Problema lui Waring

În matematică , în special în teoria numerelor , problema Waring , propusă de Edward Waring în 1770 , ridică următoarea întrebare: există pentru fiecare număr natural $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ un întreg pozitiv $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ astfel încât fiecare număr natural este suma cel mult $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ puteri $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -thth din numere naturale?

Răspunsul afirmativ, cunoscut sub numele de teorema Hilbert-Waring , a fost furnizat de Hilbert în 1909 .

Problema Waring are propria sa clasificare a cercetării matematice , 11P05, ca „problema și variantele Waring”.

Numărul g (k)

Pentru fiecare k , numărul minim s care verifică teorema lui Hilbert-Waring este notat cu g (k) . În mod trivial g (1) = 1 .

Primul răspuns parțial pe drumul către determinarea explicită a g (k) a fost teorema lui Lagrange din 1770, care stabilește că patru pătrate sunt suficiente pentru a reprezenta orice număr natural; în plus 7 nu poate fi scris ca suma a trei pătrate și, prin urmare, g (2) = 4 .

De-a lungul anilor, au fost stabilite diferite limite folosind tehnici demonstrative sofisticate. De exemplu, Joseph Liouville a arătat că g (4) este mai mic sau egal cu 53. Hardy și Littlewood au dovedit că orice număr suficient de mare este suma a 19 puteri a patra.

Wieferich ^[1] și AJ Kempner ^{[2] au} demonstrat între 1909 și 1913 că g (3) = 9 ; în timp ce R. Balasubramanian, F. Dress și J.-M. Deshouillers ^[3] ^{[4] au} dovedit că g (4) = 19 în 1986; Chen Jingrun a demonstrat că g (5) = 37 în 1964 și Pillai ^[5] că g (6) = 73 în 1940.

Euler a presupus că

g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2

{\ displaystyle g (k) = 2 ^ {k} + \ left [\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right] -2}

g (k) = 2 ^ {k} + \ left [\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right] -2

unde [ x ] reprezintă partea întreagă a lui x ^[6] .

Numărul G (k)

Legată de g (k) este funcția G (k) , definită ca acel număr s astfel încât fiecare număr suficient de mare să fie suma a cel mult s k- a puteri. Din definiție este clar că $G(k)\leq g(k)$ ${\ displaystyle G (k) \ leq g (k)}$ $G (k) \ leq g (k)$ , Deoarece în cazul în care fiecare număr este suma puterilor s, tot mai multe motive va fi în fiecare număr dintr - un anumit punct încolo.

Este ușor de văzut că G (2) = 4 , deoarece orice număr congruent cu 7 modulo 8 nu poate fi reprezentat ca suma a trei pătrate (demonstrând astfel că $G(2)\geq 4$ ${\ displaystyle G (2) \ geq 4}$ $G (2) \ geq 4$ ), și în același timp avem g (2) = 4 .

Harold Davenport a demonstrat în 1939 că G (4) = 16.

Nu se cunosc alte valori ale lui G (k) ; cu toate acestea, se cunosc limitele inferioare și superioare.

Limite inferioare

Pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ mai mare ca $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ da ai $G(k)>k$ ${\ displaystyle G (k)> k}$ $G (k)> k$ . Pentru clasele speciale de numere această limită este mărită:

de sine $k=2^{r}$ ${\ displaystyle k = 2 ^ {r}}$ $k = 2 ^ {r}$ sau $k=3\cdot 2^{r}$ ${\ displaystyle k = 3 \ cdot 2 ^ {r}}$ $k = 3 \ cdot 2 ^ {r}$ (cu $r>1$ ${\ displaystyle r> 1}$ $r> 1$ ) asa de $G(k)\geq 2^{r+2}$ ${\ displaystyle G (k) \ geq 2 ^ {r + 2}}$ $G (k) \ geq 2 ^ {{r + 2}}$ ;
de sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un prim mai mare decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $k=p^{r}(p-1)$ ${\ displaystyle k = p ^ {r} (p-1)}$ $k = p ^ {r} (p-1)$ , asa de $G(k)\geq p^{r+1}$ ${\ displaystyle G (k) \ geq p ^ {r + 1}}$ $G (k) \ geq p ^ {{r + 1}}$ ;
de sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un prim mai mare decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $k={\frac {p^{r}(p-1)}{2}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {p ^ {r} (p-1)} {2}}}$ $k = {\ frac {p ^ {r} (p-1)} {2}}$ , asa de $G(k)\geq {\frac {p^{r+1}-1}{2}}$ ${\ displaystyle G (k) \ geq {\ frac {p ^ {r + 1} -1} {2}}}$ $G (k) \ geq {\ frac {p ^ {{r + 1}} - 1} {2}}$ .

Limite superioare

Sunt cunoscute următoarele limite superioare pentru G (k) :

k	3	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$G(k)\leq$ ${\ displaystyle G (k) \ leq}$ $G (k) \ leq$	7	17	21	33	42	50	59	67	76	84	nouăzeci și doi	100	109	117	125	134	142

G (3) este cel puțin 4, deoarece cuburile sunt congruente cu 0, 1 sau -1 modul 9; 1290740 este cel mai mare număr minor de $1,3\cdot 10^{9}$ ${\ displaystyle 1,3 \ cdot 10 ^ {9}}$ $1,3 \ cdot 10 ^ {9}$ care necesită șase cuburi, iar numărul întregilor între N și 2N scade cu o viteză suficientă pe măsură ce crește N, ceea ce se crede a fi G (3) = 4; cel mai mare număr cunoscut care nu este suma a patru cuburi este 7373170279850 ^[7] și există motive pentru a susține că este cel mai mare existent.

13792 este cel mai mare număr care necesită 17 a patra putere (Deshouillers, Hennecart și Landreau au demonstrat în 2000 ^[8] că orice număr între 13793 și 10 ²⁴⁵ necesită maximum șaisprezece, iar Kawada, Wooley și Deshouillers au extins rezultatul lui Davenport din 1939, arătând că fiecare număr peste 10 ²²⁰ necesită maximum șaisprezece). Mai mult, șaisprezece puteri sunt întotdeauna necesare pentru a reprezenta numerele în formă $16^{n}\cdot 31$ ${\ displaystyle 16 ^ {n} \ cdot 31}$ $16 ^ {n} \ cdot 31$ .

617597724 este cel mai mare număr minor de $1,3\cdot 10^{9}$ ${\ displaystyle 1,3 \ cdot 10 ^ {9}}$ $1,3 \ cdot 10 ^ {9}$ care necesită zece a cincea putere și 51033617 ultima în acest interval care necesită 11.

Notă

^ ( DE ) Arthur Wieferich , Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt ^{[ link rupt ]} , în Mathematische Annalen , vol. 66, 1909, pp. 95-101.
^ ( DE ) Aubrey Kempner, Bemerkungen zum Waringschen Problem ^{[ link rupt ]} , în Mathematische Annalen , vol. 72, 1912, pp. 387-399.
^ ( FR ) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. CR Acad. Schi. Paris Sér. I Matematica. 303 (1986), nr. 4, pp. 85-88
^ ( FR ) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. II. Rezultate auxiliare pentru teoria asimptotică. CR Acad. Schi. Paris Sér. I Matematica. 303 (1986), nr. 5, pp. 161-163
^(EN) Pillai, SS On Waring's problem g (6) = 73, Proc. Indian Acad. Sci.12A , pp. 30-40
^ Conjectura lui Euler - de la Wolfram MathWorld
^ Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850 , Mathematics of Computation 69 (2000) 421-439, disponibil la http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718- 99-01116-3 / S0025-5718-99-01116-3.pdf
^ Deshouillers, Hennecart, Landreau, Waring's Problem for sixase biquadrates - rezultate numerice , Journal de Théorie des Nombers de Bordeaux 12 (2000), 411-422; http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps

Elemente conexe

Teoria analitică a numerelor

linkuri externe

( EN ) Waring's Problem , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( DE ) Arthur Wieferich , Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt ^{[ link rupt ]} , în Mathematische Annalen , vol. 66, 1909, pp. 95-101.

[2] ( DE ) Aubrey Kempner, Bemerkungen zum Waringschen Problem ^{[ link rupt ]} , în Mathematische Annalen , vol. 72, 1912, pp. 387-399.

[3] ( FR ) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. CR Acad. Schi. Paris Sér. I Matematica. 303 (1986), nr. 4, pp. 85-88

[4] ( FR ) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. II. Rezultate auxiliare pentru teoria asimptotică. CR Acad. Schi. Paris Sér. I Matematica. 303 (1986), nr. 5, pp. 161-163

[5] (EN) Pillai, SS On Waring's problem g (6) = 73, Proc. Indian Acad. Sci.12A , pp. 30-40

[6] Conjectura lui Euler - de la Wolfram MathWorld

[x7373170279850-7] Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850 , Mathematics of Computation 69 (2000) 421-439, disponibil la http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718- 99-01116-3 / S0025-5718-99-01116-3.pdf

[sixteen-biquadrates-8] Deshouillers, Hennecart, Landreau, Waring's Problem for sixase biquadrates - rezultate numerice , Journal de Théorie des Nombers de Bordeaux 12 (2000), 411-422; http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps

[1]

[2] au

[3]

[4] au

[5]

[6]

[7]

[8]

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor