Produs direct

În algebră , produsul extern extern al a două grupuri este un alt grup, construit luând produsul cartezian al acestora și definind termenul de operație la termen.

Construcția se extinde cu ușurință în unele cazuri în care grupul are și structuri suplimentare: prin urmare, este posibil să se realizeze produsul direct al spațiilor vectoriale și inelelor .

Produs din două grupuri

Definiție

Produsul direct al două grupuri ( G ₁ , * ₁ ), ( G ₂ , * ₂ ) este grupul ( G ₁ × G ₂ , * _× ) care se obține prin dotarea produsului cartezian G ₁ × G _{2 cu} operația * _× definit de

(a_{1},a_{2})*_{\times }(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) * _ {\ times} (b_ {1}, b_ {2}): = (a_ {1} * _ {1} b_ {1}, a_ { 2} * _ {2} b_ {2}),}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) * _ {\ times} (b_ {1}, b_ {2}): = (a_ {1} * _ {1} b_ {1}, a_ { 2} * _ {2} b_ {2}),}

cu $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ Și $b_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ $b_1$ aparținând $G_{1}$ ${\ displaystyle G_ {1}}$ $G_ {1}$ Și $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ Și $b_{2}$ ${\ displaystyle b_ {2}}$ $b_ {2}$ aparținând $G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ .

În general, pentru simplitatea citirii, este posibil să se omită diferitele simboluri ale produsului, ceea ce implică faptul că două elemente ale unui grup sunt înmulțite cu produsul definit în acel grup, în acest fel formula de definire ia forma cea mai ușor de citit

(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}):=(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}).

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) (b_ {1}, b_ {2}): = (a_ {1} b_ {1}, a_ {2} b_ {2}).}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) (b_ {1}, b_ {2}): = (a_ {1} b_ {1}, a_ {2} b_ {2}).}

Având în vedere definiția, trebuie demonstrată consistența sa, adică faptul că produsul definit se bucură de fapt de proprietăți de grup.

Asociativitatea derivă direct din proprietatea analogă a celor două grupe G ₁ și G ₂ .
Elementul neutru este dat de ( e ₁ și ₂ ) unde e ₁ și e ₂ sunt elementele unitare ale lui G ₁ și respectiv G ₂ . Intr-adevar:
$(e_{1},e_{2})(a_{1},a_{2})=(e_{1}a_{1},e_{2}a_{2})=(a_{1},a_{2}).$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}) (a_ {1}, a_ {2}) = (e_ {1} a_ {1}, e_ {2} a_ {2}) = (a_ {1 }, a_ {2}).}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}) (a_ {1}, a_ {2}) = (e_ {1} a_ {1}, e_ {2} a_ {2}) = (a_ {1 }, a_ {2}).}$
Elementul invers al ( a ₁ , a ₂ ) este
$(a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}),$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) ^ {- 1}: = (a_ {1} ^ {- 1}, a_ {2} ^ {- 1}),}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) ^ {- 1}: = (a_ {1} ^ {- 1}, a_ {2} ^ {- 1}),}$
intr-adevar:
$(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})(a_{1},a_{2})=(a_{1}^{-1}a_{1},a_{2}^{-1}a_{2})=(e_{1},e_{2}).$ ${\ displaystyle (a_ {1} ^ {- 1}, a_ {2} ^ {- 1}) (a_ {1}, a_ {2}) = (a_ {1} ^ {- 1} a_ {1} , a_ {2} ^ {- 1} a_ {2}) = (e_ {1}, e_ {2}).}$ ${\ displaystyle (a_ {1} ^ {- 1}, a_ {2} ^ {- 1}) (a_ {1}, a_ {2}) = (a_ {1} ^ {- 1} a_ {1} , a_ {2} ^ {- 1} a_ {2}) = (e_ {1}, e_ {2}).}$

Dacă G ₁ și G ₂ sunt scrise în notație aditivă, ( G ₁ × G ₂ , + _× ) se mai numește suma directă a celor două grupuri.

Proprietate

Cele două grupuri de factori G ₁ și G ₂ pot fi identificate canonic cu două subgrupuri normale
$H_{1}=\{(a_{1},e_{2})\ |\ a_{1}\in G_{1}\}$ ${\ displaystyle H_ {1} = \ {(a_ {1}, e_ {2}) \ | \ a_ {1} \ în G_ {1} \}}$ ${\ displaystyle H_ {1} = \ {(a_ {1}, e_ {2}) \ | \ a_ {1} \ în G_ {1} \}}$
$H_{2}=\{(e_{1},a_{2})\ |\ a_{2}\in G_{2}\}$ ${\ displaystyle H_ {2} = \ {(e_ {1}, a_ {2}) \ | \ a_ {2} \ în G_ {2} \}}$ ${\ displaystyle H_ {2} = \ {(e_ {1}, a_ {2}) \ | \ a_ {2} \ în G_ {2} \}}$
respectiv. De fapt, cele două aplicații
$f_{1}:G_{1}\to H_{1}\quad f_{1}(a_{1})=(a_{1},e_{2})$ ${\ displaystyle f_ {1}: G_ {1} \ to H_ {1} \ quad f_ {1} (a_ {1}) = (a_ {1}, e_ {2})}$ ${\ displaystyle f_ {1}: G_ {1} \ to H_ {1} \ quad f_ {1} (a_ {1}) = (a_ {1}, e_ {2})}$
$f_{2}:G_{2}\to H_{2}\quad f_{2}(a_{2})=(e_{1},a_{2})$ ${\ displaystyle f_ {2}: G_ {2} \ to H_ {2} \ quad f_ {2} (a_ {2}) = (e_ {1}, a_ {2})}$ ${\ displaystyle f_ {2}: G_ {2} \ to H_ {2} \ quad f_ {2} (a_ {2}) = (e_ {1}, a_ {2})}$
sunt izomorfisme ale grupurilor.
Produsul a două grupuri finite având n și m elemente este un grup cu elemente nm .
Produsul a două grupuri abeliene este abelian.
Produsul a două grupări ciclice cu elemente p și q este ciclic dacă și numai dacă p și q sunt coprimi .

O extensie a conceptului de produs direct este produsul semi- direct între grupuri.

Exemplu

Produsul direct din n copii ale aceluiași grup G este notat cu G ⁿ . De exemplu, obținem grupele Z ⁿ și R ⁿ pornind de la grupurile Z și R ale numerelor întregi și respectiv ale numerelor reale .

Facilități suplimentare

Inele

Dacă A și B sunt două inele , produsul lor direct A × B are o structură naturală a inelului, obținută prin definirea atât a sumei, cât și a produsului de la termen la termen ca mai sus. De fapt, în produsul direct există zero divizori $(a,0_{B})\cdot (0_{A},b)=0_{A\times B}$ ${\ displaystyle (a, 0_ {B}) \ cdot (0_ {A}, b) = 0_ {A \ times B}}$ ${\ displaystyle (a, 0_ {B}) \ cdot (0_ {A}, b) = 0_ {A \ times B}}$

Spații vectoriale

Produsul direct V × W a două spații vectoriale are o structură naturală a spațiului vectorial, obținută prin definirea sumei și a produsului la scară termen cu termen. Prin urmare:

\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)

{\ displaystyle \ lambda (v, w) = (\ lambda v, \ lambda w)}

{\ displaystyle \ lambda (v, w) = (\ lambda v, \ lambda w)}

Dacă două sub spații U și W ale unui spațiu vectorial V sunt în sumă directă , atunci subspaiul U + W pe care îl generează este izomorf pentru produsul lor direct U × W.

Cel mai important exemplu de produs direct al spațiilor vectoriale este K ⁿ , definit ca produsul direct din n copii ale câmpului K.

Câmpuri

Produsul direct al două câmpuri este cu siguranță un inel, dar nu este niciodată un câmp (cu excepția cazului în care unul dintre cele două câmpuri este banal). De fapt, elementul ( a , 0) nu are niciodată un invers dacă a este diferit de zero.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică