Formulele lui Waring

Formulele lui Waring sunt formule algebrice utilizate în soluția unui sistem simetric și derivă din teoriile lui Edward Waring , un matematician britanic al secolului al XVIII-lea .

Cele mai utilizate formule sunt cele pentru puterile binomului de ordin n = 2 sau 3, care sunt cele ale pătratului și cubului binomului . Acest calcul servește la transformarea puterilor binomului variabilelor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în sume și produse ale acestor variabile. Aceste sume și produse ale acestor variabile pot fi urmărite înapoi la forma canonică a unui sistem simetric . Rețineți că: $s=a+b$ ${\ displaystyle s = a + b}$ ${\ displaystyle s = a + b}$ Și $p=a\cdot b$ ${\ displaystyle p = a \ cdot b}$ ${\ displaystyle p = a \ cdot b}$ .

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=s^{2}-2p$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} -2ab = s ^ {2} -2p}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} -2ab = s ^ {2} -2p}$
$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=s^{3}-3ps$ ${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3} -3a ^ {2} b-3ab ^ {2} = (a + b) ^ {3} -3ab ( a + b) = s ^ {3} -3ps}$ ${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3} -3a ^ {2} b-3ab ^ {2} = (a + b) ^ {3} -3ab ( a + b) = s ^ {3} -3ps}$
$a^{4}+b^{4}=(a+b)^{4}-4a^{3}b-6a^{2}b^{2}-4ab^{3}=(a+b)^{4}-4ab(a^{2}+b^{2})-6a^{2}b^{2}=s^{4}-4p(s^{2}-2p)-6p^{2}=s^{4}-4ps^{2}+2p^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a + b) ^ {4} -4a ^ {3} b-6a ^ {2} b ^ {2} -4ab ^ {3} = ( a + b) ^ {4} -4ab (a ^ {2} + b ^ {2}) - 6a ^ {2} b ^ {2} = s ^ {4} -4p (s ^ {2} -2p ) -6p ^ {2} = s ^ {4} -4ps ^ {2} + 2p ^ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a + b) ^ {4} -4a ^ {3} b-6a ^ {2} b ^ {2} -4ab ^ {3} = ( a + b) ^ {4} -4ab (a ^ {2} + b ^ {2}) - 6a ^ {2} b ^ {2} = s ^ {4} -4p (s ^ {2} -2p ) -6p ^ {2} = s ^ {4} -4ps ^ {2} + 2p ^ {2}}$
$a^{5}+b^{5}=(a+b)^{5}-5ab(a^{3}+b^{3})-10a^{2}b^{2}(a+b)=s^{5}-5ps^{3}+5p^{2}s$ ${\ displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) ^ {5} -5ab (a ^ {3} + b ^ {3}) - 10a ^ {2} b ^ {2} (a + b) = s ^ {5} -5ps ^ {3} + 5p ^ {2} s}$ ${\ displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) ^ {5} -5ab (a ^ {3} + b ^ {3}) - 10a ^ {2} b ^ {2} (a + b) = s ^ {5} -5ps ^ {3} + 5p ^ {2} s}$
$a^{6}+b^{6}=(a+b)^{6}-6ab(a^{4}+b^{4})-15a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-20a^{3}b^{3}=s^{6}-6ps^{4}+9p^{2}s^{2}-2p^{3}$ ${\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = (a + b) ^ {6} -6ab (a ^ {4} + b ^ {4}) - 15a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - 20a ^ {3} b ^ {3} = s ^ {6} -6ps ^ {4} + 9p ^ {2} s ^ {2} -2p ^ {3}}$ ${\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = (a + b) ^ {6} -6ab (a ^ {4} + b ^ {4}) - 15a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - 20a ^ {3} b ^ {3} = s ^ {6} -6ps ^ {4} + 9p ^ {2} s ^ {2} -2p ^ {3}}$
$a^{7}+b^{7}=(a+b)^{7}-7ab(a^{5}+b^{5})-21a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3})-35a^{3}b^{3}(a+b)=s^{7}-7ps^{5}+14p^{2}s^{3}-7p^{3}s$ ${\ displaystyle a ^ {7} + b ^ {7} = (a + b) ^ {7} -7ab (a ^ {5} + b ^ {5}) - 21a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {3} + b ^ {3}) - 35a ^ {3} b ^ {3} (a + b) = s ^ {7} -7ps ^ {5} + 14p ^ {2} s ^ { 3} -7p ^ {3} s}$ ${\ displaystyle a ^ {7} + b ^ {7} = (a + b) ^ {7} -7ab (a ^ {5} + b ^ {5}) - 21a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {3} + b ^ {3}) - 35a ^ {3} b ^ {3} (a + b) = s ^ {7} -7ps ^ {5} + 14p ^ {2} s ^ { 3} -7p ^ {3} s}$
$a^{8}+b^{8}=(a+b)^{8}-8ab(a^{6}+b^{6})-28a^{2}b^{2}(a^{4}+b^{4})-56a^{3}b^{3}(a^{2}+b^{2})-70a^{4}b^{4}=s^{8}-8ps^{6}+20p^{2}s^{4}-16p^{3}s^{2}+2p^{4}$ ${\ displaystyle a ^ {8} + b ^ {8} = (a + b) ^ {8} -8ab (a ^ {6} + b ^ {6}) - 28a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {4} + b ^ {4}) - 56a ^ {3} b ^ {3} (a ^ {2} + b ^ {2}) - 70a ^ {4} b ^ {4} = s ^ {8} -8ps ^ {6} + 20p ^ {2} s ^ {4} -16p ^ {3} s ^ {2} + 2p ^ {4}}$ ${\ displaystyle a ^ {8} + b ^ {8} = (a + b) ^ {8} -8ab (a ^ {6} + b ^ {6}) - 28a ^ {2} b ^ {2} (a ^ {4} + b ^ {4}) - 56a ^ {3} b ^ {3} (a ^ {2} + b ^ {2}) - 70a ^ {4} b ^ {4} = s ^ {8} -8ps ^ {6} + 20p ^ {2} s ^ {4} -16p ^ {3} s ^ {2} + 2p ^ {4}}$

După postulatul lui Peano , formula lui Waring este deductibilă pentru orice putere n. De fapt, proprietatea P (n) a fost dedusă pentru trei valori de n = (2,3,4), în care au fost evidențiate următoarele pasaje algebrice și, prin urmare, este generalizabilă pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ orice.

În ceea ce privește a patra putere în care se substituie formula celei de-a doua puteri a binomului, recursiunea primelor 4 în cele de ordinul n, permite să se exprime totul în puteri ale sumei și produsului variabilelor a și b . Este potrivit să vedem formulele lui Waring în legătură cu sistemele simetrice pe măsură ce s-au născut și sunt utilizate în esență în acest context, în care este necesar să transformăm variabilele în sume și produse.

Rezoluția cu această metodă pentru fiecare putere n este evidentă dacă luăm în considerare triunghiul lui Tartaglia : dată o putere n, pentru fiecare termen de tipul: $a^{k}b^{(n-k)}$ ${\ displaystyle a ^ {k} b ^ {(nk)}}$ ${\ displaystyle a ^ {k} b ^ {(n-k)}}$ , există unul de tipul: $a^{(n-k)}b^{k}$ ${\ displaystyle a ^ {(nk)} b ^ {k}}$ ${\ displaystyle a ^ {(n-k)} b ^ {k}}$ . Cu o colecție comună de factori a celor doi termeni, vom obține: un termen de tipul $a^{(n-k)}b^{(n-k)}(a^{(2k-n)}+b^{(2k-n)})$ ${\ displaystyle a ^ {(nk)} b ^ {(nk)} (a ^ {(2k-n)} + b ^ {(2k-n)})}$ ${\ displaystyle a ^ {(n-k)} b ^ {(n-k)} (a ^ {(2k-n)} + b ^ {(2k-n)})}$ , pentru $n-k<k$ ${\ displaystyle nk <k}$ ${\ displaystyle n-k <k}$ , adică $n<2k$ ${\ displaystyle n <2k}$ ${\ displaystyle n <2k}$ .

Formulele lui Waring sunt deductibile (pentru o putere dată n) din formula lui Tartaglia , împărțind suma în trei tipuri de termeni:

$a^{n}+b^{n}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n}}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n}}$ ,

$a^{n/2}\cdot b^{n/2}$ ${\ displaystyle a ^ {n / 2} \ cdot b ^ {n / 2}}$ ${\ displaystyle a ^ {n / 2} \ cdot b ^ {n / 2}}$ , pentru n chiar,

$a^{m}\cdot b^{m}\cdot (a^{o}+b^{o})$ ${\ displaystyle a ^ {m} \ cdot b ^ {m} \ cdot (a ^ {o} + b ^ {o})}$ ${\ displaystyle a ^ {m} \ cdot b ^ {m} \ cdot (a ^ {o} + b ^ {o})}$ , unde este:

$m=[1;n]$ ${\ displaystyle m = [1; n]}$ ${\ displaystyle m = [1; n]}$ ,

$o=[1;n-2k]$ ${\ displaystyle o = [1; n-2k]}$ ${\ displaystyle o = [1; n-2k]}$ cu k întreg.

Prin urmare, în rezumări găsim: puterea a n-a a binomului , produsul termenilor ridicați la jumătate de putere, a termenilor „amestecați” de puteri ale produsului termenilor și sumele lor în funcție de multipli întregi de 2 (pâna la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ; sau $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle n-1}$ , de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este ciudat).

Am raportat formulele Waring pentru puteri mai mari decât a patra pentru a generaliza cu ușurință formula, de ex $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ orice.

$a^{n}+b_{}^{n}=(a+b)^{n}-\sum _{i=1}^{f_{1}}T_{i}*a^{i}b^{i}*[a^{n-2i}+b^{n-2i}]-f_{2}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b _ {} ^ {n} = (a + b) ^ {n} - \ sum _ {i = 1} ^ {f_ {1}} T_ {i} * a ^ {i} b ^ {i} * [a ^ {n-2i} + b ^ {n-2i}] - f_ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b _ {} ^ {n} = (a + b) ^ {n} - \ sum _ {i = 1} ^ {f_ {1}} T_ {i} * a ^ {i} b ^ {i} * [a ^ {n-2i} + b ^ {n-2i}] - f_ {2}}$ , unde este:

pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ fotografii, ${f_{1}}=(n/2)$ ${\ displaystyle {f_ {1}} = (n / 2)}$ ${\ displaystyle {f_ {1}} = (n / 2)}$ Și ${f_{2}}=0$ ${\ displaystyle {f_ {2}} = 0}$ ${\ displaystyle {f_ {2}} = 0}$ ;

pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar, ${f_{1}}=[(n/2)-1]$ ${\ displaystyle {f_ {1}} = [(n / 2) -1]}$ ${\ displaystyle {f_ {1}} = [(n / 2) -1]}$ Și ${f_{2}}={T_{i}}a^{n/2}b^{n/2}$ ${\ displaystyle {f_ {2}} = {T_ {i}} a ^ {n / 2} b ^ {n / 2}}$ ${\ displaystyle {f_ {2}} = {T_ {i}} a ^ {n / 2} b ^ {n / 2}}$ , cu $T_{i}$ ${\ displaystyle T_ {i}}$ $Tu}$ Coeficientul i al triunghiului lui Tartaglia pentru putere $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , începând să numere din cel mai stâng.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică