Inel comutativ

În algebră , un inel comutativ este un inel în care multiplicarea este comutativă . Cu alte cuvinte, dacă a și b sunt elemente ale inelului, atunci a × b = b × a .

Multe structuri utilizate în matematică se dovedesc a fi inele comutative; ramura algebrei care studiază aceste obiecte este în general notată prin algebră comutativă .

Exemple

Cel mai important exemplu este inelul de numere întregi Z.
Un câmp este un caz special al unui inel comutativ; de exemplu, câmpurile Q , R , C ale numerelor raționale , reale și respectiv complexe sunt inele comutative.
Mulțimea A [ x ] a polinoamelor cu variabile x și coeficienți într-un inel comutativ A formează un inel comutativ cu suma obișnuită și operațiile produsului dintre polinoame.
Setul F ( X , A ) al funcțiilor de la orice set X la un inel comutativ A formează un alt inel comutativ cu suma obișnuită și operațiile produsului între funcții, definite după cum urmează:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ ${\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x)}$ $(f + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x)$
Fiecare grup ciclic este de fapt un inel comutativ.
Mulțimea A [[ x ]] a seriei cu coeficienți într-un inel comutativ A formează un inel comutativ.

Inele necomutative

Un inel necomutativ este un inel în care există cel puțin două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât $ab\neq ba$ ${\ displaystyle ab \ neq ba}$ $ab \ neq ba$ . De exemplu:

M inel (n, A) a n x n matricele cu coeficienți într - un inel A este , în general , nu comutativ, chiar dacă A este. De exemplu, printre matricile reale 2 x 2 avem

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 \ \ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}}, \ quad {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ cdot { \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}.}

{\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \ \\ end {bmatrix}}, \ quad {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin { bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}.

Proprietate

Un element a care împarte zero (adică diferit de 0 și astfel încât să existe b diferit de 0, cu ab = 0) se numește divizor zero . Un inel comutativ cu unitate și fără divizor de zero se numește domeniu de integritate : inelul: Z , Q , R și C sunt domenii de integritate. Domeniile de integritate sunt inele cu proprietăți similare cu cele ale lui Z.

linkuri externe

( EN ) Inel comutativ , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21032 · LCCN (EN) sh85029269 · GND (DE) 4164825-0 · BNF (FR) cb13163192g (dată) · NDL (EN, JA) 00.564.708

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică