Extinderea lui Galois

În matematică , o extensie Galois este o extensie algebrică $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ care îndeplinește condițiile descrise mai jos. Sensul este că o extensie Galois are un grup Galois și respectă teorema fundamentală a teoriei Galois . Teoria lui Galois este în esență preocupată de studiul extensiilor Galois.

Definiție

Extensia $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ se spune despre Galois dacă câmpul fix al grupului $\mathrm {Aut} (E/F)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (E / F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (E / F)}$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ -automorfisme ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este exact tabăra de bază $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , în acest caz grupul $\mathrm {Aut} (E/F)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (E / F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (E / F)}$ se numește grupul Galois și este indicat de $\mathrm {Gal} (E/F)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (E / F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (E / F)}$ .

Un rezultat Emil Artin vă permite să creați extensii Galois în felul următor. De sine $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un câmp atribuit și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit de automorfisme ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , asa de $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este o extensie a lui Galois și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este câmpul fix al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Caracterizarea extensiilor Galois

O importantă teoremă a lui Emil Artin afirmă că o extensie finită $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este de la Galois dacă și numai dacă există una dintre următoarele condiții echivalente:

$E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este o extensie normală și separabilă ;
$ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este câmpul de divizare a unui polinom separabil cu coeficienți în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ;
$[E:F]=|\mathrm {Aut} (E/F)|$ ${\ displaystyle [E: F] = | \ mathrm {Aut} (E / F) |}$ ${\ displaystyle [E: F] = | \ mathrm {Aut} (E / F) |}$ , adică gradul extensiei este egal cu ordinea grupului de automorfisme ale lui $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ .

Dacă eliminăm cererea de limită a extensiei $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ acest rezultat este generalizat și avem asta $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este de la Galois dacă și numai dacă există una dintre următoarele condiții echivalente:

$E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este o extensie normală și separabilă ;
$ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este câmpul de divizare a unei familii de polinoame separabile cu coeficienți în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică