Grup ciclic

În matematică , mai exact în teoria grupurilor, un grup ciclic este un grup care poate fi generat dintr-un singur element.

Un astfel de grup este izomorf pentru grup $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ din restul claselor modulo $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , sau către grup $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi . Prin urmare, grupurile ciclice sunt printre cele mai simple și sunt complet clasificate.

Definiție

Un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este ciclic dacă există un element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a grupului (numit generator ) astfel încât $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este ansamblul puterilor lui $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ exponent întreg, în simboluri

G=\{g^{n}:n\in \mathbb {Z} \}.

{\ displaystyle G = \ {g ^ {n}: n \ in \ mathbb {Z} \}.}

G = \ {g ^ {n}: n \ in {\ mathbb {Z}} \}.

Suntem aici folosind notația multiplicativă. Când folosim notația aditivă, în loc de puteri vorbim de multipli, deci în simboluri

G=\{ng:n\in \mathbb {Z} \}.

{\ displaystyle G = \ {ng: n \ in \ mathbb {Z} \}.}

G = \ {ng: n \ in {\ mathbb {Z}} \}.

De exemplu, dacă

G=\{e,g^{1},g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\},

{\ displaystyle G = \ {e, g ^ {1}, g ^ {2}, g ^ {3}, g ^ {4}, g ^ {5} \},}

G = \ {e, g ^ {1}, g ^ {2}, g ^ {3}, g ^ {4}, g ^ {5} \},

asa de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este ciclic.

Cu alte cuvinte, $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ coincide cu subgrupul $\left\langle g\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle g \ right \ rangle}$ $\ left \ langle g \ right \ rangle$ generat de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Prin urmare, obișnuim să scriem $G=\left\langle g\right\rangle$ ${\ displaystyle G = \ left \ langle g \ right \ rangle}$ $G = \ left \ langle g \ right \ rangle$ sau $G=[g]$ ${\ displaystyle G = [g]}$ $G = [g]$ .

Exemple

Cursuri de odihnă

Următorul exemplu, oferit de aritmetica modulară , este fundamental.

Atâta timp cât $n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}$ $n {\ mathbb {Z}}$ este un subgrup normal de $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de index $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , grupul coeficientului $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ este un grup comutativ terminat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, pe care le putem scrie $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots, n-1 \}}$ $\ {0,1,2, \ dots, n-1 \}$ . Suma a două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este restul diviziunii $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Deoarece fiecare element este scris ca $n=1+\dots +1$ ${\ displaystyle n = 1 + \ dots +1}$ $n = 1 + \ dots +1$ (adăugat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori), numărul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ el este generatorul grupului. Prin urmare $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ este un grup ciclic.

Când nu există confuzie cu numerele p-adic , se folosește notația mai strictă $\mathbb {Z} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {n}$ in loc de $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ .

Alte exemple

Numerele întregi $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ sunt un grup ciclic de ordine infinită.
Rotațiile planului cartezian care sunt simetriile unui poligon regulat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile centrate în origine formează un grup ciclic de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .
Rădăcinile n- ale unității din planul complex formează un grup ciclic de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ prin multiplicare.
Grupul Galois al oricărei extensii finite a unui câmp finit este finit și ciclic.
Având în vedere un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și un element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , subgrupul $\langle g\rangle$ ${\ displaystyle \ langle g \ rangle}$ $\ langle g \ rangle$ generat de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este un grup ciclic.

Proprietățile grupurilor ciclice

Grup Abelian

Un grup ciclic este Abelian .

Clasificare

Un grup ciclic $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente este izomorfă pentru grup $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ din restul claselor modulo $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este finit și izomorf pentru grup $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este infinit.

Izomorfismul poate fi construit în felul următor. Functia $\mathbb {Z} \to G$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to G}$ ${\ mathbb {Z}} \ to G$ care trimite întregul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ in putere $g^{i}$ ${\ displaystyle g ^ {i}}$ $g ^ {i}$ a generatorului $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un homomorfism al grupurilor surjective . De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este infinit, funcția este și injectivă, deci un izomorfism. Dacă în schimb $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este terminat, din funcțiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , nucleul funcției este $n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}$ $n {\ mathbb {Z}}$ iar prima teoremă a izomorfismului oferă un izomorfism $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to G$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ to G}$ ${\ mathbb {Z}} / n {\ mathbb {Z}} \ la G$ .

Ordin

După cum s-a scris mai sus, un grup ciclic este identificat, cu excepția izomorfismului, prin ordinea sa $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ o grupare ciclică finită, cu generator $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . În acest caz, ordinea este numărul întreg pozitiv minim $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât $a^{n}=e$ ${\ displaystyle a ^ {n} = e}$ $a ^ {n} = e$ . Mai general, $a^{m}=e$ ${\ displaystyle a ^ {m} = e}$ $a ^ {m} = e$ dacă și numai dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este un multiplu al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pentru orice alt element $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din grup, relația este încă valabilă $b^{n}=e$ ${\ displaystyle b ^ {n} = e}$ $b ^ {n} = e$ .

Generatoare

Elementul $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este generator de $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ dacă și numai dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este coprimo cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Așa că sunt $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ generatori distincti într-un grup ciclic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, unde $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este funcția lui Euler φ .

Subgrupuri

Fiecare subgrup și fiecare grup coeficient al unui grup ciclic este ciclic.

De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este ciclic de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ atunci există un singur subgrup ciclic de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

Produse din grupe ciclice

Produsul direct al a două grupuri ciclice de ordine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ are ordine $p q$ ${\ displaystyle pq}$ $pq$ și este ciclic dacă și numai dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt coprimă .

Pe de altă parte, teorema fundamentală pentru grupurile abeliene generate finit afirmă că fiecare grup abelian generat finit este un produs al grupărilor ciclice.

Grupuri cu elemente p

De sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim, orice grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente este izomorfă pentru $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ . Cu alte cuvinte, fiecare grup cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente este izomorfă pentru un grup ciclic.

Un astfel de grup posedă doar cele două subgrupuri banale $\{e\}$ ${\ displaystyle \ {e \}}$ $\{Și\}$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ la fel.

Structura inelului Z / n Z

Inel

Subgrupul $n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ mathbb {Z}}$ $n {\ mathbb {Z}}$ este, de asemenea, un ideal în inelul comutativ $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , și apoi $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ moștenește și o structură inelară comutativă . Cu alte cuvinte, putem face produsul din două numere: produsul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este restul diviziunii $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este primul, inelul $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ este într-adevăr un câmp . De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu este prim, avem $n=ab$ ${\ displaystyle n = ab}$ $n = ab$ pentru unii $a,b<n$ ${\ displaystyle a, b <n}$ $a, b <n$ . Această relație în grup devine $ab=0$ ${\ displaystyle ab = 0}$ $ab = 0$ : prin urmare, inelul nu este un domeniu de integritate și, prin urmare, a fortiori nu poate fi un câmp.

Grup de unități

Unitățile inelului $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ sunt numerele prime cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , adică generatorii grupului. Ei formează un grup cu înmulțirea, a $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ elemente (a se vedea mai sus), denumite în general $\mathbb {Z} _{n}^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} ^ {*}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {n} ^ {*}$ .

De exemplu, grupuri $\mathbb {Z} _{6}^{*}=\{1,5\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} ^ {*} = \ {1,5 \}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {6} ^ {*} = \ {1,5 \}$ Și $\mathbb {Z} _{8}^{*}=\{1,3,5,7\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8} ^ {*} = \ {1,3,5,7 \}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {8} ^ {*} = \ {1,3,5,7 \}$ sunt izomorfe respectiv a $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}}$ Și $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}} \ times {\ mathbb {Z}} / 2 {\ mathbb {Z}}$ .

În general, $\mathbb {Z} _{n}^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} ^ {*}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {n} ^ {*}$ este ciclic dacă și numai dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ sau $2p^{k}$ ${\ displaystyle 2p ^ {k}}$ $2p ^ {k}$ unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este primul ciudat și $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ $k \ geq 1$ .

În special, grupul $\mathbb {Z} _{p}^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {*}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {p} ^ {*}$ este ciclic cu $p-1$ ${\ displaystyle p-1}$ $p-1$ elemente pentru fiecare prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Mai general, fiecare subgrup finit al grupului multiplicativ al unui câmp este ciclic.

Bibliografie

Serge Lang, capitolul I §4 , în Algebra , ediția a III-a, Springer, 2002.

Elemente conexe

grupa diedru

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică