Matricea unitară

În matematică , o matrice unitară este o matrice pătrată complexă $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ care îndeplinește condiția:

U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea de identitate e $U^{\dagger }$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$ este matricea de transpunere conjugată a $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Definiția este echivalentă cu a spune că o matrice $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este unitar dacă este inversabil și invers $U^{-1}$ ${\ displaystyle U ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle U ^ {- 1}}$ este egal cu conjugatul său de transpunere:

U^{-1}=U^{\dagger }

{\ displaystyle U ^ {- 1} = U ^ {\ dagger}}

{\ displaystyle U ^ {- 1} = U ^ {\ dagger}}

O matrice este, de asemenea, unitară dacă este o matrice normală cu valori proprii pe circumferința unității sau dacă este o izometrie în raport cu norma obișnuită. O matrice unitară care are toate elementele reale este o matrice ortogonală .

Matricile unitare reprezintă operatorii unitari pe spații Hilbert cu dimensiuni finite (deci constituie un caz particular).

Proprietate

Matricile unitare îndeplinesc următoarele proprietăți:

Fiecare matrice unitară $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ satisface egalitatea:

\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle

{\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = \ langle x, y \ rangle}

{\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = \ langle x, y \ rangle}

pentru toți vectorii complexi

X

{\ displaystyle x}

X

Și

y

{\ displaystyle y}

y

, unde este

\langle ,\rangle

{\ displaystyle \ langle, \ rangle}

\ langle, \ rangle

indică produsul standard Hermitian .

Toate valorile proprii ale unei matrice unitare sunt numere complexe de valoare absolută $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , adică sunt pe circumferința razei $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ centrată în originea planului complex . Același lucru este valabil și pentru determinant .

Toate matricile unitare sunt normale și, prin urmare, li se poate aplica teorema spectrală .

O matrice este unitară dacă și numai dacă coloanele (sau rândurile) acesteia formează o bază ortonormală a spațiului față de produsul Hermitian standard. Pentru a arăta implicația directă, dacă presupunem că $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este unitar atunci $U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}\$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I_ {n} \}$ ${\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = UU ^ {\ dagger} = I_ {n} \}$ . Deci, să fie $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ vectorul său de coloană (sau vectorul de rând) corespunzător coloanei i (sau rând) și este:

U^{\dagger }U={\begin{bmatrix}c_{1}^{\dagger }c_{1}&c_{1}^{\dagger }c_{2}&\cdots &c_{1}^{\dagger }c_{n}\\c_{2}^{\dagger }c_{1}&c_{2}^{\dagger }c_{2}&\cdots &c_{2}^{\dagger }c_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n}^{\dagger }c_{1}&c_{n}^{\dagger }c_{2}&\cdots &c_{n}^{\dagger }c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}=I_{n}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = {\ begin {bmatrix} c_ {1} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {1} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ { 1} ^ {\ dagger} c_ {n} \\ c_ {2} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {2} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ {2} ^ { \ dagger} c_ {n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} = I_ {n}}

{\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = {\ begin {bmatrix} c_ {1} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {1} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ { 1} ^ {\ dagger} c_ {n} \\ c_ {2} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {2} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ {2} ^ { \ dagger} c_ {n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {1} & c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {2} & \ cdots & c_ {n} ^ {\ dagger} c_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} = I_ {n}}

Văzând această matrice ca un produs intern, adică $(U^{\dagger }U)_{ij}=\langle c_{i},c_{j}\rangle$ ${\ displaystyle (U ^ {\ dagger} U) _ {ij} = \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle (U ^ {\ dagger} U) _ {ij} = \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle}$ , avem asta:

de sine $i=j$ ${\ displaystyle i = j}$ ${\ displaystyle i = j}$ asa de $\langle c_{i},c_{j}\rangle =\langle c_{i},c_{i}\rangle =1$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = \ langle c_ {i}, c_ {i} \ rangle = 1}$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = \ langle c_ {i}, c_ {i} \ rangle = 1}$ , dar apoi $\|c_{i}\|=1$ ${\ displaystyle \ | c_ {i} \ | = 1}$ ${\ displaystyle \ | c_ {i} \ | = 1}$ .
de sine $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ , asa de $\langle c_{i},c_{j}\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 0}$ , dar apoi $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ este ortogonală la $c_{j}$ ${\ displaystyle c_ {j}}$ ${\ displaystyle c_ {j}}$ .

Fiind în același timp ortogonal și în mod normal unitar înseamnă că $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o bază ortonormală.

Pentru a arăta implicația inversă, să presupunem că coloanele (sau rândurile sale) formează o bază ortonormală a spațiului față de produsul interior. Dacă coloanele (sau rândurile) din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ sunt ortonormale atunci înseamnă că $\langle c_{i},c_{j}\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 0}$ cu excepția cazului în care $i=j$ ${\ displaystyle i = j}$ ${\ displaystyle i = j}$ , unde ai $\langle c_{i},c_{j}\rangle =1$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 1}$ ${\ displaystyle \ langle c_ {i}, c_ {j} \ rangle = 1}$ . Prin urmare, avem:

U_{ij}=(UU^{\dagger })_{ij}=(U^{\dagger }U)_{ij}={\begin{cases}c_{i}^{\dagger }c_{j}=1&\mathrm {se} ~i=j\\c_{i}^{\dagger }c_{j}=0&\mathrm {se} ~i\neq j\end{cases}}

{\ displaystyle U_ {ij} = (UU ^ {\ dagger}) _ {ij} = (U ^ {\ dagger} U) _ {ij} = {\ begin {cases} c_ {i} ^ {\ dagger} c_ {j} = 1 & \ mathrm {se} ~ i = j \\ c_ {i} ^ {\ dagger} c_ {j} = 0 & \ mathrm {se} ~ i \ neq j \ end {cases}} }

{\ displaystyle U_ {ij} = (UU ^ {\ dagger}) _ {ij} = (U ^ {\ dagger} U) _ {ij} = {\ begin {cases} c_ {i} ^ {\ dagger} c_ {j} = 1 & \ mathrm {se} ~ i = j \\ c_ {i} ^ {\ dagger} c_ {j} = 0 & \ mathrm {se} ~ i \ neq j \ end {cases}} }

Dar aceasta este tocmai definiția matricei de identitate $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ , care este unitar.

Bibliografie

( EN ) W. Noll, Spații dimensionale finite , M. Nijhoff (1987) pp. 63
( EN ) WH Greub, Algebra liniară , Springer (1975) pp. 329

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) OA Ivanova, Matricea unitară , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică