Produs remarcabil

Calcul literal

În matematică , un produs remarcabil ^[1] este o identitate care apare adesea în calculul literal , în special pentru a face produsul polinoamelor de forme particulare. Produsele notabile permit efectuarea calculelor mai rapid decât aplicarea directă a regulilor calculului literal (cum ar fi înmulțirea a două polinoame ). Mai mult, recunoașterea unui produs remarcabil este utilă pentru luarea în considerare a polinoamelor sau a altor expresii algebrice. ^[1]

Pătratul sumei algebrice a doi termeni și suma algebrică a trei termeni

Pătratul unui binom generic sau mai general suma algebrică a doi termeni $(A+B)$ ${\ displaystyle (A + B)}$ $(A + B)$ poate fi exprimat ca ^[2] ^[3] :

(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+B^{2}+AB=A^{2}+2AB+B^{2}\,\!

{\ displaystyle (A + B) ^ {2} = (A + B) (A + B) = A ^ {2} + AB + B ^ {2} + AB = A ^ {2} + 2AB + B ^ {2} \, \!}

(A + B) ^ {2} = (A + B) (A + B) = A ^ {2} + AB + B ^ {2} + AB = A ^ {2} + 2AB + B ^ {2} \, \!

.

Dacă binomul are o scădere atunci pătratul său va fi:

(A-B)^{2}=(A-B)(A-B)=A^{2}-AB-AB+B^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\,\!

{\ displaystyle (AB) ^ {2} = (AB) (AB) = A ^ {2} -AB-AB + B ^ {2} = A ^ {2} -2AB + B ^ {2} \, \ !}

(A-B) ^ {2} = (A-B) (A-B) = A ^ {2} -AB-AB + B ^ {2} = A ^ {2} -2AB + B ^ {2} \, \!

.

Cele două formule pot fi unificate după cum urmează:

(A\pm B)^{2}=A^{2}\pm 2AB+B^{2}\,\!

{\ displaystyle (A \ pm B) ^ {2} = A ^ {2} \ pm 2AB + B ^ {2} \, \!}

(A \ pm B) ^ {2} = A ^ {2} \ pm 2AB + B ^ {2} \, \!

.

Demonstrație grafică a formulei pentru calcularea pătratului unui binom

În general putem spune că: Dezvoltarea pătratului sumei algebrice a doi termeni este egală cu suma dintre pătratul primului termen, dublul produsului dintre cei doi termeni și pătratul celui de-al doilea termen .

Figura reprezintă un pătrat a cărui latură este suma celor două valori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Prin urmare, zona sa merită $(a+b)^{2}$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {2}}$ $(a + b) ^ {2}$ . Dar acest lucru se obține și prin adăugarea suprafeței pătratului galben ( $a^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2}}$ $a ^ 2$ ), din zonele celor două dreptunghiuri albastre ( $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ pentru fiecare) și aria pătratului purpuriu ( $b^{2}$ ${\ displaystyle b ^ {2}}$ $b ^ 2$ ).

Pătratul sumei algebrice a trei termeni poate fi exprimat ca ^[4] :

(A+B+C)^{2}=(A+B+C)(A+B+C)=\,\!

{\ displaystyle (A + B + C) ^ {2} = (A + B + C) (A + B + C) = \, \!}

(A + B + C) ^ {2} = (A + B + C) (A + B + C) = \, \!

=A^{2}+AB+AB+AC+B^{2}+AC+BC+BC+C^{2}=\,\!

{\ displaystyle = A ^ {2} + AB + AB + AC + B ^ {2} + AC + BC + BC + C ^ {2} = \, \!}

= A ^ {2} + AB + AB + AC + B ^ {2} + AC + BC + BC + C ^ {2} = \, \!

=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2AC+2BC\,\!

{\ displaystyle = A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + 2AB + 2AC + 2BC \, \!}

= A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + 2AB + 2AC + 2BC \, \!

.

Formulele de mai sus pot fi generalizate cu ușurință în cazul polinoamelor compuse din mai mult de două monomii . În general, se poate spune că:

Pătratul unui polinom este egal cu suma pătratelor tuturor termenilor plus produsul dublu al fiecărui termen pentru fiecare dintre cei care îl urmează.

Cubul unui binom

Cubul unui binom poate fi exprimat ca ^[5] ^[6] :

(x+y)^{3}=(x+y)^{2}(x+y)=x^{3}+x^{2}y+2xy^{2}+2x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!

{\ displaystyle (x + y) ^ {3} = (x + y) ^ {2} (x + y) = x ^ {3} + x ^ {2} y + 2xy ^ {2} + 2x ^ { 2} y + xy ^ {2} + y ^ {3} = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3} \, \!}

(x + y) ^ {3} = (x + y) ^ {2} (x + y) = x ^ {3} + x ^ {2} y + 2xy ^ {2} + 2x ^ {2} y + xy ^ {2} + y ^ {3} = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3} \, \!

și dacă binomul are o scădere:

(x-y)^{3}=(x-y)^{2}(x-y)=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,\!

{\ displaystyle (xy) ^ {3} = (xy) ^ {2} (xy) = x ^ {3} -3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} -y ^ {3} \, \! }

(x-y) ^ {3} = (x-y) ^ {2} (x-y) = x ^ {3} -3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} -y ^ {3} \, \!

.

Cele două formule pot fi unificate după cum urmează:

(x\pm y)^{3}=x^{3}\pm 3x^{2}y+3xy^{2}\pm y^{3}\,\!

{\ displaystyle (x \ pm y) ^ {3} = x ^ {3} \ pm 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} \ pm y ^ {3} \, \!}

(x \ pm y) ^ {3} = x ^ {3} \ pm 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} \ pm y ^ {3} \, \!

.

Deci, în general, putem spune:

Cubul binomial este un polinom format din suma cubului primului termen al binomului, cu cubul celui de-al doilea termen, cu triplul produsului pătratului primului termen cu al doilea, cu triplul lui produsul pătratului celui de-al doilea termen de primul, fiecare luat cu semnul său.

Scrierea acestor formule cu privire la termenii cubici din a și b este cunoscută sub numele de formula lui Waring și este necesară în soluția sistemelor simetrice , în care toți termenii din x și y sunt înlocuiți cu suma dacă variabilele produsului p.

Cubul unui trinom

Cu materialul didactic Montessori , elevii pot exersa pe cubul trinomial, printr-o reprezentare tridimensională cubică care poate fi descompusă în diferite solide geometrice, câte una pentru fiecare termen al produsului remarcabil.

Cubul unui trinomial poate fi calculat ca:

(x+y+z)^{3}=(x+y+z)^{2}(x+y+z)\,\!

{\ displaystyle (x + y + z) ^ {3} = (x + y + z) ^ {2} (x + y + z) \, \!}

(x + y + z) ^ {3} = (x + y + z) ^ {2} (x + y + z) \, \!

=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)(x+y+z)\,\!

{\ displaystyle = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2xy + 2xz + 2yz) (x + y + z) \, \!}

= (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2xy + 2xz + 2yz) (x + y + z) \, \!

=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}y+3x^{2}z+3y^{2}x+3y^{2}z+3z^{2}x+3z^{2}y+6xyz\,\!

{\ displaystyle = x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3x ^ {2} z + 3y ^ {2} x + 3y ^ {2} z + 3z ^ {2} x + 3z ^ {2} y + 6xyz \, \!}

= x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3x ^ {2} z + 3y ^ {2} x + 3y ^ {2} z + 3z ^ { 2} x + 3z ^ {2} y + 6xyz \, \!

.

În general, se poate spune că:

Cubul unui trinom este egal cu suma cuburilor celor trei termeni, plus produsul triplu al pătratului fiecărui termen pentru fiecare alt termen, plus de șase ori produsul celor trei termeni.

Colectând termenii la pătrat, formula devine:

(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,\!

{\ displaystyle (x + y + z) ^ {3} = x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (y + z) + 3y ^ {2} ( x + z) + 3z ^ {2} (x + y) + 6xyz \, \!}

(x + y + z) ^ {3} = x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (y + z) + 3y ^ {2} (x + z ) + 3z ^ {2} (x + y) + 6xyz \, \!

.

Prin urmare, se poate spune că:

Cubul unui trinom este egal cu suma cuburilor celor trei termeni, plus produsul triplu al pătratului fiecărui termen prin suma celorlalți doi, plus de șase ori produsul celor trei termeni.

Există, de asemenea, o formă mai puțin cunoscută pentru exprimarea cubului unui trinom:

(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\,\!

{\ displaystyle (x + y + z) ^ {3} = x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} +3 (x + y) (x + z) (y + z) \ , \!}

(x + y + z) ^ {3} = x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} +3 (x + y) (x + z) (y + z) \, \!

.

Pentru a o verifica, trebuie doar să dezvoltați produsele între paranteze .

Produs din suma a doi termeni prin diferența lor

(x+y)(x-y)=x^{2}-xy+xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}\,\!

{\ displaystyle (x + y) (xy) = x ^ {2} -xy + xy-y ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} \, \!}

(x + y) (x-y) = x ^ {2} -xy + xy-y ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} \, \!

Produsul adunării a doi termeni prin diferența lor este egal cu pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea. Citind egalitatea de la dreapta la stânga, obținem și regula de factorizare a unui polinom egal cu diferența de două pătrate ^[7] .

Prima formulă citită invers, care este văzută ca factorizarea diferenței dintre două pătrate, este generalizată de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ orice în:

x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})=(x-y)\sum _{k=0}^{n-1}x^{(n-1)-k}y^{k}

{\ displaystyle x ^ {n} -y ^ {n} = (xy) (x ^ {n-1} + x ^ {n-2} y + ... + xy ^ {n-2} + y ^ {n-1}) = (xy) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} x ^ {(n-1) -k} y ^ {k}}

x ^ {n} -y ^ {n} = (xy) (x ^ {{n-1}} + x ^ {{n-2}} y + ... + xy ^ {{n-2}} + y ^ {{n-1}}) = (xy) \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} x ^ {{(n-1) -k}} y ^ {{ k}}

.

De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este ciudat, de asemenea, conține:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...-xy^{n-2}+y^{n-1})=(x+y)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{(n-1)-k}y^{k}

{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = (x + y) (x ^ {n-1} -x ^ {n-2} y + ...- xy ^ {n-2} + y ^ {n-1}) = (x + y) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} x ^ {(n-1) -k} y ^ { k}}

x ^ {n} + y ^ {n} = (x + y) (x ^ {{n-1}} - x ^ {{n-2}} y + ...- xy ^ {{n-2 }} + y ^ {{n-1}}) = (x + y) \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} (- 1) ^ {k} x ^ {{( n -1) -k}} y ^ {{k}}

.

Alte cazuri

De asemenea, este obișnuit să găsești acest produs remarcabil cu puteri, dar procesul de rezoluție poate fi realizat în același mod:

(x+y)^{3}(x-y)^{3}=(x^{2}-y^{2})^{3}

{\ displaystyle (x + y) ^ {3} (xy) ^ {3} = (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3}}

(x + y) ^ {3} (x-y) ^ {3} = (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3}

.

Potența rămâne neschimbată și este inclusă în paranteze în produsul remarcabil efectuat. În acest moment aplicăm cubul binomial și rezolvăm expresia după cum urmează:

(x^{2}-y^{2})^{3}=x^{6}-3x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}-y^{6}

{\ displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3} = x ^ {6} -3x ^ {4} y ^ {2} + 3x ^ {2} y ^ {4} -y ^ {6}}

(x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3} = x ^ {6} -3x ^ {4} y ^ {2} + 3x ^ {2} y ^ {4} -y ^ {6 }

.

Cazuri mai puțin evidente

Produsul remarcabil poate fi aplicat și în cazuri mai puțin evidente, de exemplu:

(x+y+z)(x-y-z)=(x+y+z)(x-(y+z))=x^{2}-{(y+z)}^{2}.\,\!

{\ displaystyle (x + y + z) (xyz) = (x + y + z) (x- (y + z)) = x ^ {2} - {(y + z)} ^ {2}. \ , \!}

(x + y + z) (x-y-z) = (x + y + z) (x- (y + z)) = x ^ {2} - {(y + z)} ^ {2}. \, \!

Sau din nou:

(x+y+z)(x+y-z)=(x+y)^{2}-z^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2},\,\!

{\ displaystyle (x + y + z) (x + yz) = (x + y) ^ {2} -z ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} -z ^ {2 }, \, \!}

(x + y + z) (x + yz) = (x + y) ^ {2} -z ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} -z ^ {2}, \ , \!

că în caz $x=a^{2}$ ${\ displaystyle x = a ^ {2}}$ $x = a ^ {2}$ , $y=2b^{2}$ ${\ displaystyle y = 2b ^ {2}}$ $y = 2b ^ {2}$ Și $z=2ab$ ${\ displaystyle z = 2ab}$ $z = 2ab$ , devine:

(a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2})=a^{4}+4b^{4}.\,\!

{\ displaystyle (a ^ {2} + 2ab + 2b ^ {2}) (a ^ {2} -2ab + 2b ^ {2}) = a ^ {4} + 4b ^ {4}. \, \! }

(a ^ {2} + 2ab + 2b ^ {2}) (a ^ {2} -2ab + 2b ^ {2}) = a ^ {4} + 4b ^ {4}. \, \!

.

Prin înlocuire $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în ultima identitate cu $b/{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle b / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle b / {\ sqrt {2}}}$ primești și:

(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})=a^{4}+b^{4}\,\!

{\ displaystyle (a ^ {2} + {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} - {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) = a ^ {4} + b ^ {4} \, \!}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} - {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) = a ^ {4} + b ^ {4} \, \!}

care în orice caz nu este o factorizare cu polinoame cu coeficienți întregi.

Aceste cazuri pot fi numite „atribuibile unei diferențe între pătrate”.

Suma și diferența dintre cuburi

Un binom format din suma a doi termeni de gradul trei poate fi scris ca ^[8] :

\,x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}).

{\ displaystyle \, x ^ {3} + y ^ {3} = (x + y) (x ^ {2} -xy + y ^ {2}).}

{\ displaystyle \, x ^ {3} + y ^ {3} = (x + y) (x ^ {2} -xy + y ^ {2}).}

Un binom format prin diferența de doi termeni de gradul trei poate fi scris ca:

\,x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}).

{\ displaystyle \, x ^ {3} -y ^ {3} = (xy) (x ^ {2} + xy + y ^ {2}).}

{\ displaystyle \, x ^ {3} -y ^ {3} = (x-y) (x ^ {2} + xy + y ^ {2}).}

Cele două formule pot fi unificate scriindu-le ca:

x^{3}\pm y^{3}=(x\pm y)(x^{2}\mp xy+y^{2}).

{\ displaystyle x ^ {3} \ pm y ^ {3} = (x \ pm y) (x ^ {2} \ mp xy + y ^ {2}).}

{\ displaystyle x ^ {3} \ pm y ^ {3} = (x \ pm y) (x ^ {2} \ mp xy + y ^ {2}).}

Trinomul de gradul al doilea este uneori numit pătrat fals deoarece, în ceea ce privește pătratul unui binom, al doilea termen nu are coeficientul $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ și are semnul opus. Mai mult, în setul de numere reale acest trinom nu poate fi niciodată inclus în produsul a doi binomi.

Suma și diferența dintre puteri de același grad

Formula anterioară, care se referă la un binom de gradul III, poate fi generalizată cu următoarele reduceri în câmpul numerelor algebrice , demonstrabile prin trecerea prin rădăcinile complexe conjugate ale $f(x)=x^{n}\pm y^{n}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n} \ pm y ^ {n}}$ $f (x) = x ^ {n} \ pm y ^ {n}$ . ^[9]

Un binom format din suma a două puteri de grad egal egal poate fi scris ca:

\,x^{2n}\ +\ y^{2n}=\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}x^{2}\ \pm \ 2xy\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\ +\ y^{2}{\Bigl )}

{\ displaystyle \, x ^ {2n} \ + \ y ^ {2n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {(2k-1) \ pi} {2n}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}}

\, x ^ {{2n}} \ + \ y ^ {{2n}} = \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {(2k-1) \ pi} {2n}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}

.

Un binom format prin diferența a două puteri de grad egal egal poate fi scris ca:

\,x^{2n}\ -\ y^{2n}=(x\ -\ y)(x\ +\ y)\prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}x^{2}\ \pm \ 2xy\cos {\frac {k\pi }{n}}\ +\ y^{2}{\Bigl )}

{\ displaystyle \, x ^ {2n} \ - \ y ^ {2n} = (x \ - \ y) (x \ + \ y) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {k \ pi} {n}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}}

\, x ^ {{2n}} \ - \ y ^ {{2n}} = (x \ - \ y) (x \ + \ y) \ prod _ {{k = 1}} ^ {{n-1 }} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {k \ pi} n} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}

.

Un binom format din suma sau diferența a două puteri de grad impar impar poate fi scris ca:

\,x^{2n+1}\ \pm \ y^{2n+1}=(x\ \pm \ y)\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}x^{2}\ \pm \ 2xy\cos {\frac {2k\pi }{2n+1}}\ +\ y^{2}{\Bigl )}=(x\ \pm \ y)\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}x^{2}\ \pm \ 2xy(-1)^{k}\cos {\frac {k\pi }{2n+1}}\ +\ y^{2}{\Bigl )}

{\ displaystyle \, x ^ {2n + 1} \ \ pm \ y ^ {2n + 1} = (x \ \ pm \ y) \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {2k \ pi} {2n + 1}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)} = (x \ \ pm \ y) \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy (-1) ^ {k} \ cos {\ frac {k \ pi} {2n + 1}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}}

\, x ^ {{2n + 1}} \ \ pm \ y ^ {{2n + 1}} = (x \ \ pm \ y) \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy \ cos {\ frac {2k \ pi} {2n + 1}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)} = (x \ \ pm \ y) \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} {\ Bigl (} x ^ {2} \ \ pm \ 2xy (-1) ^ {k} \ cos {\ frac {k \ pi} {2n + 1}} \ + \ y ^ {2} {\ Bigl)}

.

De exemplu, în cazul celui de-al cincilea grad, obținem:

x^{5}\pm y^{5}=(x\pm y){\Biggl (}x^{2}\mp {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}xy+y^{2}{\Biggl )}{\Biggl (}x^{2}\mp {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}xy+y^{2}{\Biggl )}

{\ displaystyle x ^ {5} \ pm y ^ {5} = (x \ pm y) {\ Biggl (} x ^ {2} \ mp {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2 }} xy + y ^ {2} {\ Biggl)} {\ Biggl (} x ^ {2} \ mp {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} xy + y ^ {2 } {\ Biggl)}}

x ^ {5} \ pm y ^ {5} = (x \ pm y) {\ Biggl (} x ^ {2} \ mp {\ frac {1 - {\ sqrt 5}} 2} xy + y ^ { 2} {\ Biggl)} {\ Biggl (} x ^ {2} \ mp {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2} xy + y ^ {2} {\ Biggl)}

,

în timp ce în cazul sumei celui de-al patrulea grad, obținem:

x^{4}+y^{4}=(x^{2}-{\sqrt {2}}xy+y^{2})(x^{2}+{\sqrt {2}}xy+y^{2})

{\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = (x ^ {2} - {\ sqrt {2}} xy + y ^ {2}) (x ^ {2} + {\ sqrt {2} } xy + y ^ {2})}

x ^ {4} + y ^ {4} = (x ^ {2} - {\ sqrt 2} xy + y ^ {2}) (x ^ {2} + {\ sqrt 2} xy + y ^ {2 })

.

Puterea a n- a a unui binom sau a sumei algebrice a doi termeni

Același subiect în detaliu: teorema binomială .

O combinație ridicată la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a puterea poate fi scrisă ca:

(A+B)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}A^{(n-k)}B^{k}\,\!

{\ displaystyle (A + B) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} A ^ {(nk)} B ^ {k} \, \!}

(A + B) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} A ^ {{(n-k)}} B ^ {k} \, \!

,

unde este ${n \choose k}$ ${\ displaystyle {n \ alege k}}$ ${n \ alege k}$ este coeficientul binomial .

Puterea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea a binomului sau a sumei algebrice a doi termeni este compusă din $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ termeni, dintre care doi sunt de putere $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și coeficientul unității. Exponenții $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ scad din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a, în timp ce cei din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cresc de la la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Coeficienții binomiali pot fi determinați nu numai cu factoriali, ci și cu triunghiul lui Tartaglia .

Notă

^ ^a ^b youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/270-prodotti-notevoli.html .
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15
^ youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/950-quadrato-del-binomio.html .
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15
^ youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/951-cubo-di-binomio.html .
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.29
^ Descompunerea ciclotomică a ${\mathit {\color {Blue}{a^{n}\pm b^{n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}}$ ${\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}$ , Factorizarea ciclotomică a ${\mathit {\color {Blue}{a^{n}\pm b^{n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}}$ ${\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}$ , pp. 20-25

Bibliografie

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

linkuri externe

Explicația semnificației geometrice a produselor remarcabile , pe rubiconrivergame.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:0-1] youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/270-prodotti-notevoli.html .

[2] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15

[3] youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/950-quadrato-del-binomio.html .

[4] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16

[5] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15

[6] youmath.it , https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/951-cubo-di-binomio.html .

[7] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16

[8] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.29

[9] Descompunerea ciclotomică a ${\mathit {\color {Blue}{a^{n}\pm b^{n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}}$ ${\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}$ , Factorizarea ciclotomică a ${\mathit {\color {Blue}{a^{n}\pm b^{n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}}$ ${\ mathit {\ color {Blue} {a ^ {n} \ pm b ^ {n}}}}$ , pp. 20-25

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]