Problema Galois inversă

În matematică , problema Galois inversă constă în determinarea grupurilor G care sunt grupe Galois ale unei extensii Galois ale unui câmp dat F (dacă această extensie există, se spune că G este realizabilă pe F ). Deși studiată cel puțin un secol, începând de astăzi (ianuarie 2021) această problemă nu a fost încă rezolvată în generalitatea sa.

Conjectura principală în acest domeniu este că fiecare grup finit este grupul Galois al unui polinom cu coeficienți raționali .

Se numește problema inversă în raport cu problema „obișnuită” a teoriei lui Galois , care necesită determinarea grupului Galois al unei extensii date de câmpuri.

Cazuri speciale

Mai multe rezultate sunt cunoscute de problemă în cazuri particulare.

Câmpuri finite

În special, problema Galois inversă este complet rezolvată pentru câmpurile finite : de fapt grupul Galois al $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$ ${\ mathbb {F}} _ {{p ^ {n}}}$ pe $\mathbb {F} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ mathbb {F}} _ {p}$ este întotdeauna ciclic , generat de automorfismul Frobenius și, prin urmare, grupul Galois al $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$ ${\ mathbb {F}} _ {{p ^ {n}}}$ pe $\mathbb {F} _{p^{m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {m}}}$ ${\ mathbb {F}} _ {{p ^ {m}}}$ (care, prin teorema fundamentală a teoriei lui Galois , este coeficientul său) este ciclic.

Grupuri abeliene

Leopold Kronecker a arătat că fiecare grup abelian este grupul Galois al unei extensii a câmpului raționalelor. $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ; dovada sa oferă de fapt și o construcție explicită a acesteia, pornind de la proprietățile extinderilor generate de polinoamele ciclotomice și exploatând teorema lui Dirichlet privind existența numerelor prime infinite în progresii aritmetice și clasificarea grupurilor abeliene finite .

Conform acestui fapt, de fapt, un grup abelian este izomorf pentru un produs direct al grupărilor ciclice, fiecare dintre acestea putând fi realizat ca un grup Galois al unei extensii conținute într-un $\mathbb {Q} (\xi _{p})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ xi _ {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ xi _ {p})}$ (unde acesta din urmă este o rădăcină a unității ), unde p este un prim congruos la 1 modul n (cu ordinea n a grupului pe care o vom lua în considerare). Existența numerelor prime infinite congruente la 1 modul t pentru fiecare t garantează posibilitatea alegerii unui prim distinct pentru fiecare factor; câmpul căutat va fi apoi cel mai mic câmp (adică compusul) dintre toate câmpurile găsite începând de la factori.

Alte rezultate

Teorema irreductibilității lui Hilbert (dovedită de David Hilbert ) implică faptul că pentru a realiza un grup Galois pe raționale este suficient să o realizăm pe un câmp $\mathbb {Q} (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ . Acest lucru a dus la demonstrația că grupurile simetrice și grupurile alternative sunt grupuri Galois su $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Toate grupurile simple , cu excepția grupului Mathieu M ₂₃ , au fost făcute ca grupuri Galois su $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . ^[1]

În 1954, Igor 'Šafarevič a demonstrat prin metode de teorie a numerelor că toate grupurile rezolvabile sunt grupuri Galois ale unei extensii a raționalelor.

Importanța taberei de bază

Prin eliminarea cererii de realizare a grupului pe un câmp fix, problema devine simplu de rezolvat: de fapt grupul Galois al câmpului funcțiilor raționale $K=F(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ ${\ displaystyle K = F (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle K = F (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ pe câmpul funcțiilor simetrice $F(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n})$ ${\ displaystyle F (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ ldots, \ sigma _ {n})}$ ${\ displaystyle F (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ ldots, \ sigma _ {n})}$ este grupul simetric S _n și, prin teorema lui Cayley, fiecare grup finit este izomorf pentru un subgrup G al unui grup simetric; prin urmare, prin teorema fundamentală a teoriei Galois, grupul Galois al lui K pe câmpul fix K ^G este izomorf pentru G.

Notă

^(RO) Pe OpenProblem Garden

Bibliografie

Stefania Gabelli, Theory of Equations and Galois Theory , Milan, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

linkuri externe

( EN ) Helmut Völklein, Bullettin of the American Mathematical Society , vol. 38, nr. 2, 27 decembrie 2000, pp. 235-243, http://www.ams.org/bull/2001-38-02/S0273-0979-00-00898-3/S0273-0979-00-00898-3.pdf . Adus la 30 mai 2009 .

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh95003056

[1] (RO) Pe OpenProblem Garden

[1]