Teoria lui Kummer

În matematică , teoria lui Kummer oferă o descriere a unor tipuri de extensii de câmp corespunzătoare adăugării rădăcinilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea din elementele câmpului de bază.

Teoria a fost dezvoltată pentru prima dată de Ernst Kummer la mijlocul secolului al XIX-lea în abordările sale timpurii asupra ultimei teoreme a lui Fermat .

Teoria lui Kummer este fundamentală, de exemplu, în teoria câmpului de clasă și, în general, pentru a înțelege extensiile abeliene . Această teorie spune că, dacă există suficiente rădăcini de unitate , extensiile ciclice pot fi obținute prin extragerea rădăcinilor. Cel mai complicat lucru din teoria câmpului de clasă este de a transporta rezultatele obținute în câmpuri mai mici care conțin un număr insuficient de rădăcini ale unității.

Extensii Kummer (sau extensii radicale)

O extensie Kummer este o extensie a câmpurilor $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ , cu $[L:K]=n>1$ ${\ displaystyle [L: K] = n> 1}$ ${\ displaystyle [L: K] = n> 1}$ și astfel încât:

$L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este crescut pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dintr-o rădăcină a polinomului $X^{n}-a$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .
$K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ conține $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini distincte ale $X^{n}-1$ ${\ displaystyle X ^ {n} -1}$ ${\ displaystyle X ^ {n} -1}$ .

De exemplu, dacă $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , a doua condiție este întotdeauna adevărată dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are caracteristici diferite de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Deci, în acest caz, extensiile Kummer sunt toate extensii pătratice $L=K({\sqrt {a}})$ ${\ displaystyle L = K ({\ sqrt {a}})}$ ${\ displaystyle L = K ({\ sqrt {a}})}$ , Unde $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un element al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care nu este un pătrat. Din soluția obișnuită a ecuațiilor de gradul al doilea , fiecare extensie de grad $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are această formă. Dacă în schimb $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are caracteristică $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , nu există extensii Kummer de calitate $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Luând $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ , nu există extensii Kummer de calitate $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ a câmpului raționalelor $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , deoarece singura a treia rădăcină a unității conținută în $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Dacă o iei așa $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ câmpul de rupere al $X^{n}-a$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , Unde $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ atunci nu este un cub în rațional $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ conține un subcâmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu cele trei rădăcini cubice ale unității; asta pentru că dacă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt două rădăcini distincte ale polinomului $X^{n}-a$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ ${\ displaystyle X ^ {n} -a}$ , avem asta $\alpha /\beta$ ${\ displaystyle \ alpha / \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha / \ beta}$ este o rădăcină cub primitivă a unității . Prin urmare $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ este o extensie a lui Kummer.

Mai general, este adevărat că dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ conține $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a doua rădăcini distincte ale unității, ceea ce implică faptul că caracteristica $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , apoi adăugând un $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a n-a rădăcină a unui element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ obțineți o extensie Kummer (de grad $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , pentru unii $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ). Toate aceste extensii sunt ale lui Galois , cu un grup de ordine Galois ciclic $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . De fapt, este ușor să descriem grupul Galois prin acțiunea grupului rădăcinilor a n-a a unității obținute prin înmulțirea unei rădăcini a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pentru astfel de rădăcini.

Teoria lui Kummer

Teoria lui Kummer demonstrează invers, și anume că dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ conține $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a unitatea distinctă, apoi fiecare extensie abeliană a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se obține prin adăugarea unei rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -Da, dar. De asemenea, dacă cu $K^{\times }$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ denotăm grupul multiplicativ al elementelor nenule ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , apoi extensiile ciclice ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt în bijecție cu subgrupurile ciclice ale grupului

K^{\times }/(K^{\times })^{n},

{\ displaystyle K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

{\ displaystyle K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

adică grupul obținut prin citare $K^{\times }$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ cu subgrupul de puteri $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sime de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Această bijecție poate fi descrisă în mod explicit după cum urmează. Având în vedere un subgrup ciclic

\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},

{\ displaystyle \ Delta \ subseteq K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

{\ displaystyle \ Delta \ subseteq K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

extensia corespunzătoare este dată de

K(\Delta ^{1/n}),

{\ displaystyle K (\ Delta ^ {1 / n}),}

{\ displaystyle K (\ Delta ^ {1 / n}),}

unde este $\Delta ^{1/n}=\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot (K^{\times })^{n}\in \Delta \}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {1 / n} = \ {{\ sqrt [{n}] {a}}: a \ în K ^ {\ times}, a \ cdot (K ^ {\ times}) ^ { n} \ în \ Delta \}}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {1 / n} = \ {{\ sqrt [{n}] {a}}: a \ în K ^ {\ times}, a \ cdot (K ^ {\ times}) ^ { n} \ în \ Delta \}}$ , adică din câmpul obținut prin adăugarea unui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ radacinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea din elementele $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ . Dimpotrivă, dacă $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este o extensie Kummer a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , asa de $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ este dat de

\Delta =(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n})/(K^{\times })^{n},

{\ displaystyle \ Delta = (K ^ {\ times} \ cap (L ^ {\ times}) ^ {n}) / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

{\ displaystyle \ Delta = (K ^ {\ times} \ cap (L ^ {\ times}) ^ {n}) / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

și, dacă cu $\mu _{n}$ ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ $\ mu_n$ denotăm grupul rădăcină $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sime de unitate, există izomorfism

\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})

{\ displaystyle \ Delta \ cong \ operatorname {Hom} (\ operatorname {Gal} (L / K), \ mu _ {n})}

{\ displaystyle \ Delta \ cong \ operatorname {Hom} (\ operatorname {Gal} (L / K), \ mu _ {n})}

dat de

a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),

{\ displaystyle a \ mapsto \ left (\ sigma \ mapsto {\ frac {\ sigma (\ alpha)} {\ alpha}} \ right),}

{\ displaystyle a \ mapsto \ left (\ sigma \ mapsto {\ frac {\ sigma (\ alpha)} {\ alpha}} \ right),}

Unde $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o rădăcină $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sima de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

Generalizări

Există o ușoară generalizare a teoriei lui Kummer care se referă la extensiile exponenților abelieni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (adică astfel încât toate automorfismele din grupul Galois respectiv să aibă ordine de divizare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), iar un rezultat similar cu cel anterior este adevărat în acest context. În mod specific, se poate dovedi că astfel de extensii sunt în bijecție cu subgrupurile de

K^{\times }/(K^{\times })^{n},

{\ displaystyle K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

{\ displaystyle K ^ {\ times} / (K ^ {\ times}) ^ {n},}

care sunt ele însele exponent $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Teoria extensiilor ciclice în cazul în care caracteristica $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ acțiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se numește teoria Artin-Schreier .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică