Grup unitar special

În matematică , grupul unitar special de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prescurtat cu $SU(n)$ ${\ displaystyle SU (n)}$ ${\ displaystyle SU (n)}$ sau cu $SL_{n}(\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle SL_ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle SL_ {n} (\ mathbb {C})}$ , este grupul matricilor unitare $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ cu determinant $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Operația din cadrul grupului corespunde multiplicării între matrice . Grupul special unitar este un subgrup al grupului unitar $U(n)$ ${\ displaystyle U (n)}$ ${\ displaystyle U (n)}$ , care include toate matricile unitare (determinantul 1 în modul) $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , care este el însuși un subgrup al grupului liniar general $GL(n,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$ .

Cel mai simplu caz, adică $SU(1)$ ${\ displaystyle SU (1)}$ ${\ displaystyle SU (1)}$ , este un grup banal , adică conține un singur element. Grupul $SU(2)$ ${\ displaystyle SU (2)}$ ${\ displaystyle SU (2)}$ este izomorf în ceea ce privește grupul de cuaternioni cu valoare absolută egală cu 1 și, prin urmare, este diferit de sfera în patru dimensiuni (definite ca 3-sfere ). Deoarece cuaternionele unitare pot fi utilizate pentru a reprezenta rotații în spațiul tridimensional (cu excepția cazului în semn), homeomorfismul este surjectiv din $SU(2)$ ${\ displaystyle SU (2)}$ ${\ displaystyle SU (2)}$ pe grupul ortogonal special SO (3) al cărui nucleu este {+ $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , - $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ }.

Proprietate

Grupul special unitar $SU(n)$ ${\ displaystyle SU (n)}$ ${\ displaystyle SU (n)}$ este un grup Lie de dimensiune $n^{2}-1$ ${\ displaystyle n ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle n ^ {2} -1}$ . Topologic , este compact și pur și simplu conectat. Din punct de vedere algebric , este un grup Lie simplu (adică algebra sa este „simplă”). Centrul de $SU(n)$ ${\ displaystyle SU (n)}$ ${\ displaystyle SU (n)}$ este izomorfă pentru gruparea ciclică Z _n . Grupul său de automorfisme externe , pentru $n\geq 3$ ${\ displaystyle n \ geq 3}$ ${\ displaystyle n \ geq 3}$ , este Z ₂ , în timp ce cel al lui $SU(2)$ ${\ displaystyle SU (2)}$ ${\ displaystyle SU (2)}$ este grupul banal.

Generatoare

SUS (2)

Pentru SU (2), generatoarele sunt proporționale cu matricile Pauli

\sigma _{1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {3} = {\ frac {1} {2} } {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {3} = {\ frac {1} {2} } {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}

SUS (3)

Analogul matricilor Pauli pentru SU (3) sunt matricile Gell-Mann :

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {6} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {6} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {7} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {7} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {8} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {8} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {pmatrix}}}$

Generatoarele SU (3) T sunt definite de relație

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}.

{\ displaystyle T_ {a} = {\ frac {\ lambda _ {a}} {2}}.}

{\ displaystyle T_ {a} = {\ frac {\ lambda _ {a}} {2}}.}

Acestea satisfac relațiile

$\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}$ ${\ displaystyle \ left [T_ {a}, T_ {b} \ right] = i \ sum _ {c = 1} ^ {8} {f_ {abc} T_ {c}}}$ ${\ displaystyle \ left [T_ {a}, T_ {b} \ right] = i \ sum _ {c = 1} ^ {8} {f_ {abc} T_ {c}}}$

unde f este o constantă de structură care se menține

f^{123}=1

{\ displaystyle f ^ {123} = 1}

{\ displaystyle f ^ {123} = 1}

f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}

{\ displaystyle f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = {\ frac {1} {2}}}

f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

{\ displaystyle f ^ {458} = f ^ {678} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

{\ displaystyle f ^ {458} = f ^ {678} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

$\operatorname {tr} (T_{a})=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (T_ {a}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (T_ {a}) = 0}$

Algebra minciunii

Algebra Lie care corespunde $\mathrm {SU} (n)$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$ este de obicei notat cu ${\mathfrak {su}}(n)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$ și este alcătuit din matrice complexe anti-hermitiene $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ zero zero , cu un produs Lie care este comutatorul normal. Este important de reținut că aceasta este o algebră Lie reală și necomplexă, conform convenției folosite de matematicieni . În fizica particulelor , pe de altă parte, factorul este adesea inserat $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ( unitatea imaginară ), obținându-se astfel un echivalent algebric al matricelor hermitiene. De exemplu

i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {bmatrix}}}

i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {y} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {y} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {z} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle i \ sigma _ {z} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {bmatrix}}}

sunt matrici utilizate în mecanica cuantică de la o bază pentru ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$ pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Această reprezentare găsește diverse aplicații în mecanica cuantică, de exemplu în matricile Pauli și Gell-Mann , pentru descrierea rotirilor particulelor fundamentale, cum ar fi electronii . Ele sunt indispensabile, ca versori , pentru reprezentarea matematică a celor trei dimensiuni spațiale în relativitatea cuantică.

Trebuie remarcat faptul că produsul oricăror două generatoare diferite este el însuși un generator și că fiecare este anti-comutare . Împreună cu matricea identității (înmulțită cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ),

iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}

{\ displaystyle iI_ {2} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle iI_ {2} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \ end {bmatrix}}}

acești generatori generează și algebră Lie ${\mathfrak {u}}(2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (2)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (2)}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică