Teorema restului

Calcul literal

În algebră , teorema restului vă permite să determinați restul unui polinom întreg $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ în divizarea printr-un binom al formei $(x-a)$ ${\ displaystyle (xa)}$ $(x-a)$ fără a fi nevoie să efectueze divizarea. Se afirmă că restul acestei diviziuni este egal cu valoarea pe care o ia polinomul $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ ^[1] .

Prin divizarea unui polinom $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ pentru un polinom $D(x)$ ${\ displaystyle D (x)}$ $D (x)$ , avem o relație de genul:

P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),

{\ displaystyle P (x) = D (x) \ cdot Q (x) + R (x),}

P (x) = D (x) \ cdot Q (x) + R (x),

unde este $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ este un polinom de grad mai mic decât cel de $D(x)$ ${\ displaystyle D (x)}$ $D (x)$ . În special, dacă $D(x)=x-a$ ${\ displaystyle D (x) = xa}$ $D (x) = x-a$ , relația devine:

P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,

{\ displaystyle P (x) = (xa) \ cdot Q (x) + r,}

P (x) = (x-a) \ cdot Q (x) + r,

unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este o constantă numerică. Prin plasare $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ primesti:

P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r,

{\ displaystyle P (a) = (aa) \ cdot Q (a) + r = r,}

P (a) = (a-a) \ cdot Q (a) + r = r,

asa de : $P(a)=r$ ${\ displaystyle P (a) = r}$ ${\ displaystyle P (a) = r}$ asta este ceea ce vrem să demonstrăm.

Teorema lui Ruffini

Un corolar evident al teoremei restului este teorema lui Ruffini ^[2] :

Un polinom

P(x)

${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este divizibil cu

(x-a)

${\ displaystyle (xa)}$ $(x-a)$ dacă și numai dacă restul este zero și atunci

P(a)=0

${\ displaystyle P (a) = 0}$ $P (a) = 0$ .

În acest fel devine posibil să se determine divizibilitatea pentru un binom $(x-a)$ ${\ displaystyle (xa)}$ $(x-a)$ fără a efectua împărțirea.

Notă

^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.23
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24

Bibliografie

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.23

[2] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24

[1]

[2]