Monomio

Calcul literal

În matematică, un monom este o expresie algebrică constând dintr-un coeficient și o parte literală în care printre litere apar multiplicări și elevamente la putere având exponent natural ^[1] .

Trei exemple sunt enumerate mai jos:

$3x$ ${\ displaystyle 3x}$ ${\ displaystyle 3x}$ ;
$x^{2}y$ ${\ displaystyle x ^ {2} y}$ ${\ displaystyle x ^ {2} y}$ ;
$-x^{n}$ ${\ displaystyle -x ^ {n}}$ ${\ displaystyle -x ^ {n}}$ .

În ultimul exemplu, exponentul n este un număr natural nespecificat. În unele cazuri se admite prezența în monomial a exponenților negativi și vorbim de „monomii fracționari” (sau „fracțiuni”): în acest caz, monomiul este de fapt o fracție algebrică ^[2] :

2x^{2}y^{-3}z=2{\frac {x^{2}z}{y^{3}}}.

{\ displaystyle 2x ^ {2} y ^ {- 3} z = 2 {\ frac {x ^ {2} z} {y ^ {3}}}.}

{\ displaystyle 2x ^ {2} y ^ {- 3} z = 2 {\ frac {x ^ {2} z} {y ^ {3}}}.}

Uneori este admisă și operația de extragere a rădăcinii . ^[3] Monomiile cu exponenți întregi exclusiv pozitivi sunt numiți „numere întregi”.

Într-un monomiu nu apar sume sau scăderi , deci o expresie ca $x+3xy$ ${\ displaystyle x + 3xy}$ ${\ displaystyle x + 3xy}$ , unde apar și sume algebrice, se numește polinom ; un polinom este deci o sumă algebrică a monomiilor ^[4] .

Coeficient și parte literală

Fiecare monomiu este împărțit în două părți:

coeficientul monomial este termenul cu valoare numerică explicită, care se găsește de obicei la începutul monomiului și când acesta este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este de obicei implicat;
partea literală a monomiului constă din setul de litere, adesea scrise cu litere mici ^[5] .

De exemplu monomiul $6x^{2}y$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} y}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} y}$ are coeficientul 6 și partea literală $x^{2}y$ ${\ displaystyle x ^ {2} y}$ ${\ displaystyle x ^ {2} y}$ .

Monomiile $X y,$ ${\ displaystyle xy,}$ ${\ displaystyle xy,}$ Și $-x^{n}$ ${\ displaystyle -x ^ {n}}$ ${\ displaystyle -x ^ {n}}$ au coeficient $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ respectiv.

În unele contexte, coeficientul poate conține constante nenumerice, indicate cu litere. De exemplu expresia $2ax^{2}$ ${\ displaystyle 2ax ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2ax ^ {2}}$ poate indica un monomial având coeficient $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ ${\ displaystyle 2a}$ și parțial literal $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ . De obicei, este menit să facă distincția între acele litere precum $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ care reprezintă constante și alte litere precum $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care reprezintă variabilele.

Un monomial fără o parte literală se numește „constantă”.

Gradul unui monom

Gradul general al unui monom este suma algebrică a exponenților părții literale. De exemplu, monomiul $5x^{2}$ ${\ displaystyle 5x ^ {2}}$ $5x ^ {2}$ are gradul 2. Variabilele fără exponent au exponentul 1 ca de obicei, chiar dacă nu sunt indicate explicit: prin urmare $3xy^{3}$ ${\ displaystyle 3xy ^ {3}}$ ${\ displaystyle 3xy ^ {3}}$ are grad $1+3=4$ ${\ displaystyle 1 + 3 = 4}$ ${\ displaystyle 1 + 3 = 4}$ din moment ce variabilele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ au exponentul 1 și respectiv 3.

Gradul unui monomiu față de o literă este dat în schimb de exponentul care posedă litera respectivă. De exemplu, monomiul $3a^{3}b^{6}c$ ${\ displaystyle 3a ^ {3} b ^ {6} c}$ ${\ displaystyle 3a ^ {3} b ^ {6} c}$ posedă grad $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ decât scrisoarea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , grad $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ decât scrisoarea $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și gradul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ decât scrisoarea $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . ^[6]

Monomiile constante sunt tocmai cele cu grad zero.

Mononime similare

Monomiile reduse în formă normală având aceeași parte literală, cu aceiași exponenți, se numesc „monomii similari” ^[7] . De exemplu, cele enumerate mai jos sunt monomii similari:

$3xz$ ${\ displaystyle 3xz}$ ${\ displaystyle 3xz}$ ;
$-{\frac {3}{2}}xz$ ${\ displaystyle - {\ frac {3} {2}} xz}$ ${\ displaystyle - {\ frac {3} {2}} xz}$ ;
$-5xz$ ${\ displaystyle -5xz}$ ${\ displaystyle -5xz}$ .

Următoarele sunt, de asemenea, monomii similari:

${\frac {3}{7}}y^{2}z^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {7}} y ^ {2} z ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {7}} y ^ {2} z ^ {3}}$ ;
$y^{2}z^{3}$ ${\ displaystyle y ^ {2} z ^ {3}}$ ${\ displaystyle y ^ {2} z ^ {3}}$ ;
$-y^{2}z^{3}$ ${\ displaystyle -y ^ {2} z ^ {3}}$ ${\ displaystyle -y ^ {2} z ^ {3}}$ .

Dintre acestea, se spune că doi monomi având coeficientul cu valoare absolută egală și semn opus sunt opuși, în timp ce doi monomi având același coeficient se vor spune că sunt egali.

0 se numește „monom nul”.

Operații între monomii

Adaos algebric

Suma algebrică a două sau mai multe monomii asemănătoare este un monomial similar acestora, unde coeficientul este suma algebrică a coeficienților monomilor simpli. Când monomiile nu sunt similare, suma nu poate fi aplicată și expresia rămâne neschimbată. Când avem o expresie cu mai multe monomii, trebuie să încercăm întotdeauna să adăugăm termeni similari până ajungem la o formă care nu mai poate fi modificată ^[8] .

Adăugarea algebrică a monomiilor similari

Adăugarea algebrică între monomii similari este o operație internă, adică are ca rezultat un monom similar cu cei dați al căror coeficient este suma algebrică a coeficienților. Operațional, partea literală este colectată ca un factor comun , prin aplicarea proprietății distributive a înmulțirii cu privire la adunarea în sens invers, și apoi se efectuează suma coeficienților numerici. Exemple simple sunt date de următoarele sume:

5b\,-3b\,+6b=(+5\,-3\,+6)b=8b

{\ displaystyle 5b \, - 3b \, + 6b = (+ 5 \, - 3 \, + 6) b = 8b}

{\ displaystyle 5b \, - 3b \, + 6b = (+ 5 \, - 3 \, + 6) b = 8b}

{\frac {1}{2}}a\,-{\frac {5}{3}}a\,+6a=\left({\frac {1}{2}}\,-{\frac {5}{3}}\,+6\right)a=\left({\frac {3-10+36}{6}}\right)a={\frac {29}{6}}a

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} a \, - {\ frac {5} {3}} a \, + 6a = \ left ({\ frac {1} {2}} \, - { \ frac {5} {3}} \, + 6 \ right) a = \ left ({\ frac {3-10 + 36} {6}} \ right) a = {\ frac {29} {6}} la}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} a \, - {\ frac {5} {3}} a \, + 6a = \ left ({\ frac {1} {2}} \, - { \ frac {5} {3}} \, + 6 \ right) a = \ left ({\ frac {3-10 + 36} {6}} \ right) a = {\ frac {29} {6}} la}

2x^{2}y+5x^{2}y=7x^{2}y

{\ displaystyle 2x ^ {2} y + 5x ^ {2} y = 7x ^ {2} y}

2x ^ {2} y + 5x ^ {2} y = 7x ^ {2} y

Adăugarea algebrică a monomiilor care nu seamănă între ele

Când monomiile nu sunt similare, adăugarea algebrică nu duce la simplificări, expresia rămâne neschimbată și rezultatul nu mai este un monom, ci un polinom :

3a-y+{\frac {2}{5}}z.

{\ displaystyle 3a-y + {\ frac {2} {5}} z.}

{\ displaystyle 3a-y + {\ frac {2} {5}} z.}

Adăugarea algebrică a monomiilor similari și non-similari

Suma algebrică se face numai între monomii similari, lăsându-i pe ceilalți neschimbați:

2a+3x-3a+7xy+6a-2b=(2-3+6)a+3x+7xy-2b=5a+3x+7xy-2b.

{\ displaystyle 2a + 3x-3a + 7xy + 6a-2b = (2-3 + 6) a + 3x + 7xy-2b = 5a + 3x + 7xy-2b.}

{\ displaystyle 2a + 3x-3a + 7xy + 6a-2b = (2-3 + 6) a + 3x + 7xy-2b = 5a + 3x + 7xy-2b.}

Acest proces este denumit și „termeni similari de reducere”.

Produs

Produsul a două sau mai multe monomii este monomiul care are ca coeficient produsul coeficienților monomilor unici și ca parte literală produsul părților lor literal. Fiecare factor literal are exponentul egal cu suma exponenților pe care îi are în monomii simpli ^[9] . Prin urmare, înmulțirea între monomii este posibilă chiar și atunci când monomiile nu sunt similare.

Luând în considerare de exemplu produsul dintre $5ab^{3}y^{2}$ ${\ displaystyle 5ab ^ {3} y ^ {2}}$ $5ab ^ {3} y ^ {2}$ Și $-3a^{3}b^{5}$ ${\ displaystyle -3a ^ {3} b ^ {5}}$ $-3a ^ {3} b ^ {5}$ , produsul coeficienților este:

5\cdot (-3)=-15,

{\ displaystyle 5 \ cdot (-3) = - 15,}

{\ displaystyle 5 \ cdot (-3) = - 15,}

în timp ce cel al părților literal este:

{\textstyle ab^{3}y^{2}\cdot a^{3}b^{5}=a\cdot a^{3}\cdot b^{3}\cdot b^{5}\cdot y^{2}=a^{1+3}b^{3+5}y^{2}=a^{4}b^{8}y^{2},}

{\ textstyle ab ^ {3} y ^ {2} \ cdot a ^ {3} b ^ {5} = a \ cdot a ^ {3} \ cdot b ^ {3} \ cdot b ^ {5} \ cdot y ^ {2} = a ^ {1 + 3} b ^ {3 + 5} y ^ {2} = a ^ {4} b ^ {8} y ^ {2},}

{\ textstyle ab ^ {3} y ^ {2} \ cdot a ^ {3} b ^ {5} = a \ cdot a ^ {3} \ cdot b ^ {3} \ cdot b ^ {5} \ cdot y ^ {2} = a ^ {1 + 3} b ^ {3 + 5} y ^ {2} = a ^ {4} b ^ {8} y ^ {2},}

prin urmare, produsul monomilor unici se dovedește a fi

5ab^{3}y^{2}\cdot (-3a^{3}b^{5})=-15a^{4}b^{8}y^{2}.

{\ displaystyle 5ab ^ {3} y ^ {2} \ cdot (-3a ^ {3} b ^ {5}) = - 15a ^ {4} b ^ {8} y ^ {2}.}

{\ displaystyle 5ab ^ {3} y ^ {2} \ cdot (-3a ^ {3} b ^ {5}) = - 15a ^ {4} b ^ {8} y ^ {2}.}

Alte exemple de multiplicare între monomii:

4ay\cdot 3a^{2}x=12a^{3}xy;

{\ displaystyle 4ay \ cdot 3a ^ {2} x = 12a ^ {3} xy;}

{\ displaystyle 4ay \ cdot 3a ^ {2} x = 12a ^ {3} xy;}

-4x^{2}y^{2}\cdot -{\frac {1}{2}}x^{3}z=2x^{5}y^{2}z;

{\ displaystyle -4x ^ {2} y ^ {2} \ cdot - {\ frac {1} {2}} x ^ {3} z = 2x ^ {5} y ^ {2} z;}

{\ displaystyle -4x ^ {2} y ^ {2} \ cdot - {\ frac {1} {2}} x ^ {3} z = 2x ^ {5} y ^ {2} z;}

2xy\cdot 3x^{2}a\cdot -x^{4}a^{3}b=-6x^{7}ya^{4}b.

{\ displaystyle 2xy \ cdot 3x ^ {2} a \ cdot -x ^ {4} a ^ {3} b = -6x ^ {7} ya ^ {4} b.}

{\ displaystyle 2xy \ cdot 3x ^ {2} a \ cdot -x ^ {4} a ^ {3} b = -6x ^ {7} ya ^ {4} b.}

Exponențierea

Puterea unui monomiu este monomiul care are ca coeficient puterea coeficientului și ca parte literală puterea fiecărui factor literal al monomiului ^[10] . Având în vedere monomiul $-2ab^{3}x^{2}$ ${\ displaystyle -2ab ^ {3} x ^ {2}}$ $-2ab ^ {3} x ^ {2}$ calcularea cubului său înseamnă multiplicarea monomului de 3 ori de la sine:

(-2ab^{3}x^{2})^{3}=(-2ab^{3}x^{2})\cdot (-2ab^{3}x^{2})\cdot (-2ab^{3}x^{2}),

{\ displaystyle (-2ab ^ {3} x ^ {2}) ^ {3} = (- 2ab ^ {3} x ^ {2}) \ cdot (-2ab ^ {3} x ^ {2}) \ cdot (-2ab ^ {3} x ^ {2}),}

{\ displaystyle (-2ab ^ {3} x ^ {2}) ^ {3} = (- 2ab ^ {3} x ^ {2}) \ cdot (-2ab ^ {3} x ^ {2}) \ cdot (-2ab ^ {3} x ^ {2}),}

care pentru regulile de produs văzute mai sus devine:

(-2ab^{3}x^{2})^{3}=-8a^{3}b^{9}x^{6}.

{\ displaystyle (-2ab ^ {3} x ^ {2}) ^ {3} = - 8a ^ {3} b ^ {9} x ^ {6}.}

{\ displaystyle (-2ab ^ {3} x ^ {2}) ^ {3} = - 8a ^ {3} b ^ {9} x ^ {6}.}

Alte puteri ale monomiilor sunt:

(2xy^{2})^{3}=2^{3}x^{3}(y^{2})^{3}=8x^{3}y^{6};

{\ displaystyle (2xy ^ {2}) ^ {3} = 2 ^ {3} x ^ {3} (y ^ {2}) ^ {3} = 8x ^ {3} y ^ {6};}

{\ displaystyle (2xy ^ {2}) ^ {3} = 2 ^ {3} x ^ {3} (y ^ {2}) ^ {3} = 8x ^ {3} y ^ {6};}

(-{\frac {1}{3}}x^{3}yz^{2})^{2}={\frac {1}{9}}x^{6}y^{2}z^{4}.

{\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}} x ^ {3} yz ^ {2}) ^ {2} = {\ frac {1} {9}} x ^ {6} y ^ {2 } z ^ {4}.}

{\ displaystyle (- {\ frac {1} {3}} x ^ {3} yz ^ {2}) ^ {2} = {\ frac {1} {9}} x ^ {6} y ^ {2 } z ^ {4}.}

Divizia

În unele cazuri foarte particulare, coeficientul a două monomii este, de asemenea, un monomiu:

Exemplu

2x^{2}y/xy=2x

{\ displaystyle 2x ^ {2} y / xy = 2x}

2x ^ {2} y / xy = 2x

Acest lucru se întâmplă, totuși, numai în cazuri foarte particulare, adică atunci când gradul de divizare monomială este mai mare sau egal cu divizorul monomial și când literele care apar în divizor se găsesc, cu grad mai mare sau egal, și în dividend . În general, un monomiu care conține litere nu are invers (în ceea ce privește multiplicarea ). De exemplu, având în vedere monomiul $2xy$ ${\ displaystyle 2xy}$ $2xy$ nu există alt monomial decât, înmulțit cu $2xy$ ${\ displaystyle 2xy}$ $2xy$ , returnează 1. Acest lucru se datorează faptului că înmulțirea monomiilor poate crește doar numărul de litere implicate și nu le poate elimina.

Mai mult, diviziunea nu este posibilă atunci când divizorul este, adică monomul nul.

Cel mai mic multiplu comun

Același subiect în detaliu: Cel mai mic multiplu comun .

Cel mai mic multiplu comun între doi sau mai mulți monomi este definit ca acel monomiu de cel mai mic grad, care este divizibil cu monomii dați ^[11] . Cel mai mic multiplu comun între doi monomi este infinit, de fapt pot avea orice coeficient.

Pentru a determina partea literală a celui mai mic multiplu comun între două monomii, sunt luate toate literele, comune și mai puțin frecvente, ale monomiilor cu exponentul lor maxim.

În ceea ce privește coeficientul, prin convenție, cel mai mic multiplu comun al coeficienților este utilizat atunci când este posibil să se calculeze, altfel 1.

Exemplu:

{\text{mcm}}(2x^{2}y^{2};3x^{3}yz^{2})=6x^{3}y^{2}z^{2}

{\ displaystyle {\ text {mcm}} (2x ^ {2} y ^ {2}; 3x ^ {3} yz ^ {2}) = 6x ^ {3} y ^ {2} z ^ {2}}

{\ displaystyle {\ text {mcm}} (2x ^ {2} y ^ {2}; 3x ^ {3} yz ^ {2}) = 6x ^ {3} y ^ {2} z ^ {2}}

{\text{mcm}}\left(-{\frac {2}{3}}xy^{3}z^{4};3xy^{2}z^{5}\right)=xy^{3}z^{5}.

{\ displaystyle {\ text {mcm}} \ left (- {\ frac {2} {3}} xy ^ {3} z ^ {4}; 3xy ^ {2} z ^ {5} \ right) = xy ^ {3} z ^ {5}.}

{\ displaystyle {\ text {mcm}} \ left (- {\ frac {2} {3}} xy ^ {3} z ^ {4}; 3xy ^ {2} z ^ {5} \ right) = xy ^ {3} z ^ {5}.}

Cel mai mare divizor comun

Același subiect în detaliu: Cel mai mare divizor comun .

Divizorul comun maxim între doi monomi este definit ca acel monom de grad maxim care împarte cele două date. Cei mai mari divizori comuni între doi monomi sunt infiniti, de fapt pot avea orice coeficient.

Alte definiții

Monomiile descrise mai sus sunt toate în „formă normală”, care este exprimată ca un singur coeficient numeric care înmulțește literele, fiecare dintre acestea apare o singură dată cu un anumit exponent. Totuși, același monomiu poate fi exprimat și în alte forme, prin poziționarea elementelor sale într-un mod diferit. De exemplu, scripturile

4x^{2}y,\quad 4xyx,\quad 2y2x^{2}

{\ displaystyle 4x ^ {2} y, \ quad 4xyx, \ quad 2y2x ^ {2}}

4x ^ {2} y, \ quad 4xyx, \ quad 2y2x ^ {2}

toate reprezintă același monom, scris în moduri diferite. Numai primul dintre ele reprezintă monomiul în formă normală.

Notă

^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294
^ Enciclopedia Treccani , pe treccani.it .
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.326
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.295
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.295
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.296
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.297
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.297
^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-Algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.301

Bibliografie

Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-Algebra 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « monomial »

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294

[2] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294

[3] Enciclopedia Treccani , pe treccani.it .

[4] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.326

[5] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.294

[6] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.295

[7] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.295

[8] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.296

[9] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.297

[10] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.297

[11] Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Curs de matematică-Algebră 1 , Ghisetti și Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5 . p.301

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]