Complement (teoria grupului)

În algebră , și în special în teoria grupurilor, un complement al unui subgrup $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ a unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subgrup $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât

$G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ ${\ displaystyle G = HK = \ {hk: h \ în H, k \ în K \}}$ ${\ displaystyle G = HK = \ {hk: h \ în H, k \ în K \}}$
$H\cap K=\{e_{G}\}$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e_ {G} \}}$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e_ {G} \}}$

Acest lucru este echivalent cu a spune că fiecare element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ are o expresie unică ca produs $g=hk$ ${\ displaystyle g = hk}$ ${\ displaystyle g = hk}$ unde este $h\in H$ ${\ displaystyle h \ în H}$ ${\ displaystyle h \ în H}$ Și $k\in K$ ${\ displaystyle k \ în K}$ $k \ în K$ . Nici $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ nici $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ trebuie să fie neapărat subgrupuri normale de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Teorema

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup e $H., K.$ ${\ displaystyle H, K}$ ${\ displaystyle H, K}$ subgrupuri de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , de sine

$H\cap K=\{e_{G}\}$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e_ {G} \}}$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e_ {G} \}}$ ,
$G=HK$ ${\ displaystyle G = HK}$ ${\ displaystyle G = HK}$ ,
$H., K.$ ${\ displaystyle H, K}$ ${\ displaystyle H, K}$ subgrupuri normale de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ,

atunci avem asta $G\cong H\times K$ ${\ displaystyle G \ cong H \ times K}$ ${\ displaystyle G \ cong H \ times K}$ și deci și $HK\cong H\times K$ ${\ displaystyle HK \ cong H \ times K}$ ${\ displaystyle HK \ cong H \ times K}$ .

Bibliografie

NS Gopalakrishnan , Algebră universitară , New age international, 1986, ISBN 0-85226-338-4

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică