Grup unitar

Grupul unitar U ( n ) este mulțimea matricilor unitare n × n cu operația demultiplicare între matrice . Este un subgrup de $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C})}$ , adică grupul liniar general al matricilor complexe inversabile .

Subsetul acestuia care include numai matrici cu determinantul 1 este grupul unitar special , notat cu SU ( n ).

U ( n ) este un grup Lie de dimensiunea n ² .

Dacă n = 1, atunci U ( n ) este pur și simplu setul de numere complexe cu norma egală cu 1. Pentru n > 1, grupul nu este însă comutativ; centrul său este mulțimea aI , unde I este matricea de identitate de ordinul n și a este orice scalar a cărui normă este egală cu 1.

Grupul U (1) este izomorf pentru grupul circular .

Matricea unitară

Același subiect în detaliu: matricea unității .

În matematică , o n × n matrice unitară este un complex matrice U care satisface condiția:

U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I_ {n}}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I_ {n}}

unde este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este matricea identității $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Și $U^{\dagger }$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ este transpunerea conjugată (adică adăugarea hermitiană) a $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Rețineți că egalitatea de mai sus este echivalentă cu a spune că o matrice $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este unitar dacă are un invers egal cu conjugatul său transpus $U^{\dagger }$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ .

O matrice unitară care are toate intrările reale este o matrice ortogonală .

Grup unitar special

Același subiect în detaliu: Grup unitar special .

În matematică , grupul unitar special de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , abreviat SU ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), este grupul de $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ matrici unitare cu determinant unitar . Operația din cadrul grupului corespunde multiplicării între matrice . Grupul special unitar este un subgrup al grupului unitar U ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), care include toate matricile unitare $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , care este el însuși un subgrup al grupului liniar general GL ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , C ).

Cel mai simplu caz, SU (1), este un grup trivial , adică conține un singur element. Grupul SU (2) este izomorf în raport cu grupul cuaternionilor cu valoare absolută egală cu 1 și, prin urmare, este difeomorf în raport cu o sferă în patru dimensiuni (definită ca 3-sfere ). Deoarece cuaternionele unitare pot fi utilizate pentru a reprezenta rotații în spațiul tridimensional (până la semn), homeomorfismul este surjectiv de la SU (2) până la grupul ortogonal special SO (3) al cărui nucleu este {+ $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , - $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ }.

Bibliografie

(EN) Halzen, Francis; Martin, Alan, Quarks & Leptons: Un curs introductiv în fizica modernă a particulelor , John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2 .
( EN ) Jean Dieudonné (1977): Tratat de analiză. Volumul V: Grupuri de minciuni compacte și grupuri de minciuni semisimple , Academic Press, ISBN 0-12-215505-X
( EN ) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Grupuri Lie și algebre Lie , Springer, ISBN 3-540-50218-1

Elemente conexe

linkuri externe

Subgrupuri maxime de grupuri de minciuni compacte , pe arxiv.org .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema