invers acelor de ceasornic de la orizontală mărindu-și panta, presupunând în schimb a $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ valori negative linia se rotește în sensul acelor de ceasornic. Schimbarea constantei $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ linia se deplasează în sus sau în jos, respectiv cu creșterea sau descreșterea lui $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ începând de la 0.

Generalizări

Definiția de mai sus se poate extinde la funcțiile a două sau mai multe variabile reale sau complexe. De exemplu prin funcția liniară a două variabile reale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la valori reale ne referim la o funcție a formei:

f(x,y)=mx+ny+c.

{\ displaystyle f (x, y) = mx + ny + c.}

{\ displaystyle f (x, y) = mx + ny + c.}

În spațiul tridimensional menționat la o triada orteză carteziană este afișat ca un plan care intersectează axa verticală $SAU z$ ${\ displaystyle Oz}$ ${\ displaystyle Oz}$ în sens $(0,0,c)$ ${\ displaystyle (0,0, c)}$ ${\ displaystyle (0,0, c)}$ , axa $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ în $(-{\tfrac {c}{m}},0,0)$ ${\ displaystyle (- {\ tfrac {c} {m}}, 0,0)}$ ${\ displaystyle (- {\ tfrac {c} {m}}, 0,0)}$ , sau infinit dacă $m=0,$ ${\ displaystyle m = 0,}$ ${\ displaystyle m = 0,}$ și axa $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$ în $(0,-{\tfrac {c}{n}},0)$ ${\ displaystyle (0, - {\ tfrac {c} {n}}, 0)}$ ${\ displaystyle (0, - {\ tfrac {c} {n}}, 0)}$ , sau infinit dacă $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ .

Transformarea liniară

Același subiect în detaliu: Transformarea liniară .

Prin transformare liniară (sau aplicație liniară), definită de obicei într-un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , ne referim la o funcție care îndeplinește cele două proprietăți:

f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad \forall x,y\in V,

{\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), \ qquad \ forall x, y \ in V,}

{\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), \ qquad \ forall x, y \ in V,}

f(ax)=af(x),\qquad \forall a\in K,\quad \forall x\in V,

{\ displaystyle f (ax) = af (x), \ qquad \ forall a \ in K, \ quad \ forall x \ in V,}

{\ displaystyle f (ax) = af (x), \ qquad \ forall a \ in K, \ quad \ forall x \ in V,}

respectiv de aditivitate și omogenitate.

În mod echivalent, putem cere:

f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2}),\qquad \forall x_{1},x_{2}\in V,\quad \forall a_{1},a_{2}\in K.

{\ displaystyle f (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) = a_ {1} f (x_ {1}) + a_ {2} f (x_ {2}), \ qquad \ forall x_ {1}, x_ {2} \ in V, \ quad \ forall a_ {1}, a_ {2} \ in K.}

{\ displaystyle f (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) = a_ {1} f (x_ {1}) + a_ {2} f (x_ {2}), \ qquad \ forall x_ {1}, x_ {2} \ in V, \ quad \ forall a_ {1}, a_ {2} \ in K.}

În această definiție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ pot fi elemente arbitrare ale unui spațiu vectorial pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sau chiar elemente arbitrare ale unui modul pe un inel comutativ $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la rândul său are ca codominio un spațiu vectorial sau un modul. Funcțiile văzute mai sus se pot adapta, de asemenea, la această definiție, deoarece au spații vectoriale ca domeniu și interval ca $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ .

Pentru funcția considerată inițial

f(x)=mx+c

{\ displaystyle f (x) = mx + c}

{\ displaystyle f (x) = mx + c}

cei doi membri ai egalității sunt

m(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})+c\qquad {\text{e}}\qquad a_{1}(mx_{1}+c)+a_{2}(mx_{2}+c)

{\ displaystyle m (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) + c \ qquad {\ text {e}} \ qquad a_ {1} (mx_ {1} + c) + a_ {2} (mx_ {2} + c)}

{\ displaystyle m (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) + c \ qquad {\ text {e}} \ qquad a_ {1} (mx_ {1} + c) + a_ {2} (mx_ {2} + c)}

și acestea sunt aceleași dacă și numai dacă $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ .

Prin urmare, termenul "funcție liniară" este utilizat cu două semnificații diferite. Pentru prima noțiune introdusă aici, termenul funcție afină ar fi de preferat, dar obiceiul definiției cele mai comune este adânc înrădăcinat.

Exemple

{\begin{aligned}f(x)&=x;\\f(x)&=-5x;\\f(x)&=(4x,0,-x);\\f(x,y)&=3x+7y;\\f(x,y)&=(x-4y,2x,9x+2y).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = x; \\ f (x) & = - 5x; \\ f (x) & = (4x, 0, -x); \\ f (x , y) & = 3x + 7y; \\ f (x, y) & = (x-4y, 2x, 9x + 2y). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = x; \\ f (x) & = - 5x; \\ f (x) & = (4x, 0, -x); \\ f (x , y) & = 3x + 7y; \\ f (x, y) & = (x-4y, 2x, 9x + 2y). \ end {align}}}

Notă

^ Stewart 2012, p. 23
^ Shores 2007, p. 71

Bibliografie

( EN ) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra , Interscience Publishers, Inc., New York. Reeditat de Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
( EN ) Thomas S. Shores (2007), Algebra liniară aplicată și analiza matricială , Texte de licență în matematică, Springer. ISBN 0-387-33195-6
(EN) James Stewart (2012), Calcul: Early Transcendentals, ediția 7E, Brooks / Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
( EN ) Leonid N. Vaserstein (2006), „Linear Programming”, în Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra , Discrete Mathematics and its Applications, Chapman and Hall / CRC, cap. 50. ISBN 1-584-88510-6

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcția liniară

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Funcția liniară , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4744418-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Stewart 2012, p. 23

[2] Shores 2007, p. 71

[1]

[2]