Cuaternion

Fractal construit ca un set Julia , definit cu cuaternionii.

În matematică , cuaternionii sunt entități introduse de William Rowan Hamilton în 1843 ca extensii ale numerelor complexe .

Un cuaternion este un obiect formal de acest tip

a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}

{\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}

{\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}

unde este $la, b, c, d$ ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $a, b, c, d$ sunt numere reale și $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ sunt simboluri care se comportă într-un mod similar cu unitatea imaginară a numerelor complexe.

Cuaternionii formează un corp : de aceea satisfac toate proprietățile obișnuite ale câmpurilor , cum ar fi numerele reale sau complexe , cu excepția proprietății comutative a produsului. Extensiile cuaternionilor, cum ar fi octeții și sedeniunile , nici măcar nu au proprietatea asociativă .

Cuaternionii conțin numere complexe $a+b\mathbf {i}$ ${\ displaystyle a + b \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle a + b \ mathbf {i}}$ și formează, de asemenea, un spațiu vectorial real de dimensiunea 4 (în mod analog complexelor, care sunt un spațiu bidimensional, adică un plan). Cele două proprietăți ale corpului și ale spațiului vectorial conferă cuaternionilor o structură a algebrei diviziunii necomutative .

Cuaternionii găsesc o aplicație importantă în modelarea rotațiilor spațiale : din acest motiv sunt utilizate pe scară largă în fizica teoretică (în teoria relativității și în mecanica cuantică ) și în domenii mai aplicate, precum grafica computerizată 3D și robotica (pentru identificarea poziția spațială a brațelor mecanice cu articulații multiple).

Similar analizei complexe și studiului funcțiilor holomorfe ale unei variabile complexe, analiza hipercomplexă și studiul funcțiilor „regulate” ale unei variabile cuaternionice prezintă un interes tot mai mare. ^[1] ^[2]

Istorie

Pe Podul Măturii există acum o placă pe care scrie:

„Aici, pe când trecea
la 16 octombrie 1843
Sir William Rowan Hamilton
într-un fulger de geniu descoperit
formula fundamentală pentru
multiplicarea cuaternionului
i ² = j ² = k ² = ijk = −1
& taie-o pe o piatră a acestui pod. "

( În timp ce se plimba aici, la 16 octombrie 1843, Sir William Rowan Hamilton, într-o fulgerare de inspirație, a descoperit formula fundamentală pentru înmulțirea cuaternionilor și a gravat-o pe o piatră a acestui pod. )

Cuaternionii au fost oficializați de matematicianul irlandez William Rowan Hamilton în 1843 . Hamilton căuta o metodă de extindere a numerelor complexe (care pot fi văzute ca puncte pe un plan ) pe un număr mai mare de dimensiuni spațiale. După ce a căutat în zadar o extensie tridimensională, el a formulat una cu dimensiunea 4: cuaternionii. Mai târziu, el a povestit că a făcut această descoperire în timpul unei plimbări cu soția sa, când brusc mi-a venit în minte soluția sub forma ecuației.

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1.

{\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {ijk} = -1.}

{\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {ijk} = -1.}

Emoționat de descoperire, el a gravat ecuația pe latura podului Brougham din apropiere (acum cunoscut sub numele de Podul măturii ) din Dublin .

Această formalizare a necesitat abandonarea comutativității multiplicării, o alegere radicală pentru acea vreme, când algebra liniară și produsul matricilor nu erau încă disponibile. Mai general, Hamilton a inventat într-un fel produsul vector și produsul scalar în spațiile vectoriale . Hamilton a descris un cuaternion ca un cvadruplu ordonat (4-tuplu) de numere reale, unde prima coordonată este partea „scalară”, iar restul de trei sunt partea „vector”. Dacă se înmulțesc doi cuaternioni cu zero parte scalară, partea scalară a produsului este produsul scalar al părții vector modificate în semn, în timp ce partea vectorială a produsului este produsul vector. Hamilton a continuat să popularizeze cuaternionele cu multe cărți, ultima dintre ele, Elements on Quaternions, avea 800 de pagini și a fost publicată la scurt timp după moartea sa.

Utilizarea cuaternionilor a provocat controverse. Unii dintre susținătorii lui Hamilton s-au opus vehement studiului câmpurilor emergente de algebră liniară și calcul vectorial (dezvoltat de Oliver Heaviside și Willard Gibbs printre alții), susținând că cuaternariile oferă o notație mai bună. Astăzi, însă, știm că cuaternionii sunt o structură foarte specială, care nu oferă multe alte generalizări în alte dimensiuni (în afară de octeții din dimensiunea opt). O versiune timpurie a ecuațiilor lui Maxwell a folosit o notație bazată pe cuaternion.

Astăzi, cuaternionele sunt utilizate în principal în reprezentarea rotațiilor și direcțiilor în spațiul tridimensional. Prin urmare, au aplicații în grafică computerizată 3D , teoria controlului , procesarea semnalului , controlul atitudinii, fizică și astrodinamică . De exemplu, un sistem de control al atitudinii condus de cuaternion este comun pentru navele spațiale, care este, de asemenea, utilizat pentru a măsura telemetria atitudinii actuale. Motivul este că combinația multor transformări descrise de cuaternioni este mai stabilă numeric decât combinația multor transformări matriciale.

Definiție

Un cuaternion este un element de scris, cum ar fi

a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}

{\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}

{\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}

cu $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ numere reale e $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ simboluri literale.

Suma și produsul a două cuaterniuni sunt definite luând în considerare relațiile

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1,

{\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {ijk} = -1,}

{\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {ijk} = -1,}

care implică în special următoarele relații:

\mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k} ,

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k},}

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k},}

\mathbf {j} \mathbf {k} =\mathbf {i} ,

{\ displaystyle \ mathbf {j} \ mathbf {k} = \ mathbf {i},}

{\ displaystyle \ mathbf {j} \ mathbf {k} = \ mathbf {i},}

\mathbf {k} \mathbf {i} =\mathbf {j} ,

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ mathbf {i} = \ mathbf {j},}

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ mathbf {i} = \ mathbf {j},}

\ \mathbf {j} \mathbf {i} =-\mathbf {k} ,

{\ displaystyle \ \ mathbf {j} \ mathbf {i} = - \ mathbf {k},}

{\ displaystyle \ \ mathbf {j} \ mathbf {i} = - \ mathbf {k},}

\mathbf {k} \mathbf {j} =-\mathbf {i} ,

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ mathbf {j} = - \ mathbf {i},}

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ mathbf {j} = - \ mathbf {i},}

\mathbf {i} \mathbf {k} =-\mathbf {j} .

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {k} = - \ mathbf {j}.}

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {k} = - \ mathbf {j}.}

Rezultatele înmulțirii dintre două dintre aceste elemente sunt rezumate în tabel:

$\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$	$\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$	$\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$
$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	$\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$	$\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$	$\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$
$\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$	$\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$	$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$	$\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$	$-\mathbf {j}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {j}}$
$\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$	$\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$	$-\mathbf {k}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {k}}$	$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$	$\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$
$\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$	$\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$	$\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$	$-\mathbf {i}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {i}}$	$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$

Suma și produsul a două cuaterniuni sunt calculate cu pașii algebrici obișnuiți, utilizând relațiile de multiplicare tocmai descrise. Prin urmare, suma a doi cuaternioni este dată de:

(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k}

{\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \ mathbf {i} + c_ {1} \ mathbf {j} + d_ {1} \ mathbf {k}) + (a_ {2} + b_ {2} \ mathbf {i} + c_ {2} \ mathbf {j} + d_ {2} \ mathbf {k}) = (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \ mathbf {i} + (c_ {1} + c_ {2}) \ mathbf {j} + (d_ {1} + d_ {2}) \ mathbf {k}}

{\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \ mathbf {i} + c_ {1} \ mathbf {j} + d_ {1} \ mathbf {k}) + (a_ {2} + b_ {2} \ mathbf {i} + c_ {2} \ mathbf {j} + d_ {2} \ mathbf {k}) = (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \ mathbf {i} + (c_ {1} + c_ {2}) \ mathbf {j} + (d_ {1} + d_ {2}) \ mathbf {k}}

în timp ce produsul lor se dovedește a fi următorul:

(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )=

{\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \ mathbf {i} + c_ {1} \ mathbf {j} + d_ {1} \ mathbf {k}) (a_ {2} + b_ {2} \ mathbf {i} + c_ {2} \ mathbf {j} + d_ {2} \ mathbf {k}) =}

{\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \ mathbf {i} + c_ {1} \ mathbf {j} + d_ {1} \ mathbf {k}) (a_ {2} + b_ {2} \ mathbf {i} + c_ {2} \ mathbf {j} + d_ {2} \ mathbf {k}) =}

=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .

{\ displaystyle = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}) + (a_ {1} b_ {2 } + b_ {1} a_ {2} + c_ {1} d_ {2} -d_ {1} c_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {1} c_ {2} + c_ {1} a_ {2} + d_ {1} b_ {2} -b_ {1} d_ {2}) \ mathbf {j} + (a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ {2} + b_ {1 } c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) \ mathbf {k}.}

{\ displaystyle = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}) + (a_ {1} b_ {2 } + b_ {1} a_ {2} + c_ {1} d_ {2} -d_ {1} c_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {1} c_ {2} + c_ {1} a_ {2} + d_ {1} b_ {2} -b_ {1} d_ {2}) \ mathbf {j} + (a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ {2} + b_ {1 } c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) \ mathbf {k}.}

Cuaternionii conțin în mod natural numere reale (cuaternionuri de acest tip $q=a$ ${\ displaystyle q = a}$ $q = a$ , cu $b=c=d=0$ ${\ displaystyle b = c = d = 0}$ $b = c = d = 0$ ) și numere complexe (cuaternioane de tip $q=a+b\mathbf {i}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i}}$ , cu $c=d=0$ ${\ displaystyle c = d = 0}$ $c = d = 0$ , dar și de tipul $q=a+b\mathbf {j}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {j}}$ sau de tipul $q=a+b\mathbf {k}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {k}}$ ).

Exemplu

Având două cuaterniuni

x=3+\mathbf {i} ,\quad y=5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k}

{\ displaystyle x = 3 + \ mathbf {i}, \ quad y = 5 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}}

{\ displaystyle x = 3 + \ mathbf {i}, \ quad y = 5 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}}

,

suma și produsul sunt date de:

x+y=3+6\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k}

{\ displaystyle x + y = 3 + 6 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}}

{\ displaystyle x + y = 3 + 6 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}}

xy=(3+\mathbf {i} )(5\mathbf {i} +\mathbf {j} -2\mathbf {k} )=15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} +5\mathbf {i} ^{2}+\mathbf {ij} -2\mathbf {ik} =15\mathbf {i} +3\mathbf {j} -6\mathbf {k} -5+\mathbf {k} +2\mathbf {j} =-5+15\mathbf {i} +5\mathbf {j} -5\mathbf {k} .

{\ displaystyle xy = (3+ \ mathbf {i}) (5 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}) = 15 \ mathbf {i} +3 \ mathbf {j} - 6 \ mathbf {k} +5 \ mathbf {i} ^ {2} + \ mathbf {ij} -2 \ mathbf {ik} = 15 \ mathbf {i} +3 \ mathbf {j} -6 \ mathbf {k } -5+ \ mathbf {k} +2 \ mathbf {j} = -5 + 15 \ mathbf {i} +5 \ mathbf {j} -5 \ mathbf {k}.}

{\ displaystyle xy = (3+ \ mathbf {i}) (5 \ mathbf {i} + \ mathbf {j} -2 \ mathbf {k}) = 15 \ mathbf {i} +3 \ mathbf {j} - 6 \ mathbf {k} +5 \ mathbf {i} ^ {2} + \ mathbf {ij} -2 \ mathbf {ik} = 15 \ mathbf {i} +3 \ mathbf {j} -6 \ mathbf {k } -5+ \ mathbf {k} +2 \ mathbf {j} = -5 + 15 \ mathbf {i} +5 \ mathbf {j} -5 \ mathbf {k}.}

Proprietăți de bază

Cuaternionii au multe caracteristici ale numerelor complexe : de asemenea, pentru cuaternioni, în analogie cu complexele, pot fi definite concepte precum normă și conjugat ; fiecare cuaternion, dacă este diferit de zero, are un invers față de produs. Cu toate acestea, acestea diferă de numerele complexe prin faptul că produsul lor poate să nu fie comutativ .

Produs necomutativ

În general, produsul a doi cuaternioni nu este comutativ : este așa numai dacă ambii aparțin aceluiași plan complex. De exemplu, după cum am văzut deja, $\mathbf {i} \mathbf {j} =\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}}$ este diferit de $\mathbf {j} \mathbf {i} =-\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} \ mathbf {i} = - \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} \ mathbf {i} = - \ mathbf {k}}$ .

Cu toate acestea, pentru liniaritate, se comportă ca un produs al polinoamelor și poate fi raportat produselor fundamentale 4x4 din tabelul de mai sus.

Căsătorit

Conjugatul unui cuaternion $q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ este cuaternionul ${\bar {q}}=a-b\mathbf {i} -c\mathbf {j} -d\mathbf {k} ,$ ${\ displaystyle {\ bar {q}} = ab \ mathbf {i} -c \ mathbf {j} -d \ mathbf {k},}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}} = a-b \ mathbf {i} -c \ mathbf {j} -d \ mathbf {k},}$ (uneori denumit și $q^{*}$ ${\ displaystyle q ^ {*}}$ $q ^ *$ ).

Conjugatul îndeplinește următoarele proprietăți:

{\overline {\overline {q}}}=q,

{\ displaystyle {\ overline {\ overline {q}}} = q,}

\ overline {\ overline {q}} = q,

{\overline {q+q'}}={\overline {q}}+{\overline {q}}',

{\ displaystyle {\ overline {q + q '}} = {\ overline {q}} + {\ overline {q}}',}

\ overline {q + q '} = \ overline q + \ overline q',

{\overline {qq'}}={\overline {q}}'{\overline {q}}.

{\ displaystyle {\ overline {qq '}} = {\ overline {q}}' {\ overline {q}}.}

\ overline {qq '} = \ overline q' \ overline q.

Conjugatul poate fi de asemenea exprimat ca o combinație liniară de $q,$ ${\ displaystyle q,}$ ${\ displaystyle q,}$ cu coeficienți care conțin $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k},}$ În felul următor:

{\bar {q}}=-{\frac {q+\mathbf {i} q\mathbf {i} +\mathbf {j} q\mathbf {j} +\mathbf {k} q\mathbf {k} }{2}}.

{\ displaystyle {\ bar {q}} = - {\ frac {q + \ mathbf {i} q \ mathbf {i} + \ mathbf {j} q \ mathbf {j} + \ mathbf {k} q \ mathbf {k}} {2}}.}

{\ displaystyle {\ bar {q}} = - {\ frac {q + \ mathbf {i} q \ mathbf {i} + \ mathbf {j} q \ mathbf {j} + \ mathbf {k} q \ mathbf {k}} {2}}.}

Normă

Norma de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este numărul real non-negativ

{\textstyle |q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}.}

{\ textstyle | q | = {\ sqrt {q {\ bar {q}}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}} }.}

{\ textstyle | q | = {\ sqrt {q {\ bar {q}}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}} }.}

Norma de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este întotdeauna pozitiv și nimic numai dacă $q=0$ ${\ displaystyle q = 0}$ $q = 0$ . Următoarele relații se mențin:

|q|^{2}=q{\bar {q}},

{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ bar {q}},}

{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ bar {q}},}

|qq'|=|q||q'|.

{\ displaystyle | qq '| = | q || q' |.}

{\ displaystyle | qq '| = | q || q' |.}

Verso

Un cuaternion $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ nonzero are un invers pentru multiplicare, dat de

q^{-1}={\frac {\overline {q}}{|q|^{2}}}.

{\ displaystyle q ^ {- 1} = {\ frac {\ overline {q}} {| q | ^ {2}}}.}

{\ displaystyle q ^ {- 1} = {\ frac {\ overline {q}} {| q | ^ {2}}}.}

Intr-adevar

qq^{-1}=q{\frac {\overline {q}}{|q|^{2}}}={\frac {q{\overline {q}}}{|q|^{2}}}={\frac {|q|^{2}}{|q|^{2}}}=1

{\ displaystyle qq ^ {- 1} = q {\ frac {\ overline {q}} {| q | ^ {2}}} = {\ frac {q {\ overline {q}}} {| q | ^ {2}}} = {\ frac {| q | ^ {2}} {| q | ^ {2}}} = 1}

qq ^ {- 1} = q \ frac {\ overline q} {| q | ^ 2} = \ frac {q \ overline q} {| q | ^ 2} = \ frac {| q | ^ 2} {| q | ^ 2} = 1

și în mod similar $q^{-1}q=1$ ${\ displaystyle q ^ {- 1} q = 1}$ $q ^ {- 1} q = 1$ . Se aplică următoarele proprietăți:

|q^{-1}|={\frac {1}{|q|}},

{\ displaystyle | q ^ {- 1} | = {\ frac {1} {| q |}},}

| q ^ {- 1} | = \ frac 1 {| q |},

{\overline {q^{-1}}}={\overline {q}}^{-1},

{\ displaystyle {\ overline {q ^ {- 1}}} = {\ overline {q}} ^ {- 1},}

{\ displaystyle {\ overline {q ^ {- 1}}} = {\ overline {q}} ^ {- 1},}

(qq')^{-1}={q'}^{-1}q^{-1}.

{\ displaystyle (qq ') ^ {- 1} = {q'} ^ {- 1} q ^ {- 1}.}

{\ displaystyle (qq ') ^ {- 1} = {q'} ^ {- 1} q ^ {- 1}.}

Structura algebrică

Cu operațiile de sumă și produs, ansamblul cuaternionilor, uneori notat cu $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ $\ mathbb H$ , formează un inel necomutativ , mai exact un corp .

Cu operațiile de adunare și multiplicare cu un număr real $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , dat de

\lambda (a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )=\lambda a+\lambda b\mathbf {i} +\lambda c\mathbf {j} +\lambda d\mathbf {k} ,

{\ displaystyle \ lambda (a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}) = \ lambda a + \ lambda b \ mathbf {i} + \ lambda c \ mathbf {j } + \ lambda d \ mathbf {k},}

{\ displaystyle \ lambda (a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}) = \ lambda a + \ lambda b \ mathbf {i} + \ lambda c \ mathbf {j } + \ lambda d \ mathbf {k},}

cuaternionii formează, de asemenea, un spațiu vectorial real de dimensiunea 4: o bază pentru spațiu este dată de elemente $\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ ${\ displaystyle \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}$ .

Cele două structuri ale corpului și ale spațiului vectorial sunt rezumate prin conceptul de algebră de diviziune . Cuaternionele, numerele complexe și numerele reale sunt singurele algebre de diviziune asociativă construite pe numere reale cu dimensiune finită.

Structura metrică

Folosind funcția de distanță

d(q,q')=|q-q'|,

{\ displaystyle d (q, q ') = | q-q' |,}

d (q, q ') = | q-q' |,

cuaternionii formează un spațiu metric , izometric față de spațiu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ⁴ cu metrica euclidiană obișnuită. Coordonatele $(a,b,c,d)$ ${\ displaystyle (a, b, c, d)}$ $(a, b, c, d)$ a unui cuaternion $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ identificați-l ca element al $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ , și prin această identificare, norma $|q|$ ${\ displaystyle | q |}$ $| q |$ este pur și simplu norma euclidiană .

Cu norma, cuaternionii formează o adevărată algebră Banach .

Cuaternionii unitari

Grup de minciuni

Cuaternionii unitari sunt cuaternionii normei 1. De exemplu, $1,\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}}$ Și $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ sunt unitare. În identificare cu $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ , cuaternionii unitari formează o hipersferă în patru dimensiuni.

S^{3}=\{(a,b,c,d)\in \mathbb {R} ^{4}\ |\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\}.

{\ displaystyle S ^ {3} = \ {(a, b, c, d) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ | \ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 } + d ^ {2} = 1 \}.}

S ^ 3 = \ {(a, b, c, d) \ in \ R ^ 4 \ | \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 \}.

Cuaternionii unitari formează un grup multiplicativ în raport cu produsul. Acest grup, spre deosebire de analogul său complex, nu este Abelian . Cu structura diferențiată a varietății dată de $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ , formează un grup Lie .

Grup de rotație

Orice cuaternar unitar $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ definește o rotație a spațiului $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ în felul următor. Observăm că poate fi indicat cuaternionul $q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ printr-o notație scalar-vectorială $q=(a,v)$ ${\ displaystyle q = (a, v)}$ ${\ displaystyle q = (a, v)}$ , cu $v=(b,c,d)$ ${\ displaystyle v = (b, c, d)}$ ${\ displaystyle v = (b, c, d)}$ , și ne identificăm $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ cu ansamblul cuaternarilor $x=(0,v)$ ${\ displaystyle x = (0, v)}$ ${\ displaystyle x = (0, v)}$ cu prima coordonată nulă. Rotația determinată de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este dată de operațiunea de căsătorie

x\mapsto qxq^{-1}.

{\ displaystyle x \ mapsto qxq ^ {- 1}.}

{\ displaystyle x \ mapsto qxq ^ {- 1}.}

De fapt, se întâmplă cu ușurință că dacă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ mai întâi nu are nici o coordonare $qxq^{-1}$ ${\ displaystyle qxq ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle qxq ^ {- 1}}$ are prima coordonată zero: prin urmare o acțiune a grupului de cuaternioni unitari este definită pe $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Orice hartă definită în acest mod este efectiv o rotație, deoarece păstrează norma:

|qxq^{-1}|=|q||x||q^{-1}|=|q||x||q|^{-1}=|x|.

{\ displaystyle | qxq ^ {- 1} | = | q || x || q ^ {- 1} | = | q || x || q | ^ {- 1} = | x |.}

{\ displaystyle | qxq ^ {- 1} | = | q || x || q ^ {- 1} | = | q || x || q | ^ {- 1} = | x |.}

Cuaternionii de unitate sunt, prin urmare, un instrument util pentru descrierea sintetică a rotațiilor în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Fiecare rotație poate fi exprimată în acest fel și doi cuaternioni $q, q^{'}$ ${\ displaystyle q, q '}$ ${\ displaystyle q, q '}$ definesc aceeași rotație dacă și numai dacă $q=-q'$ ${\ displaystyle q = -q '}$ ${\ displaystyle q = -q '}$ .

Acoperiri

Prin asocierea unei rotații la fiecare cuaternion unitar, a fost definită o hartă

S^{3}\to SO(3)

{\ displaystyle S ^ {3} \ to SO (3)}

S ^ 3 \ la SO (3)

din grupul cuaternionilor unitari pe grupul ortogonal special de rotații ale spațiului tridimensional. Pentru ceea ce tocmai s-a spus, harta este surjectivă , dar nu injectivă : imaginea contra unui punct este dată de două puncte opuse. $\{\pm q_{0}\}$ ${\ displaystyle \ {\ pm q_ {0} \}}$ $\ {\ pm q_0 \}$ . În special, această hartă este o acoperire de gradul 2.

Atâta timp cât $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ este pur și simplu conectat , acesta este învelișul universal al $SO(3)$ ${\ displaystyle SO (3)}$ $SO (3)$ , care are deci grupul ciclic ca grup fundamental $\mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ $\ mathbb Z / _ {2 \ mathbb Z}$ cu două elemente. Topologic, $SO(3)$ ${\ displaystyle SO (3)}$ $SO (3)$ este homeomorf pentru spațiul proiectiv $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb P ^ 3 (\ R)$ .

Subgrup finit

Același subiect în detaliu: grupul Quaternion .

Subgrupul generat de elemente $\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ ${\ displaystyle \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}$ este un grup finit : are ordinea 8 și este adesea indicat cu $Q_{8}$ ${\ displaystyle Q_ {8}}$ $Q_8$ . Cele opt elemente ale sale sunt

\{\pm 1,\pm \mathbf {i} ,\pm \mathbf {j} ,\pm \mathbf {k} \}.

{\ displaystyle \ {\ pm 1, \ pm \ mathbf {i}, \ pm \ mathbf {j}, \ pm \ mathbf {k} \}.}

{\ displaystyle \ {\ pm 1, \ pm \ mathbf {i}, \ pm \ mathbf {j}, \ pm \ mathbf {k} \}.}

Grupul $Q_{8}$ ${\ displaystyle Q_ {8}}$ $Q_8$ este cel mai mic grup non-abelian după grupul de permutare $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_3$ , care are ordinea 6.

Notări și reprezentări alternative

Notare scalară / vectorială

Cuaternionul $q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ poate fi descrisă și de cuplu $(a,v)$ ${\ displaystyle (a, v)}$ $(a, v)$ , unde este $v=(b,c,d)$ ${\ displaystyle v = (b, c, d)}$ $v = (b, c, d)$ este un vector în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Cu această notație, suma și produsul pot fi descrise după cum urmează:

{\begin{matrix}q_{1}+q_{2}&=&(a_{1},v_{1})+(a_{2},v_{2})=(a_{1}+a_{2},v_{1}+v_{2})\\q_{1}\cdot q_{2}&=&(a_{1}a_{2}-v_{1}\cdot v_{2},a_{1}v_{2}+a_{2}v_{1}+v_{1}\wedge v_{2})\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} q_ {1} + q_ {2} & = & (a_ {1}, v_ {1}) + (a_ {2}, v_ {2}) = (a_ {1} + a_ {2}, v_ {1} + v_ {2}) \\ q_ {1} \ cdot q_ {2} & = & (a_ {1} a_ {2} -v_ {1} \ cdot v_ {2 }, a_ {1} v_ {2} + a_ {2} v_ {1} + v_ {1} \ wedge v_ {2}) \ end {matrix}}}

\ begin {matrix} q_1 + q_2 & = & (a_1, v_1) + (a_2, v_2) = (a_1 + a_2, v_1 ​​+ v_2) \\ q_1 \ cdot q_2 & = & (a_1 a_2 - v_1 \ cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \ wedge v_2) \ end {matrix}

unde produsul scalar și produsul vector între vectori de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Noțiunile de conjugat și normă devin:

{\bar {q}}=(a,-v)

{\ displaystyle {\ bar {q}} = (a, -v)}

\ bar q = (a, -v)

|q|^{2}=a^{2}+|v|^{2}\,\!

{\ displaystyle | q | ^ {2} = a ^ {2} + | v | ^ {2} \, \!}

| q | ^ 2 = a ^ 2 + | v | ^ 2 \, \!

folosind norma obișnuită a unui vector în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

Pereche de numere complexe

Mulțumesc raportului $\mathbf {k} =\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} = \ mathbf {i} \ mathbf {j} = - \ mathbf {j} \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} = \ mathbf {i} \ mathbf {j} = - \ mathbf {j} \ mathbf {i}}$ , fiecare cuaternion poate fi scris folosind doar simboluri $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ Și $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ în felul următor:

q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} -d\mathbf {j} \mathbf {i} =a+b\mathbf {i} +\mathbf {j} (c-d\mathbf {i} ).

{\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k} = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} -d \ mathbf {j} \ mathbf {i} = a + b \ mathbf {i} + \ mathbf {j} (cd \ mathbf {i}).}

{\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k} = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} -d \ mathbf {j} \ mathbf {i} = a + b \ mathbf {i} + \ mathbf {j} (cd \ mathbf {i}).}

Prin urmare

q=z+\mathbf {j} w,

{\ displaystyle q = z + \ mathbf {j} w,}

{\ displaystyle q = z + \ mathbf {j} w,}

unde este $z=a+b\mathbf {i}$ ${\ displaystyle z = a + b \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle z = a + b \ mathbf {i}}$ Și $w=c-d\mathbf {i}$ ${\ displaystyle w = cd \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle w = c-d \ mathbf {i}}$ sunt două numere complexe. Operațiile de sumă și produs au loc în modul obișnuit, aplicând relația

\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = - \ mathbf {j} \ mathbf {i}.}

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ mathbf {j} = - \ mathbf {j} \ mathbf {i}.}

În ceea ce privește conjugatul și norma, se dovedește respectiv

{\bar {q}}=({\bar {z}},-w),

{\ displaystyle {\ bar {q}} = ({\ bar {z}}, - w),}

{\ displaystyle {\ bar {q}} = ({\ bar {z}}, - w),}

|q|^{2}=|z|^{2}+|w|^{2}.

{\ displaystyle | q | ^ {2} = | z | ^ {2} + | w | ^ {2}.}

{\ displaystyle | q | ^ {2} = | z | ^ {2} + | w | ^ {2}.}

Matrici

Cuaternionii pot fi exprimați prin matrice $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ de numere complexe sau matrici $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ $4 \ ori 4$ de numere reale.

Matrici $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ complex

Cuaternionul $q=z+w\mathbf {j}$ ${\ displaystyle q = z + w \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle q = z + w \ mathbf {j}}$ , cu $z=a+b\mathbf {i}$ ${\ displaystyle z = a + b \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle z = a + b \ mathbf {i}}$ Și $w=c+d\mathbf {i}$ ${\ displaystyle w = c + d \ mathbf {i}}$ ${\ displaystyle w = c + d \ mathbf {i}}$ , poate fi reprezentat de matricea coeficientului complex

{\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&\,\,{\overline {z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a+b\mathbf {i} &c+d\mathbf {i} \\-c+d\mathbf {i} &\,\,a-b\mathbf {i} \end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} z ​​& w \\ - {\ overline {w}} & \, \, {\ overline {z}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a + b \ mathbf {i} & c + d \ mathbf {i} \\ - c + d \ mathbf {i} & \, \, ab \ mathbf {i} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} z ​​& w \\ - {\ overline {w}} & \, \, {\ overline {z}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a + b \ mathbf {i} & c + d \ mathbf {i} \\ - c + d \ mathbf {i} & \, \, ab \ mathbf {i} \ end {bmatrix}}}

Prin această identificare, elementele $1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ sunt reprezentate respectiv de:

\left[{\begin{matrix}1,&0\\0,&1\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}\mathbf {i} ,&0\\0,&-\mathbf {i} \\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&1\\-1,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&\mathbf {i} \\\mathbf {i} ,&0\\\end{matrix}}\right].

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1, & 0 \\ 0, & 1 \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {i} , & 0 \\ 0, & - \ mathbf {i} \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & 1 \\ - 1, & 0 \\ \ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & \ mathbf {i} \\\ mathbf {i}, & 0 \\\ end {matrix}} \ right] .}

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1, & 0 \\ 0, & 1 \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {i} , & 0 \\ 0, & - \ mathbf {i} \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & 1 \\ - 1, & 0 \\ \ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & \ mathbf {i} \\\ mathbf {i}, & 0 \\\ end {matrix}} \ right] .}

Indicăm cu $\phi :\mathbb {H} \rightarrow {\text{Mat}}_{n,n}(\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {H} \ rightarrow {\ text {Mat}} _ {n, n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {H} \ rightarrow {\ text {Mat}} _ {n, n} (\ mathbb {C})}$ . Această reprezentare are mai multe proprietăți interesante:

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un homomorfism injectiv al monoizilor .
Pătratul normei unui cuaternion este egal cu determinantul matricei corespunzătoare.
Conjugatul unui cuaternion corespunde conjugatului de transpunere a matricei corespunzătoare.
Prin restrângerea sa la cuaternionii de unitate, această aplicație induce un izomorfism al grupurilor dintre sferă $S^{3}\subset \mathbb {H}$ ${\ displaystyle S ^ {3} \ subset \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle S ^ {3} \ subset \ mathbb {H}}$ și grupul unitar special ${\text{SU}}(2)$ ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ . Acest grup, strâns legat de matricile Pauli , este utilizat în mecanica cuantică pentru a reprezenta spinul .

Matrici $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ $4 \ ori 4$ antisimetric real

Elementele $1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ sunt reprezentate respectiv de:

\left[{\begin{matrix}1,&0,&0,&0\\0,&1,&0,&0\\0,&0,&1,&0\\0,&0,&0,&1\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&1,&0,&0\\-1,&0,&0,&0\\0,&0,&0,&1\\0,&0,&-1,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&0,&0,&-1\\0,&0,&-1,&0\\0,&1,&0,&0\\1,&0,&0,&0\\\end{matrix}}\right],\quad \left[{\begin{matrix}0,&0,&-1,&0\\0,&0,&0,&1\\1,&0,&0,&0\\0,&-1,&0,&0\\\end{matrix}}\right].

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 1, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 1, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 1 \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & 1, & 0, & 0 \\ - 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 1 \\ 0, & 0, & - 1, & 0 \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin { matrice} 0, & 0, & 0, & - 1 \\ 0, & 0, & - 1, & 0 \ \ 0, & 1, & 0, & 0 \\ 1, & 0, & 0, & 0 \\\ end {matrix}} \ right], \ quad \ left [{\ begin {matrix} 0, & 0, & - 1, & 0 \ \ 0, & 0, & 0, & 1 \\ 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & - 1, & 0, & 0 \\\ end {matrix}} \ right].}

\ left [\ begin {matrix} 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 1, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 1, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 1 \\ \ end {matrix} \ right], \ quad \ left [\ begin {matrix} 0, & 1, & 0, & 0 \\ -1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 1 \\ 0, & 0, & - 1, & 0 \\ \ end {matrix} \ right], \ quad \ left [\ begin {matrix} 0, & 0, & 0, & - 1 \\ 0, & 0, & - 1, & 0 \\ 0, & 1, & 0, & 0 \\ 1, & 0, & 0, & 0 \\ \ end {matrix} \ dreapta], \ quad \ left [\ begin {matrix} 0, & 0, & - 1, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 1 \\ 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & - 1, & 0, & 0 \\ \ end {matrix} \ right].

Cuaternionul $a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ ${\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k}}$ este deci reprezentat de

{\begin{bmatrix}a&b&-d&-c\\-b&a&-c&d\\d&c&a&b\\c&-d&-b&a\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & -d & -c \\ - b & a & -c & d \\ d & c & a & b \\ c & -d & -b & a \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} a & b & -d & -c \\ -b & a & -c & d \\ d & c & a & b \\ c & -d & -b & a \ end {bmatrix}

În această reprezentare, conjugatul unui cuaternion corespunde transpunerii matricei.

Equazioni sui quaternioni

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei polinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione $q^{2}+1=0$ $q^{2}+1=0$ $q^2+1 = 0$ per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i

q=b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} ,

q=b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} ,

q=b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} ,

con $b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ $b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ $b^2+c^2+d^2=1$ .

Generalizzazioni

Se $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ è un generico campo e $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ sono elementi di $F,$ ${\displaystyle F,}$ $F,$ è possibile definire un' algebra associativa unitaria a quattro dimensioni su $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ usando due generatori $\mathbf {i}$ $\mathbf {i}$ $\mathbf i$ e $\mathbf {j}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf j$ e le relazioni $\mathbf {i} ^{2}=a,\mathbf {j} ^{2}=b$ $\mathbf {i} ^{2}=a,\mathbf {j} ^{2}=b$ $\mathbf {i} ^{2}=a,\mathbf {j} ^{2}=b$ e $\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .$ $\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .$ $\mathbf {i} \mathbf {j} =-\mathbf {j} \mathbf {i} .$ Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle matrici $2\times 2$ $2\times 2$ $2\times 2$ su $F,$ ${\displaystyle F,}$ $F,$ e inoltre sono delle algebre di divisione su $F .$ ${\displaystyle F.}$ $F.$ Sono chiamate algebre di quaternioni .

Note

^ https://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA
^ Graziano Gentili, Catarina Stoppato & DC Struppa (2013) Regular Functions of a Quaternionic Variable , Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0

Bibliografia

Hime, Henry William Lovett (1894) The outlines of quaternions Longman Greens.
Hamilton, William Rowan (1899) Elements of quaternions (t.1) . Longman Greens.
Hamilton, William Rowan (1901) Elements of quaternions (t.2) . Longman Greens.
Kelland, Philip and Tait, Peter Guthrie (1882) Introduction to quaternions, with numerous examples McMillan & co. Ltd.
Hardy, AS (1891) Elements of quaternions . Ginn.
MacAulay, Alexander (1893) Utility of Quaternions in Physics
Hathaway, Arthur S. (1896) A Primer of Quaternions London, Macmillan & co., ltd.
Joly, Charles Japser (1905) A Manual Of Quaternions . McMillan & co. Ltd.
MacFarlane, Alexander (1906) Vector Analysis and Quaternions New York, J. Wiley & Sons.
Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8

Voci correlate

Collegamenti esterni

Definizione e riferimenti su mathworld.wolfram.com
Doing Physics with Quaternions , su world.std.com .
Quaternion Calculator [Java]
The Physical Heritage of Sir WR Hamilton (PDF)

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85109754 · GND ( DE ) 4176653-2 · BNF ( FR ) cb11981947w (data) · BNE ( ES ) XX4728834 (data) · NDL ( EN , JA ) 00570899

Portale Fisica

Portale Matematica

[1] ttps://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA

[2] Graziano Gentili, Catarina Stoppato & DC Struppa (2013) Regular Functions of a Quaternionic Variable , Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0

[1]

[2]