Endomorfismul lui Frobenius

În algebra abstractă , endomorfismul lui Frobenius este un homomorfism special al inelelor , definit doar pentru inelele cu o caracteristică pozitivă. Acesta poartă numele lui Ferdinand Georg Frobenius . Definiția sa se bazează pe o teoremă care afirmă că:

De sine

LA

${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel comutativ cu caracteristică

p

${\ displaystyle p}$ $p$ , cu

p

${\ displaystyle p}$ $p$ numărul prim , atunci

(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}

${\ displaystyle (a + b) ^ {p} = a ^ {p} + b ^ {p}}$ $(a + b) ^ {p} = a ^ {p} + b ^ {p}$ , pentru fiecare

la

${\ displaystyle a}$ $la$ Și

b

${\ displaystyle b}$ $b$ aparținând

LA

${\ displaystyle A}$ $LA$ .

adică cererea

F(a)=a^{p}

{\ displaystyle F (a) = a ^ {p}}

F (a) = a ^ {p}

păstrați operațiunea sumă. La urma urmei, satisface și proprietățile $F(ab)=F(a)F(b)$ ${\ displaystyle F (ab) = F (a) F (b)}$ $F (ab) = F (a) F (b)$ Și $F(1)=1$ ${\ displaystyle F (1) = 1}$ $F (1) = 1$ , prin urmare este caracterizat ca un endomorfism al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în sine și de aceea se numește endomorfism Frobenius .

Dovada teoremei

Pentru teorema binomului, ea susține că

(a+b)_{}^{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a^{p-k}b^{k}

{\ displaystyle (a + b) _ {} ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} {p \ alege k} a ^ {pk} b ^ {k}}

{\ displaystyle (a + b) _ {} ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} {p \ alege k} a ^ {p-k} b ^ {k}}

Dar dacă ${\displaystyle 0<k<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 0 <k <p}$ $0 <k <p$ , coeficientul ${p \choose k}$ ${\ displaystyle {p \ choose k}}$ ${p \ alege k}$ conține factorul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și deci în caracteristică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este egal cu 0. Prin urmare, rămân doar termenii finali ai expansiunii, adică $a^{p}$ ${\ displaystyle a ^ {p}}$ $a ^ {p}$ Și $b^{p}$ ${\ displaystyle b ^ {p}}$ $b ^ {p}$ .

Exemple

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel cu caracteristica 2:
$(3+2)^{2}=5^{2}=25$ ${\ displaystyle (3 + 2) ^ {2} = 5 ^ {2} = 25}$ $(3 + 2) ^ {2} = 5 ^ {2} = 25$ Și $3^{2}+2^{2}=9+4=13$ ${\ displaystyle 3 ^ {2} + 2 ^ {2} = 9 + 4 = 13}$ $3 ^ {2} + 2 ^ {2} = 9 + 4 = 13$
Fiind un inel cu caracteristica 2, pentru proprietățile aritmeticii modulare avem:
$25\mod 2=13\mod 2=1$ ${\ displaystyle 25 \ mod 2 = 13 \ mod 2 = 1}$ $25 \ mod 2 = 13 \ mod 2 = 1$
Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel cu caracteristica 3:
$(4+3)^{3}=7^{3}=343$ ${\ displaystyle (4 + 3) ^ {3} = 7 ^ {3} = 343}$ $(4 + 3) ^ {3} = 7 ^ {3} = 343$ Și $4^{3}+3^{3}=64+27=91$ ${\ displaystyle 4 ^ {3} + 3 ^ {3} = 64 + 27 = 91}$ $4 ^ {3} + 3 ^ {3} = 64 + 27 = 91$
Fiind un inel cu caracteristica 3, pentru proprietățile aritmeticii modulare avem:
$343\mod 3=91\mod 3=1$ ${\ displaystyle 343 \ mod 3 = 91 \ mod 3 = 1}$ $343 \ mod 3 = 91 \ mod 3 = 1$

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică