Sistem simetric

Se spune că un sistem de două ecuații cu două necunoscute este simetric atunci când, prin schimbul necunoscutelor (adică înlocuirea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ si $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ), ecuațiile sistemului nu se modifică.

Tipuri de sisteme simetrice

Următoarele sisteme sunt simetrice:

\left\{{\begin{matrix}3x+3y=2\\5xy=-6\end{matrix}}\right.\qquad \left\{{\begin{matrix}9x^{2}+9y^{2}=10\\x+y=2/3\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 3x + 3y = 2 \\ 5xy = -6 \ end {matrix}} \ right. \ qquad \ left \ {{\ begin {matrix} 9x ^ {2} + 9y ^ {2} = 10 \\ x + y = 2/3 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 3x + 3y = 2 \\ 5xy = -6 \ end {matrix}} \ right. \ qquad \ left \ {{\ begin {matrix} 9x ^ {2} + 9y ^ {2} = 10 \\ x + y = 2/3 \ end {matrix}} \ right.}

Observăm că în fiecare ecuație , redusă la forma normală , a unui sistem simetric se întâmplă întotdeauna că dacă conține, de exemplu, termenul $3x^{2}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ trebuie să conțină și termenul $3y^{2}$ ${\ displaystyle 3y ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3y ^ {2}}$ ; dacă conține termenul $6x^{2}y$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} y}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} y}$ trebuie să conțină și termenul $6xy^{2}$ ${\ displaystyle 6xy ^ {2}}$ ${\ displaystyle 6xy ^ {2}}$ si asa mai departe. Apoi este evident că dacă $x=\alpha ,y=\beta$ ${\ displaystyle x = \ alpha, y = \ beta}$ ${\ displaystyle x = \ alpha, y = \ beta}$ este și o soluție a unui sistem simetric $x=\beta ,y=\alpha$ ${\ displaystyle x = \ beta, y = \ alpha}$ ${\ displaystyle x = \ beta, y = \ alpha}$ este o soluție de sistem.

Cel mai simplu sistem simetric, numit elementar sau fundamental, este de forma:

\left\{{\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = S \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = S \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

fiind $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ două numere reale .

Există, de asemenea, sisteme de nivel superior și pot fi urmărite înapoi la acestea

1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 1) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 1) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 2) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {3} + y ^ {3} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 2) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {3} + y ^ {3} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 3) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 3) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aparținând numerelor reale

Metode de rezoluție

Pentru a rezolva sistemul elementar introducem variabila auxiliară $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și scrieți ecuația $t^{2}-st+p$ ${\ displaystyle t ^ {2} -st + p}$ ${\ displaystyle t ^ {2} -st + p}$ . Cele două soluții $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ sunt soluțiile sistemului. Putem folosi mici trucuri prin formulele lui Waring pentru a face ca celelalte sisteme să fie la fel ca cele elementare.

1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 1) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 1) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

Știind că $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + y) ^ {2} -2xy}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + y) ^ {2} -2xy}$ , calculăm și înlocuim, obținând următorul sistem:

\left\{{\begin{matrix}xy=(S^{2}-A)/2\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = (S ^ {2} -A) / 2 \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = (S ^ {2} -A) / 2 \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

În care apar doar suma și produsul pentru care procedăm în același mod ca și pentru un sistem elementar.

2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 2) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {3} + y ^ {3} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 2) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {3} + y ^ {3} = A \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

Știind că $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = (x + y) ^ {3} -3xy (x + y)}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = (x + y) ^ {3} -3xy (x + y)}$ , calculăm și înlocuim, obținând următorul sistem:

\left\{{\begin{matrix}xy=(S^{3}-A)/3s\\x+y=S\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = (S ^ {3} -A) / 3s \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = (S ^ {3} -A) / 3s \\ x + y = S \ end {matrix}} \ right.}

În care apar doar suma și produsul pentru care procedăm în același mod ca și pentru un sistem elementar.

3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle 3) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle 3) \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} = A \\ xy = P \ end {matrix}} \ right.}

Știind că $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + y) ^ {2} -2xy}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + y) ^ {2} -2xy}$ obținem sistemul

\left\{{\begin{matrix}xy=P\\(x+y)^{2}=A+2P\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ (x + y) ^ {2} = A + 2P \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ (x + y) ^ {2} = A + 2P \ end {matrix}} \ right.}

De sine $a+2p<0$ ${\ displaystyle a + 2p <0}$ ${\ displaystyle a + 2p <0}$ nu există soluții reale.

De sine $a+2p\geq 0$ ${\ displaystyle a + 2p \ geq 0}$ ${\ displaystyle a + 2p \ geq 0}$ adevărata rădăcină există. Soluțiile vor fi date de unirea a două sisteme elementare:

\left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y={\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ x + y = {\ sqrt {A + 2P}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ x + y = {\ sqrt {A + 2P}} \ end {matrix}} \ right.}

Și

\left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y=-{\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ x + y = - {\ sqrt {A + 2P}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} xy = P \\ x + y = - {\ sqrt {A + 2P}} \ end {matrix}} \ right.}

Bibliografie

Bertocchi, Corazzon, Matematica vol. 2 , test Alpha, ISBN 8848300383 .
Bergamini, Trifone, Barozzi, Manual de algebră vol. 2 Ediția a treia , Zanichelli, ISBN 9788808110534 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică