Teoria lui Galois

În matematică , teoria lui Galois este o ramură superioară a algebrei abstracte .

La cel mai simplu nivel, folosește grupuri de permutare pentru a descrie modul în care diferitele rădăcini ale unui polinom dat sunt legate între ele. Acesta a fost punctul de vedere original al lui Évariste Galois .

Abordarea modernă a teoriei lui Galois, dezvoltată de Richard Dedekind , Leopold Kronecker și Emil Artin printre alții, include studiul automorfismelor extensiilor de câmp.

Abstracții suplimentare ale teoriei Galois sunt obținute cu teoria conexiunii Galois .

Aplicarea la problemele clasice

Nașterea teoriei lui Galois a fost inițial motivată de următoarea observație, cunoscută sub numele de teorema Abel-Ruffini .

„Nu există nicio formulă pentru rădăcinile unei ecuații polinomiale generice de gradul cinci (sau mai mare) în funcție de coeficienții polinomiali, folosind doar operațiile algebrice normale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) și aplicarea radicalilor (pătrate rădăcini) , rădăcini cub etc.) "

Teoria lui Galois arată clar și evident de ce este posibil să se rezolve ecuații de gradul patru sau mai mic, specificând un criteriu general astfel încât o ecuație polinomială anume de orice grad să aibă soluțiile exprimabile prin operații algebrice și radicale.

Teoria lui Galois are, de asemenea, aplicații în multe probleme de construcție liniară și busolă în geometrie. De exemplu,

„Ce poligoane obișnuite sunt poligoane construibile ?”

- De ce nu se poate triseca fiecare colț?

" De ce nu este posibil să construim un pătrat a cărui suprafață este aceeași cu un cerc? "

În toate cazurile, construcția trebuie realizată numai cu o riglă și o busolă.

Abordarea grupurilor de permutare

Dacă avem un polinom dat, se poate întâmpla ca unele dintre rădăcinile polinomului să fie conectate prin diferite ecuații algebrice. De exemplu, se poate întâmpla ca pentru două dintre rădăcini, să zicem A și B , să se mențină ecuația A ² + 5 B ³ = 7. Ideea centrală a lui Galois este observația că fiecare ecuație algebrică satisfăcută de rădăcini este încă mulțumit după aceea rădăcinile au fost schimbate. O clauză importantă este că ne limităm la ecuații algebrice în care coeficienții sunt numere raționale . (În schimb, puteți specifica un anumit câmp în care trebuie găsiți coeficienții, dar pentru acest exemplu simplu ne limităm la câmpul numerelor raționale.)

Mulțimea acestor permutații formează un grup de permutații , numit și grupul Galois al polinomului (pe numere raționale). Discursul poate fi clarificat printr-un exemplu.

Primul exemplu - ecuație pătratică

Luați în considerare ecuația pătratică

x^{2}-4x+1=0

{\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1 = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1 = 0}

Folosind formula pătratică, constatăm că cele două rădăcini sunt

A=2+{\sqrt {3}}

{\ displaystyle A = 2 + {\ sqrt {3}}}

{\ displaystyle A = 2 + {\ sqrt {3}}}

B=2-{\sqrt {3}}

{\ displaystyle B = 2 - {\ sqrt {3}}}

{\ displaystyle B = 2 - {\ sqrt {3}}}

Exemple de ecuații algebrice satisfăcute de A și B includ

A + B = 4 și

AB = 1.

Evident, în ambele ecuații, dacă schimbăm A și B , vom obține o altă expresie adevărată. De exemplu, ecuația A + B = 4 devine pur și simplu B + A = 4. Mai mult, este adevărat, dar mai puțin evident, că acest lucru este valabil pentru fiecare ecuație algebrică posibilă satisfăcută de A și B ; pentru a demonstra acest lucru, este necesară teoria polinoamelor simetrice .

Prin urmare, concluzionăm că grupul Galois al polinomului x ² - 4 x + 1 constă din două permutații: permutația identică care lasă A și B neschimbate și permutația de transpunere care schimbă A și B. Ca grup, este izomorf pentru grupul ciclic de ordinul doi, notat cu Z / 2 Z.

Se poate ridica obiecția că A și B sunt conectate printr-o altă ecuație algebrică,

A - B - 2√3 = 0,

care nu este valabil atunci când A și B sunt schimbate. Dar această ecuație nu ne interesează, deoarece nu are coeficienți raționali; în special √3 nu este rațional .

O discuție similară se aplică oricărui ax polinomial pătratic ² + bx + c , unde a , b și c sunt numere raționale.

Dacă polinomul are o singură rădăcină, de exemplu x ² - 4 x + 4 = ( x −2) ² , atunci grupul Galois este banal; adică constă numai din permutarea identică.
Dacă are două rădăcini raționale distincte, de exemplu x ² - 3 x + 2 = ( x −2) ( x −1), grupul Galois este încă banal.
Dacă are două rădăcini iraționale (inclusiv cazul în care rădăcinile sunt complexe ), atunci grupul Galois conține două permutări, ca în exemplul anterior.

Al doilea exemplu

Luați în considerare polinomul

x ⁴ - 10 x ² + 1,

care poate fi scris și ca

( x ² - 5) ² - 24.

Vrem să descriem grupul Galois al acestui polinom, din nou pe câmpul numerelor raționale . Polinomul are patru rădăcini:

A = √2 + √3,

B = √2 - √3,

C = −√2 + √3,

D = −√2 - √3.

Există 24 de modalități posibile de a permuta aceste patru rădăcini, dar nu toate aceste permutări sunt elemente ale grupului Galois. Permutările grupului Galois trebuie să păstreze orice ecuație algebrică (cu coeficienți raționali!) Care implică A , B , C și D. O astfel de ecuație este A + D = 0. Prin urmare, de exemplu, permutarea

( A , B , C , D ) → ( A , B , D , C )

nu este permis, deoarece transformă adevărata egalitate A + D = 0 în A + C = 0, ceea ce nu mai este adevărat ca A + C = 2√3 ≠ 0.

O altă egalitate satisfăcută de rădăcini este

( A + B ) ² = 8.

Aceasta exclude permutări suplimentare, cum ar fi

( A , B , C , D ) → ( A , C , B , D ).

Continuând pe această cale, vedem că singurele permutări rămase sunt

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )

( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )

( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )

( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A ),

iar grupul Galois este izomorf pentru grupul Klein .

Abordarea modernă a teoriei câmpurilor

În abordarea modernă, pornim de la o extensie a câmpurilor L / K și examinăm grupul de automorfisme L / K. Vedeți grupul Galois pentru explicații suplimentare și exemple.

Conexiunea dintre cele două abordări este următoarea. Coeficienții polinomului în cauză trebuie selectați din câmpul inițial K. Câmpul superior L trebuie să fie câmpul obținut prin adăugarea rădăcinilor polinoamelor în cauză la câmpul de pornire. Orice permutare a rădăcinilor care respectă ecuațiile algebrice descrise mai sus dă naștere unui automorfism L / K și invers.

În primul exemplu am studiat extensia Q (√3) / Q , unde Q este câmpul numerelor raționale , iar Q (√3) este câmpul obținut din Q prin adăugarea √3. În al doilea exemplu, am studiat extensia Q ( A , B , C , D ) / Q.

Există multe avantaje ale abordării moderne față de abordarea grupului de permutare.

Permite o afirmare mult mai simplă a teoremei fundamentale a teoriei lui Galois .
Utilizarea unui câmp de bază, altul decât Q, este crucială în multe domenii ale matematicii. De exemplu, în teoria numerelor algebrice , teoria Galois este deseori exploatată folosind câmpuri numerice , câmpuri finite sau câmpuri locale ca câmpuri de bază.
Vă permite să studiați infinit extensiile mult mai ușor. Din nou, acest lucru este important în teoria numerelor algebrice, unde, de exemplu, grupul absolut Galois al lui Q este adesea discutat, definit ca grupul Galois al lui K / Q, unde K este o închidere algebrică a lui Q.
Permite luarea în considerare a extensiilor inseparabile . Această problemă nu apare în contextul teoriei clasice, deoarece se presupune întotdeauna implicit că aritmetica are loc într-un caz cu caracteristică zero, dar caracteristicile non-zero apar frecvent în teoria numerelor și geometria algebrică .
Îndepărtează încrederea destul de artificială în căutarea rădăcinilor pentru polinoame. Adică, polinoame diferite pot duce la aceleași extensii de câmp, iar abordarea modernă recunoaște conexiunile dintre aceste polinoame.

Grupuri solubile și soluții radicale

Noțiunea de grup rezolvabil în teoria grupurilor ne permite să determinăm dacă un polinom este rezolvabil de către radicali, în funcție de dacă grupul său Galois are proprietatea de solvabilitate. În esență, fiecare extensie de câmp L / K corespunde unui grup de factori dintr-o serie de compoziții a grupului Galois. Dacă un grup de factori din seria compoziției este ciclic de ordinul n , atunci extensia de câmp corespunzătoare este o extensie radicală, iar elementele lui L pot fi exprimate folosind a n-a rădăcină a unor elemente ale lui K.

Dacă toate grupurile de factori din seria compoziției lor sunt ciclice, se spune că grupul Galois este rezolvabil și toate elementele câmpului corespunzător pot fi obținute prin preluarea în mod repetat de rădăcini, produse și sume de elemente ale câmpului de bază (de obicei Q ).

Unul dintre cele mai mari triumfe ale teoriei lui Galois a fost demonstrația că pentru fiecare n > 4 există polinoame de grad n care nu pot fi rezolvate de radicali - teorema Abel-Ruffini . Acest lucru se datorează faptului că pentru n > 4 grupul simetric S _n conține un subgrup normal simplu, non-ciclic.

Problema inversă a lui Galois

Același subiect în detaliu: Problema Galois inversă .

Este ușor să construiești extensii de câmp având orice grup finit ca grup Galois. Adică, toate grupurile finite se pot prezenta ca grupuri Galois.

Prin urmare, alegeți un câmp K și un grup finit G. Teorema lui Cayley spune că G este (până la izomorfisme) un subgrup al grupului simetric S pe elementele lui G. Alegem { x _α }, câte unul pentru fiecare element α al lui G și ne alăturăm cu K pentru a obține câmpul F = K ({ x _α }). Câmpul L al funcțiilor raționale simetrice din { x _α } este conținut în F. Grupul Galois al lui F / L este S , bazat pe un rezultat al lui Emil Artin . G acționează asupra lui F prin restricționarea acțiunii lui S. Dacă câmpul fix pentru această acțiune este M , atunci, prin teorema fundamentală a teoriei lui Galois , grupul Galois al lui F / M este G.

Construirea unei extensii de câmp a unui câmp de bază fix dat unui grup finit ca grup Galois este o problemă deschisă (în general).

Bibliografie

Emil Artin , Teoria lui Galois , Publicații Dover, 1998, ISBN 0-486-62342-4 .
Jörg Bewersdorff, Teoria lui Galois pentru începători: o perspectivă istorică , American Mathematical Society, 2006, ISBN 0-8218-3817-2 .
Claudio Procesi , Elements of Galois Theory , Zanichelli, 1989, ISBN 88-08-06588-X .
Julio R. Bastida, Field extensions and Galois theory , Cambridge University Press, 19849, ISBN 0-521-30242-0 .