Grup multiplicativ

În matematică și teoria grupurilor , termenul grup multiplicativ se referă, în funcție de context, la unul dintre următoarele concepte:

orice grup $\scriptstyle {\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathfrak {G}}}$ a cărei operație binară este scrisă cu notație multiplicativă (în loc să fie scrisă cu notație aditivă folosită pentru grupurile abeliene ),
subgrupul cu privire la înmulțirea elementelor inversabile ale unui câmp ^[1] , ale unui inel sau ale unei alte structuri care are multiplicarea între operațiile sale. În cazul unui câmp F , grupul este { F - {0}, •}, unde 0 se referă la elementul zero al lui F și operația binară • este multiplicarea câmpului,
torul algebric $\scriptstyle \mathbf {GL} _{1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {GL} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {GL} _ {1}}$ .

Schema grupului rădăcină Unity

Schema grupului rădăcină de unitate n-sime este prin definiție nucleul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - harta puterii pe grupul multiplicativ $\scriptstyle \mathbf {GL} _{1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {GL} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {GL} _ {1}}$ , considerat ca o schemă în grupuri . Prin urmare, pentru orice întreg $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ putem considera morfismul asupra grupului multiplicativ care preia puterile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th, și își asumă un produs în pachet adecvat în sensul teoriei schemei acestuia, cu morfism $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ care funcționează ca o identitate.

Schema de grup rezultată este scrisă ca $\mu _{n}$ ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ $\ mu_n$ . Acest lucru creează un model redus atunci când îl plasăm pe un câmp $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ , dacă și numai dacă caracteristica lui $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ , nu împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Acest lucru dă naștere unor exemple cheie de scheme nereductibile (scheme cu elemente nilpotente în pachetele lor de structură ; de exemplu $\mu _{p}$ ${\ displaystyle \ mu _ {p}}$ $\ mu _ {p}$ pe un teren terminat cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente pentru orice număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Acest fenomen nu este ușor de exprimat în limbajul clasic al geometriei algebrice. Se pare că este de mare importanță, de exemplu, în exprimarea teoriei dualității varietăților abeliene în caracteristica $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (Teoria Pierre Cartier ). cohomologia Galois a acestei scheme de grup este un mod de a exprima teoria lui Kummer .

Notă

^ Vezi Hazewinkel et. la. (2004), p. 2.

Referințe

Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebre, inele și module . Volumul 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900

Elemente conexe

[1] Vezi Hazewinkel et. la. (2004), p. 2.

[1]